Chuyên đề 8: Lượng giác
Chuyên đề 8: LƯỢNG GIÁC
TÓM TẮTGIÁO KHOA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Đơn vị đo góc và cung:
Bạn đang xem nội dung tài liệu Chuyên đề 8: Lượng giác, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
33
Chuyên đề 8: LƯỢNG GIÁC
TÓM TẮTGIÁO KHOA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Đơn vị đo góc và cung:
1. Độ:
bẹtgóc 01 Góc 180
1=
2. Radian: (rad)
rad 0180 π=
3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600
Radian 0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
5π π π2
II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Định nghĩa:
2. Đường tròn lượng giác:
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:
ππ
π
ππ
ππ
ππ
π
k
CA
k
C
k
A
+→
→
+→
+→
+→
→
2 DB,
k ,
22- D
2k
22 B
2k
x
y
(tia gốc)
Z)(k 2),( ∈+= πα kOyOx
+
t
(tia ngọn)
O
α
.
y x
o180
O
+
−
x
y
OC A
B
D
x
y
B
α M
α
(điểm gốc)
+
t
O A
(điểm ngọn)
πα 2kAB +=
34
III. Định nghĩa hàm số lượng giác:
1. Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x'Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y'Oy : trục sin ( trục tung )
• t'At : trục tang
• u'Bu : trục cotang
2. Định nghĩa các hàm số lượng giác:
a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=α .
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox vàø y'Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu
Ta định nghĩa:
cos
sin
tg
cot
OP
OQ
AT
g BU
α
α
α
α
=
=
=
=
b. Các tính chất :
• Với mọi α ta có :
1 sin 1 hay sin 1α α− ≤ ≤ ≤
1 cos 1 hay cos 1α α− ≤ ≤ ≤
• tg xác định
2
kπα α π∀ ≠ +
• cotg xác định kα α π∀ ≠
c. Tính tuần hoàn
sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
( )
cot ( ) cot
k
k
tg k tg
g k g
α π α
α π α
α π α
α π α
+ =
+ =
+ =
+ =
)( Zk ∈
+
−
x
y
OC A
B
D
1
1
1=R1−
1−
'x
'u
u
t
't
'y
y t
'u
't
t
x
u
'y
'x O
t
1−
Q
B
T
α
M
α
AP
U
Trục cosin
Trục tang
Trục sin Trục cotang
+
−
35
IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
- 3
-1
- 3 /3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
xx'
uu'
- 3 -1 - 3 /3
1
1
-1
-1
-π/2
π
5π/6
3π/4
2π/3
-π/6
-π/4
-π/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2 3 /22 /21/2
3 /2
2 /2
1/2
A
π/3
π/4
π/6
3 /3
3
B π/2 3 /3 1 3
O
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Góc
Hslg
0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
5π π π2
sinα 0
2
1
2
2
2
3 1
2
3
2
2 2
1 0 0
cosα 1
2
3
2
2
2
1 0
2
1−
2
2−
2
3− -1 1
tgα 0
3
3
1 3 kxđ 3− -1
3
3− 0 0
cotgα kxđ 3 1
3
3 0
3
3− -1 3− kxđ kxđ
+
−
36
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1. Cung đối nhau : và -α α (tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
ππ − ,)
2. Cung bù nhau : và -α π α ( tổng bằng π ) (Vd:
6
5&
6
ππ ,)
3. Cung phụ nhau : và
2
πα α− ( tổng bằng
2
π ) (Vd:
3
&
6
ππ ,)
4. Cung hơn kém
2
π : và
2
πα α+ (Vd:
3
2&
6
ππ ,)
5. Cung hơn kém π : và α π α+ (Vd:
6
7&
6
ππ ,)
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
α α
α α
α α
α α
− =
− = −
− = −
− = −
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
− = −
− =
− = −
− = −
3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém
2
π
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
− =
− =
− =
− =
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ =
+ = −
+ = −
5. Cung hơn kém π :
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
Đối cos Bù sin
Phụ chéo
Hơn kém
2
π
sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Hơn kém π
tang , cotang
37
Ví dụ 1: Tính )
4
11cos( π− ,
4
21πtg
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: )3cos()2cos()
2
cos( xxxA ++−++= πππ
VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:
2 2cos sin 1
sintg =
cos
coscotg =
sin
α α
αα α
αα α
+ =
2
2
2
2
11 tg =
cos
11 cotg =
sin
tg . cotg = 1
α α
α α
α α
+
+
Ví dụ: Chứng minh rằng:
1. 4 4 2 2cos sin 1 2sin cosx x x x+ = −
2. xxxx 2266 cossin31sincos −=+
2. Công thức cộng :
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tg +tgtg( + ) =
1 .
tg tgtg( ) =
1 .
tg tg
tg tg
α β α β α β
α β α β α β
α β α β β α
α β α β β α
α βα β α β
α βα β α β
+ = −
− = +
+ = +
− = −
−
−− +
Ví dụ: Chứng minh rằng:
πα α α
πα α α
+ = −
− = +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )
4
3. Công thức nhân đôi:
α α α
α
α
α α
α α α
αα α
= −
= −
= −
= −
=
= −
2 2
2
2
4 4
2
cos2 cos sin
2 cos 1
1 2sin
cos sin
sin 2 2sin .cos
22
1
tgtg
tg
2
2cos1cos2 αα +=
2
2cos1sin 2 αα −=
ααα 2sin
2
1cossin =
38
4 Công thức nhân ba:
3
3
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
α α α
α α α
= −
= −
5. Công thức hạ bậc:
α
αααααα
2cos1
2cos1;
2
2cos1sin;
2
2cos1cos 222 +
−=−=+= tg
6.Công thức tính sin ,cos ,tgα α α theo
2
t tgα=
2
2 2 2
2 1 2sin ; cos ;
1 1 1
t t ttg
t t t
α α α−= = =+ + −
7. Công thức biến đổi tích thành tổng :
[ ]
[ ]
[ ]
1cos .cos cos( ) cos( )
2
1sin .sin cos( ) cos( )
2
1sin .cos sin( ) sin( )
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
= − − +
= + + −
Ví dụ:
1. Biến đổi thành tổng biểu thức: xxA 3cos.5cos=
2. Tính giá trị của biểu thức:
12
7sin
12
5cos ππ=B
8. Công thức biến đổi tổng thành tích :
cos cos 2 cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2 cos .sin
2 2
sin( )
cos cos
sin( )
cos cos
tg tg
tg tg
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α βα β α β
α βα β α β
+ −+ =
+ −− = −
+ −+ =
+ −− =
++ =
−− =
4
cos33coscos3 ααα +=
4
3sinsin3sin 3 ααα −=
39
Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: 3xsin 2x sinsin ++= xA
9. Các công thức thường dùng khác:
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
π πα α α α
π πα α α α
+ = − = +
− = + = − −
8
4cos35sincos
4
4cos3sincos
66
44
ααα
ααα
+=+
+=+
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I. Định lý cơ bản: ( Quan trọng )
u = v+k2
sinu=sinv
u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv
u = -v+k2
tgu=tgv u = v+k (u;v )
2
cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )
k
π
π π
π
π
ππ π
π π
⎡⇔ ⎢⎣
⎡⇔ ⎢⎣
⇔ ≠ +
⇔ ≠
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và Zk ∈ )
Ví dụ : Giải phương trình:
1. sin3 sin( 2 )
4
x xπ= − 2.
4
3cos)
4
cos( ππ =−x
3. xx 2sin3cos = 4. 4 4 1sin cos (3 cos6 )
4
x x x+ = −
II. Các phương trình lượng giác cơ bản:
1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( Rm∈∀ )
* Gpt : sinx = m (1)
• Nếu 1m > thì pt(1) vô nghiệm
• Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = sinα và ta có
x = +k2
(1) sinx=sin
x = ( - )+k2
α πα π α π
⎡⇔ ⇔ ⎢⎣
* Gpt : cosx = m (2)
40
• Nếu 1m > thì pt(2) vô nghiệm
• Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = cos β và ta có
x = +k2
(2) cosx=cos
x = +k2
β πβ β π
⎡⇔ ⇔ ⎢ −⎣
* Gpt: tgx = m (3) ( pt luôn có nghiệm Rm∈∀ )
• Đặt m = tgγ thì
(3) tgx = tg x = +kγ γ π⇔ ⇔
* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm Rm∈∀ )
• Đặt m = cotgδ thì
(4) cotgx = cotg x = +kδ δ π⇔ ⇔
Các trường hợp đặc biệt:
sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2
2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2
cos 1 x = 2
x k
x k
x k
x k
π π
π
π π
π π
π π
π
= − ⇔ − +
⇔
= ⇔ +
= − ⇔ +
⇔
= ⇔
Ví dụ:
1) Giải các phương trình :
a) = 1sin 2
2
x b) 2cos( )
4 2
x π− = −
c) 03)
6
2sin(2 =+− πx d) 03)
3
cos(2 =−+ πx
e) 12cos2sin =+ xx f) xxx 2cossincos 44 =+
2) Giải các phương trình:
a) 4 41 cos sin 2 cos2x x x+ − = c) 024sin)cos(sin4 44 =−++ xxx
b) 6 6sin cos cos4x x x+ = d) 3 3 1sin .cos cos .sin
4
x x x x− =
e) 4)
2
.1(sincot =++ xtgtgxxgx
41
2. Dạng 2:
2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
0
cot cot 0
a x b x c
a x b x c
atg x btgx c
a g x b gx c
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
( 0a ≠ )
Cách giải:
Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)
Ta được phương trình : 2 0at bt c+ + = (1)
Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)
Ví dụ :
a) 22 cos 5sin 4 0x x+ − = b) 5cos2 4 cos 0
2
x x− + =
c) 22sin 4 5cosx x= + d) 2 cos cos2 1 cos2 cos3x x x x= + +
e) 4 4 1sin cos sin 2
2
x x x+ = − f) 0)2
2
cos()cos(sin2 44 =−−+ xxx π
g) 4 4sin cos 1 2sin
2 2
x x x+ = − h) 0cos.sincossin 44 =++ xxxx
k) 0
sin22
cos.sin)sin(cos2 66 =−
−+
x
xxxx l) 32cos)
2sin21
3sin3cos(sin5 +=+
++ x
x
xxx
3. Dạng 3:
cos sin (1) ( a;b 0)a x b x c+ = ≠
Cách giải:
• Chia hai vế của phương trình cho 2 2a b+ thì pt
2 2 2 2 2 2
(1) cos sina b cx x
a b a b a b
⇔ + =
+ + +
(2)
• Đặt
2 2 2 2
bcos và sin
a
a
a b b
α α= =
+ +
với [ )0;2α π∈ thì :
2 2
2 2
c(2) cosx.cos + sinx.sin =
a
c cos(x- ) = (3)
a
b
b
α α
α
⇔
+
⇔
+
Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.
42
Chú ý :
2 2 2Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a b c⇔ + ≥
Ví dụ : Giải các phương trình :
a) + = −cos 3 sin 1x x b) 2sin3cos =+ xx
c) 4 44(sin cos ) 3 sin 4 2x x x+ + = d)
x
tgx
cos
13 =−
e) 3
1sincos2
2sincos
2 =−−
−
xx
xx
d. Dạng 4:
2 2sin sin .cos cos 0 (a;c 0)a x b x x c x+ + = ≠ (1)
Cách giải 1:
Aùp dụng công thức hạ bậc : 2 21 cos2 1 cos2sin và cos
2 2
x xx x− += =
và công thức nhân đôi : 1sin .cos sin 2
2
x x x= thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3
Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )
Chia hai vế của pt (1) cho 2cos x ta được pt:
2 0atg x btgx c+ + =
Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải
Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x k
2
π= + π có phải là nghiệm của (1) không?
Ví dụ : Giải phương trình:
031coscos.sin)31(sin3 22 =−+−−+ xxxx
d. Dạng 5:
(cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c+ + + = (1)
Cách giải :
• Đặt cos sin 2 cos( ) với - 2 2
4
t x x x tπ= + = − ≤ ≤
Do
2
2 t 1(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=
2
x x x x −+ = + ⇒
• Thay vào (1) ta được phương trình :
2 1 0
2
tat b c−+ + = (2)
43
• Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt: 2 cos( )
4
x tπ− = tìm x.
Ví dụ : Giải phương trình :
sin 2 2 2(sin cos ) 5 0x x x− + − =
Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : (cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c− + + =
Ví dụ : Giải phương trình :
sin 2 4(cos sin ) 4x x x+ − =
4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :
a. Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản đã biết
Ví dụ: Giải phương trình:
0
2
32sincossin 44 =−++ xxx
b. Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số
Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:
A=0
. 0
B=0
A B
⎡= ⇔ ⎢⎣ hoặc
A=0
. . 0 B=0
C=0
A BC
⎡⎢= ⇔ ⎢⎢⎣
Ví dụ : Giải các phương trình :
a. 2 2 2sin sin 2 sin 3 2x x x+ + = b. 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −
c. 32sin cos2 cos 0x x x+ − = d. 03)
4
sin(2cos222sin =++++ πxxx
c. Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ
Một số dấu hiệu nhận biết :
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)
Ví dụ : Giải các phương trình :
a. 01cos2cos3cos =−−+ xxx
b. 01cos42coscos4 3 =+−− xxx
c. 12 cos2 8cos 7
cos
x x
x
− + =
d. 22cossin 24 =+ xx
* Phương trình có chứa (cos sin ) và sinx.cosxx x±
Ví dụ : Giải phương trình : a. + + =3 3 31 sin cos sin 2x
2
x x
b. 1)cos(sin2cossin 33 −+=+ xxxx
44
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
DẠNG 1: Giải phương trình lượng giác
Sử dụng 1 trong 3 phương pháp sau
• Biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản
• Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích số
• Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn số phụ chuyển về phương trình đại số
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau
1) 03)
4
sin(2cos222sin =++++ πxxx 2) 07cos2sin
2
5cos
2
sin
2
3cos
2
7sin =++ xxxxxx
3)
6
cos.3)
2
3(cos)
2
2(cos)
2
(cos 222 ππππ =−++++ xxx
4)
)
4
(sin2
2sin1
2sin
2
sin
2
cos
2
44
π+
+=
−
x
x
x
xx
5) xxxx 2sin3cos8sin7cos −=+
6) 12sincossin2 +=+ xxx
Bài 2 : Giải các phương trình lượng giác sau
1. 32sin cos2 cos 0x x x+ + = 8. 2 2 2sin ( ). cos 0
2 4 2
x xtg xπ− − =
2. 2 2 7sin .cos4 sin 2 4sin ( )
4 2 2
xx x x π− = − − 9.
2cos (cos 1) 2(1 sin )
sin cos
x x x
x x
− = ++
3. 9sin 6 cos 3sin 2 cos2 8x x x x+ − + = 10. 12 cos .sin3
3
tg x tgx x x− =
4.
4 4sin cos 1 1cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x g x
x x
+ = − 11. 12 cos2 8cos 7
cos
x x
x
− + =
5.
2
4
4
(2 sin 2 )sin31
cos
x xtg x
x
−+ = 12. 2cos2 1cot 1 sin sin 2
1 2
xgx x x
tgx
− = + −+
6. 3 ( 2sin ) 6 cos 0tgx tgx x x− + + = 13. 2cot 4sin 2
sin 2
gx tgx x
x
− + =
7. 2cos2 cos .(2 1) 2x x tg x+ − = 14. 2cos cos sin .(1 . )
2
xtgx x x x tgx tg+ − = +
DẠNG 2: Phương trình lượng giác có chứa tham số
Sử dụng phương pháp sau
• Chọn ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ vừa chọn (tùy thuộc vào x)
• Chuyển phương trình về phương trình đại số
• Lập luận để chuyển bài toán đã cho theo ẩn phụ vừa chọn
• Sử dụng phương pháp giải tích hoặc đại số để tìm tham số theo yêu cầu của đề bài
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
02sin
4
12coscossin 244 =++−+ mxxxx
Bài 2: Định m để phương trình : m
xx
gxtgxxx =++++++ )
cos
1
sin
1cot(
2
11cossin
45
có nghiệm ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∈
2
;0 πx
Bài 3: Cho hàm số: 1)cos
cos
2()cos
cos
4(2 22 =−++ xxmxx
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc ).
2
;0( π
Bài 4: Cho phương trình : 01)cot(3
sin
3 2
2 =−+++ gxtgxmxtgx
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
Bài 5: Xác định m để phương trình :
4 42(sin x cos x) cos4x 2sin2x m 0+ + + − =
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0; ]
2
π
Bài 6: Cho phương trình : mxxx =−− )sin(cos42sin (1)
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.
Bài 7: Tìm m để phương trình : 4 4 6 6 24(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m+ − + − = có nghiệm.
Bài 8: Cho phương trình cos4 6sin cos 0x x x m+ − =
Định m để phương trình có nghiệm 0;
4
x π⎡ ⎤∈⎢ ⎥⎣ ⎦ .
Bài 9: Tìm m để phương trình : 0)cos)(sincos.(sin2cos2 =+−+ xxmxxx
có nghiệm trên đoạn ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
;0 π
Bài 10: Cho phương trình: mtgx
xx
xx =−
+
22
66
sincos
sincos
Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
Bài 11: Cho phương trình: mxx =−+ 44 )1(sinsin
Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
Bài 12: Tìm m để phương trình : 22 2sin 2x m(1 cosx)+ = + có nghiệm x [ ; ]
2 2
π π∈ −
--------------------------Hết--------------------------
File đính kèm:
- Phuong trinh luong giac.pdf