Chuyên đề 14: Hình học giải tích trong mặt phẳng
Chuyên đề 14: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
MẶT PHẲNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Chuyên đề 14: Hình học giải tích trong mặt phẳng, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chuyên đề 14: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
MẶT PHẲNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ
91
I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong mặt phẳng :
• x'Ox : trục hoành
• y'Oy : trục tung
• O : gốc toạ độ
• : véc tơ đơn vị ( 1 2,e e
JG JJG
1 2 11 và e e e e= = ⊥
JG JJG JG G
2
JJ
)
x
y
1e
K
2e
K
O'x
'y
Quy ước : Mặt phẳng mà trên đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxy được gọi là mặt phẳng
Oxy và ký hiệu là : mp(Oxy)
II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:
1. Định nghĩa 1: Cho ( )M mp Oxy∈ . Khi đó véc tơ OMJJJJG được biểu diển một cách duy nhất theo
e e bởi hệ thức có dạng : OM1 2,
JG JJG
xe ye1 2 với x,y
J = + ∈JJJG JG JJG \ .
Cặp số (x;y) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M.
Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M )
'x
y
2
K
'
/
1 2( ; )
đ n
M x y OM xe ye⇔ = +JJJJG JG JJG
• Ý nghĩa hình học:
và y=OQx OP=
2. Định nghĩa 2: Cho a m ( )p Oxy∈G . Khi đó véc tơ aG được biểu diển một cách duy nhất theo
e e bởi hệ thức có dạng : 1 2,
JG JJG
1 1 2 2 1 2 với a ,aa a e a e= + ∈
G JG JJG \ .
Cặp số (a1;a2) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ . a
G
Ký hiệu: 1 2( ; )a a a=
G
/
1 2 1 1 2 2=(a ;a )
đ n
a a a⇔ = +G G Ge a eJG JJ
• Ý nghĩa hình học:
1 1 1 2 2 2 và a =Aa A B B=
x1e
K
e
O
MQ
P
y
y
x
Ox'
'y
MQ
Px
y
x
y
1e
K
2e
K
O
'x
'y
P
aG
y
x
O
'x
'y
1A 1B
2A
2B BK
A H
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Trong mặt phẳng Oxy hãy vẽ các điểm sau: A(2;3), B(-1;4), C(-3;-3), D(4;-2), E(2;0), F(0;-4)
III. Các công thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :
Định lý 1: Nếu B( ; ) và B(x ; )A A BA x y y thì
92
( ; )B A B AAB x x y y= − −
JJJG
Định lý 2: Nếu a a thì 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a b b b= =
G G
* a b 1 1
2 2
a
b
a b
=⎧= ⇔ ⎨ =⎩
G G
* a b 1 1 2 2( ; )a b a b+ = + +
G G
)a b a b− = − −G G
)ka ka=G
* a b 1 1 2 2( ;
* k a ( )1 2. ( ; k∈\
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho A(1;3), B(-2;-1), C(3;-4). Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD
là hình bình hành.
Bài 2: Cho A(1;2), B(2;3), C(-1;-2). Tìm điểm M thoả mãn 022 =+− CBMBMA
IV. Sự cùng phương của hai véc tơ:
Nhắc lại
• Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường
thẳng song song .
• Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:
Định lý 3 : Cho hai véc tơ và với 0a b b ≠G G G G
a k b
G G
a b cùng phương !k sao cho .⇔ ∃ ∈ =G G \
Nếu 0a ≠G G thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:
k > 0 khi a
G
cùng hướng b
G
k < 0 khi a
G
ngược hướng b
G
a
k
b
=
G
G
Định lý 4 : , , thẳng hàng cùng phương A B C AB AC⇔ JJJG JJJG
(Điều kiện 3 điểm thẳng hàng )
Định lý 5: Cho hai véc tơ 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
G G
ta có :
a b 1 2 2 1 cùng phương a . . 0b a b⇔ − =
G G
(Điều kiện cùng phương của 2 véc tơ
);( AA yxA
);( BB yxB
aK
b
K
aK
b
K
A
B
C
aK bG
2 5
a b , b - a
5 2
= − =K KK K
aK
b
K
)4;2(
)2;1(
=
=
b
aK
K
: VD
);(
);(
21
21
bbb
aaa
=
=K
K
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
93
Bài 1: Cho 1(0; 1); (2;3); ( ;0)
2
A B C− . Chứng minh A, B, C thẳng hàng
Bài 2: Cho A(1;1), )
4
31;23( +−B , )
4
31;32( −−−C . Chứng minh A, B, C thẳng hàng
V. Tích vô hướng của hai véc tơ:
Nhắc lại:
x
y
. . .cos( , )a b a b a b=G G G G G G
22
a a=G G
a b . 0a b⊥ ⇔ =G G G G
Định lý 6: Cho hai véc tơ 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
G G
ta có :
a b (Công thức tính tích vô hướng theo tọa độ) 1 1 2 2. a b a b= +
G G
Định lý 7: Cho hai véc tơ 1 2( ; ) a a a=
G
ta có :
2 21 2a a a= +
G
(Công thức tính độ dài véc tơ )
Định lý 8: Nếu B( ; ) và B(x ; )A A BA x y y thì
2 2( ) ( )B A B AAB x x y y= − + − (Công thức tính khoảng cách 2 điểm)
Định lý 9: Cho hai véc tơ 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
G G
ta có :
a b (Điều kiện vuông góc của 2 véc tơ) 1 1 2 2 a 0b a b⊥ ⇔ + =
G G
Định lý 10: Cho hai véc tơ 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
G G
ta có
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
cos( , )
. .
a b a b a ba b
a b a a b b
+= =
+ +
G G
G G
G G (Công thức tính góc của 2 véc tơ)
b
K
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Chứng minh rằng tam giác với các đỉnh A(-3;-3), B(-1;3), C(11;-1) là tam giác vuông
Bài 2: Cho )7;342(),336;8(),3;2( ++ CBA . Tính góc BAC.
O'x
'y
a
ϕ
aK
b
K
b
K
aK
O
B
A K
);( BB yxB);( AA yxA
VI. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:
Định nghĩa: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) nếu như : ≠ .MA k MB=JJJG JJJG
A M B
Định lý 11 : Nếu B( ; ) , B(x ; )A A BA x y y và .MA k MB=
JJJG JJJG
( k ≠ 1 ) thì
.
1
.
1
A B
M
A B
M
x k xx
k
y k yy
k
−⎧ =⎪⎪⎨ − −⎪ =⎪ −⎩
94
Đặc biệt : M là trung điểm của AB ⇔ 2
2
A B
M
A B
M
x xx
y yy
+⎧ =⎪⎪⎨ +⎪ =⎪⎩
VII. Một số điều kiện xác định điểm trong tam giác :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++=
++=
⇔=++⇔
3
30.1
CBA
G
CBA
yyyy
xxx
GCGB
Gx
GA ABC giác tam tâm trọng là G
2.
. 0
H là trực tâm tam giác ABC
. 0
AH BC AH BC
BH AC BH AC
⎧ ⎧⊥ =⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⊥ =⎪ ⎪⎩ ⎩
JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG
3.
'
'
'
là chân đường cao kẻ từ A
cùng phương
AA BC
A
BA BC
⎧ ⊥⎪⇔ ⎨⎪⎩
JJJG JJJG
JJJG JJJG
4.
IA=IB
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
IA=IC
⎧⇔ ⎨⎩
5. Δ ⇔ = −JJJG JJJGD là chân đường phân giác trong của góc A của ABC .ABDB DC
AC
6. Δ ⇔ =
JJJJG JJJJG
' ' 'D là chân đường phân giác ngoài của góc A của ABC .ABD B D
AC
C
7. J là tâm đường tròn nội tiếp ABC .ABJA J
BD
Δ ⇔ = − DJJG JJJG
VIII. Một số kiến thức cơ bản thường sử dụng khác:
1. Công thức tính diện tích tam giác theo toạ độ ba đỉnh :
Định lý 12: Cho tam giác ABC . Đặt 1 2 1 2( ; ) và ( ; )AB a a AC= b b=
JJJG JJJG
ta có :
1 2 2 1
1 .
2ABC
S a bΔ = − a b
G
A
B C
H
A
B C
A
C
I
A
B C
B A'
A
C
D
A
B
J
C
DB
A
CB
2. Các bất đẳng thức véc tơ cơ bản :
Định lý 13: Với hai véc tơ u,vG G bất kỳ ta luôn có :
uK
vK
vu KK +
u v u v+ ≤ +G G G G
. .u v u v≤G G G G
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ,u v
G G
là hai véc tơ cùng phương cùng chiều hoặc là có một
trong hai véc tơ là véc tơ không .
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Tìm diện tích tam giác có các đỉnh A(-2;-4), B(2;8), C(10;2)
Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 với A(3;1), B(1;-3)
1. Tìm C biết C trên Oy
2. Tìm C biết trọng tâm G của tam giác trên Oy
Bài 3: Cho A(1;1), B(-3;-2), C(0;1)
1. Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
2. Chứng minh rằng G, H, I thẳng hàng và GIGH 2−=
3. Vẽ đường cao AA' của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm A'
Bài 4: Cho tam giác ABC biết A(6;4), B(-4;-1), C(2;-4).
Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 5: Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC, biết toạ độ các đỉnh ( 1;2), (5;7), (4; 3)A B C− −
Bài 6: Cho ba điểm A(1;6), B(-4;-4), C(4;0)
1. Vẽ phân giác trong AD và phân giác ngoài AE. Tìm toạ độ D và E
2. Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Bài 7: Cho hai điểm A(0;2), )1;3( −−B . Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp
của tam giác OAB (TS A 2004)
Bài 8: Cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1;0), B(4;0), C(0;m) với 0≠m . Tìm toạ độ trọng tâm G
của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G. (TS D 2004).
-------------------Hết-------------------
95
ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Các định nghĩa về VTCP và PVT của đường thẳng:
1. VTCP của đường thẳng :
a
G
là VTCP của đường thẳng (Δ ) đn⇔ 0
a có giá song song hoặc trùng với ( )
a⎧ ≠⎪⎨ Δ⎪⎩
G G
G
n
G
là VTPT của đường thẳng (Δ ) đn⇔ 0
n có giá vuông góc với ( )
n⎧ ≠⎪⎨ Δ⎪⎩
G G
G
96
* Chú ý:
• Nếu đường thẳng ( ) có VTCP Δ 1 2( ; )a a a=
G
thì có VTPT là 2 1( ;n a a= − )
G
aK
aK )(Δ
nK
)(Δ
• Nếu đường thẳng ( ) có VTPT Δ ( ; )n A B=G thì có VTCP là ( ; )a B A= −G
aKnK
)(Δ
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Cho đường thẳng đi qua hai điểm A(1;-2), B(-1;3). Tìm một VTCP và một VTPT của ( )Δ ( )Δ
II. Phương trình đường thẳng :
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng :
a. Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng (Δ ) qua M0(x0;y0) và nhận 1 2( ; )a a a=
G
làm
VTCP sẽ có :
Phương trình tham số là : 0 1
0 2
.
( ) : ( )
.
x x t a
t
y y t a
= +⎧Δ ∈⎨ = +⎩
\
Phương trình chính tắc là : 0 0
1 2
( ) : x x y y
a a
− −Δ =
y
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho hai điểm A(-1;3), B(1;2). Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng qua A, B
Bài 2: Các điểm P(2;3); Q(4;-1); R(-3;5) là các trung điểm của các cạnh của một tam giác .Hãy lập
phương trình chính tắc của các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác đó.
);( 000 yxM
aK );( yxM
x
O
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng :
a. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có VTPT ( ; )n A B=
G
là:
97
0 0( ) : ( ) ( ) 0A x x B y yΔ − + − =
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho tam giác ABC biết ( 1;2), (5;7), (4; 3)A B C− −
1. Viết phương trình các đường cao của tam giác
2. Viết phương trình các đường trung trực của tam giác
Bài 2: Cho tamgiác ABC với A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5).
a) Viết phương trình đường vuông góc kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác ABC .
b) Tính diện tích tam giác ABK.
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng :
Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy). Phương trình đường thẳng (Δ ) có dạng :
Ax + By + C = 0 với 2 2 0A B+ ≠
Chú ý:
Từ phương trình (Δ ):Ax + By + C = 0 ta luôn suy ra được :
1. VTPT của (Δ ) là ( ; )n A B=G
2. VTCP của (Δ ) là ( ; ) hay a ( ; )a B A B A= − = −G G
3. ( ;0 0 0 0 0) ( ) 0M x y Ax By C∈ Δ ⇔ + + =
Mệnh đề (3) được hiểu là :
Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó
nghiệm đúng phương trình của đường thẳng .
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng biết phương trình tổng quát của nó là 5 2 3x y 0− + =
Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua M(-1;2) và song song ( ) : 2 3 4 0x yΔ − + =
Bài 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua N(-1;2) và vuông góc ( ) : 2 3 4 0x yΔ − + =
Bài 4: Cho hai điểm A(-1;2) và B3;4) . Tìm điểm C trên đường thẳng x-2y+1=0 sao cho tam giác
ABC vuông ở C.
Bài 5: Cho A(1;1) ; B(-1;3) và đường thẳng d:x+y+4=0.
a) Tìm trên d điểm C cách đều hai điểm A, B.
b) Với C tìm được . Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành .Tính diện tích hình bình hành.
)yM ;( 000 x
);( yxM
nKy
x
O
);( yM 000 x
);AnK ( B=
x
y
);( ABa −=
O K
);( ABa −=K
3. Các dạng khác của phương trình đường thẳng :
a. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) :
( ) : A A
B A B A
x x y yAB
x x y y
− −=− − ( ) : AAB x x= ( ) : AAB y y=
98
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(-2;1), C1;5). Viết phương trình ba cạnh của tam giác
b. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k:
Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng Δ . Gọi ( , )Oxα = Δ k tg thì α= được gọi là hệ số góc
củađường thẳng Δ
Định lý 1: Phương trình đường thẳng Δ qua 0 0 0( ; )M x y có hệ số góc k là :
(1) 0 0y - y = k(x - x )
Chú ý 1: Phương trình (1) không có chứa phương trình của đường thẳng đi qua M0 và vuông góc
Ox nên khi sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng đi qua M0 và vuông góc Ox là
x = x0
Chú ý 2: Nếu đường thẳng có phương trình Δ y ax b= + thì hệ số góc của đường thẳng là k a=
Định lý 2: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng 1 2,Δ Δ ta có :
• 1 2 1// k kΔ Δ ⇔ = 2
• 1 2 1 2 k . 1kΔ ⊥ Δ ⇔ = −
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Viết phương trình đường thẳng qua A(-1;2) và vuông góc với đường thẳng 3 4x y− + = 0
c. Phương trình đt đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đt cho trước:
i. 1 1Phương trình đường thẳng ( ) //( ): Ax+By+C=0 có dạng: Ax+By+m =0Δ Δ
ii. 1 2Phương trình đường thẳng ( ) ( ): Ax+By+C=0 có dạng: Bx-Ay+m =0Δ ⊥ Δ
x
y
O
α
);( yxM
x
y y
);( AA yxA );( BB yxBy);( AA yxA
);( BB yxB
Ax Bx
Ay
By
);( AA yxA
);( BB yxB
Ay By
x xO
)
y
O
;( yM x
0x
0y
x
Chú ý: được xác định bởi một điểm có tọa độ đã biết nằm trên 1 2;m m 1 2;Δ Δ
0: 11 =++Δ mByAx
x
y
O 0x
0: 1 =++Δ CByAx
1M
0: 21 =+−Δ mAyBx
x
y
O 0x
1M
0: 1 =++Δ CByAx
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua M(-1;2) và song song ( ) : 2 3 4 0x yΔ − + =
Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua N(-1;2) và vuông góc ( ) : 2 3 4 0x yΔ − + =
III. Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
99
Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
A x B y C
A x B y C
Δ + + =
Δ + + =
Vị trí tương đối của phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình : 1( ) và ( )Δ Δ2
hay 1 1 1
2 2 2
0
0
A x B y C
A x B y C
+ + =⎧⎨ + + =⎩
1 1 1
2 2 2
(1)
A x B y C
A x B y C
+ = −⎧⎨ + = −⎩
Chú ý: Nghiệm duy nhất (x;y) của hệ (1) chính là tọa độ giao điểm M của 1 2( ) và ( )Δ Δ
Định lý 1:
1 2
1 2
1 2
. Hệ (1) vô nghiệm ( ) //( )
. Hệ (1) có nghiệm duy nhất ( ) cắt ( )
. Hệ (1) có vô số nghiệm ( ) ( )
i
ii
iii
⇔ Δ Δ
⇔ Δ Δ
⇔ Δ ≡ Δ
Định lý 2: Nếu 2 2 2; ;A B C khác 0 thì
Δ Δ ⇔ ≠
Δ Δ ⇔ = ≠
Δ ≡ Δ ⇔ = =
1 1
1 2
2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 1
1 2
2 2
A. ( ) cắt ( )
A
A. ( ) // ( )
A
A. ( ) ( )
A
1
2
Bi
B
B Cii
B C
B Ciii
B C
1Δ
x
y
O
2Δ
21 //Δ Δ
1Δ
x
y
O
2Δ
y
O
Δ1
x
2Δ
21 Δ≡Δ21 cắtΔ Δ
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho tam giác ABC có phương trình ba cạnh là
( ) :8 3 17 0
( ) : 3 5 13
( ) : 5 2 1 0
AB x y
AC x y
BC x y
0
− + =
− − =
+ − =
Tìm toạ độ ba đỉnh A, B, C
Bài 2: Cho tamgiác ABC có đỉnh A(2;2) .Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.Biết rằng
các đường thẳng 9x-3y-4=0 và x+y-2=0 lần lượt là các đường cao của tam giác xuất phát từ
B và C.
Bài 3: Tuỳ theo m, hãy biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
1
2
: 1
: 2 0
d mx y m
d x my
0+ − − =
+ − =
IV. Góc giữa hai đường thẳng
Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
A x B y C
A x B y C
Δ + + =
Δ + + =
Gọi ϕ ( 0 ) là góc giữa 0 090ϕ≤ ≤ 21( ) và ( )Δ Δ ta có :
1Δ
x
y
O
2Δ
ϕ1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
.
A A B B
A B A B
ϕ +=
+ +
100
Hệ quả:
( 1 2 1 2 1 2) ( ) A 0A B BΔ ⊥ Δ ⇔ + =
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0;1) và tạo với đường thẳng : x+2y+3=0
một góc bằng 450
Bài 2: Lập phương trình các cạnh của hình vuông có đỉnh là (-4;5) và một đường chéo có phương
trình 7x-y+8=0.
V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) : 0Ax By C+ + = và điểm 0 0 0( ; )M x y Δ
Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( )Δ được tính bởi công thức:
0 00 2 2( ; )
Ax By C
d M
A B
+ +Δ =
+
Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
A x B y C
A x B y C
Δ + + =
Δ + + =
và ( )
Phương trình phân giác của góc tạo bởi ( )1 2Δ Δ là :
1 1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
2A x B y C A x B y C
A B A B
+ + + += ±
+ +
0M
y
O
x
H
)(Δ
y
O
1Δ
x
2Δ
Định lý 3: Cho đường thẳng 0:)( 1 =++Δ CByAx và hai điểm M(xM;yM), N(xN;yN) không nằm
trên ( ). Khi đó: Δ M N
M
N
Δ
Δ
• Hai điểm M , N nằm cùng phía đối với (Δ ) khi và chỉ khi
0))(( >++++ CByAxCByAx NNMM
• Hai điểm M , N nằm khác phía đối với (Δ ) khi và chỉ khi
0))(( <++++ CByAxCByAx NNMM
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho tam giác ABC biết A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5). Tính chiều cao kẻ từ A
Bài 2: Cho hai đường thẳng 1 2: 2 2 0 & : 2 4 7 0d x y d x y− − = + − = . Viết phương trình đường phân giác
của góc tạo bởi d1 và d2
Bài 3: Cho tam giác ABC với A(-6;-3); B-4;3), C9;2). Lập phương trình đường phân giác trong của góc
A của tam giác ABC.
Bài 4: Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1) .Lập pt đường thẳng qua P cách Q một đọan có độ dài bằng 3
Bài 5: Cho ba đường thẵng 02:)(,04:)(,03:)( 321 =−=−−=++ yxdyxdyxd . Tìm tọa độ điểm M
nằm trên đường thẳng (d3) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d1) bằng hai lần khoảng
cách từ M đến đường thẳng (d2)
VI. Chùm đường thẳng :
M
ΔΔ
1 2Δ
I
1. Định nghĩa: Tập hợp các đường thẳng cùng đi qua một điểm I được gọi là một chùm đường thẳng .
• I gọi là đỉnh của chùm
• Một chùm đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết :
i. Đỉnh của chùm
hoặc ii. Hai đường thẳng của chùm
2. Định lý: Trong Mp(Oxy) cho hai đường thẳng Δ Δ1 2, cắt nhau xác định bởi phương trình :
Δ + + =
Δ + + =
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
A x B y C
A x B y C
Khi đó : Mỗi đường thẳng qua giao điểm của Δ Δ1 2, đều có phương trình dạng:
101
( λ μ λ μΔ + + + + + = + ≠2 21 1 1 2 2 2) : ( ) ( ) 0 ( 0)A x B y C A x B y C
Chú ý:
102
λ μ
λ μ
= ≠ Δ ≡ Δ
≠ = Δ ≡ Δ
1
2
0 và 0 thì
0 và 0 thì
Đặc biệt :
λ μ≠ ≠ Δ ≠ Δ Δ
Δ
+ + + + + =
+ + + + + =
1 1
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
Nếu 0 và 0 thì và trong trường hợp này
phương trình có thể viết dưới dạng sau:
1. m(A ) (A ) 0
hoặc 2. (A ) (A ) 0
x B y C x B y C
x B y C n x B y C
M
2Δ1
Δ Δ
I
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng 3 5 2 0 & 5 2 4 0x y x y− + = − + =
và vuông góc với đường thẳng ( ) : 2 4 0d x y− + = .
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Phương trình hai cạnh của tam giác trong mặt phẳng tọa độ là 5x-2y+6=0 và 4x+7y-21=0
Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ.
Bài 2: Cho tam giác ABC , cạnh BC có trung điểm M(0;4) còn hai cạnh kia có phương trình
2x+y-11=0 và x+4y-2=0.
a) Xác định đỉnh A.
b) Gọi C là điểm trên đường thẳng x+4y-2=0, N là trung điểm AC . Tìm điểm N rồi tính
tọa độ B, C.
Bài 3: Cho tam giác ABC có M(-2;2) là trung điểm của BC , cạnh AB có phương trình x-2y-2=0,
cạnh AC có phương trình : 2x+5y+3=0.Xác định tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC.
Bài 4: Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5) đường cao kẻ từ A có phương trình 2x-5y+3=0 và đường
trung tuyến kẻ từ C có phương trình x+y-5=0 .
a) Tính tọa độ điểm A.
b) Viết phương trình của các cạnh của tam giác ABC.
Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;-1) và có các cạnh AB:4x+y+15=0 vàAC:2x+5y+3=0
a) Tìm tọa độ đỉnh A và tọa độ trung điểm M của BC .
b) Tìm tọa độ điểm B và viết phương trình đường thẳng BC.
Bài 6: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3).
a) Biết đường cao BH: 5x+3y-25=0, đường cao CK: 3x+8y-12=0. Tìm tọa độ đỉnh B , C.
b) Biết đường trung trực của AB là 3x+2y-4=0 và trọng tâm G(4;-2). Tìm B, C.
Bài 7: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến
ke û từ một đỉnh có phương trình 2x-3y+12=0 và 2x+3y=0.
Bài 8: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có
phương trình là x-2y+1=0 và y-1=0.
Bài 9: Cho tam giác ABC biết C(4;3) phân giác trong (AD):x+2y-5=0, trung tuyến (AE)
4x+13y-10=0.Lập phương trình ba cạnh.
Bài 10: Cho tam giác ABC biết A(2;-1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và C
lần lượt là d: x-2y+1=0 và x+y+3=0 .Tìm phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC.
Bài 11: Cho điểm M(-2;3) . Tìm phương trình đường thẳng qua M và cách đều hai điểm A(-1;0)
và B(2;1).
Bài 12: Cho A(2;-3) , B(3;-2) .Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d: 3x-y-8=0, diện
tích tam giác ABC bằng 3/2 . Tìm C.
Bài 13: Viết phương trình đường thẳng song song với d: 3x-4y+1=0 và có khỏang cách đến đường
thẳng d bằng 1.
Bài 14: Cho tam giác cân ABC biết phương trình cạnh đáy AB:2x-3y+5=0 cạnh bên AC:x+y+1=0
Tìm phương trình cạnh bên BC biết rằng nó đi qua điểm D(1;1).
Bài 15: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm trên đường thẳng y=x , phân giác
trong góc C nằm trên đường thẳng x+3y+2=0 . Viết phương trình cạnh BC .
Bài 16: Cho đường thẳng d: 2x+y-4=0và hai điểm M(3;3) , N(-5;19).Hạ MK ⊥ d và gọi P là điểm
đối xứng của M qua d:
a) Tìm tọa độ của K và P.
b) Tìm điểm A trên d sao cho AM + AN có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.
Bài 17: Cho tam giác ABC vuông ở A , phương trình BC là 3x y 3 0− − = , các đỉnh A và B
thuộc trục hòanh và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của
tam giác ABC.
Bài 18: Cho hình chử nhật ABC có tâm I(1/2;0) , phương trình đường thẳng AB là x-2y+2=0 và
AB=2AD . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hòanh độ âm.
Bài 19: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng 1 : 0d x y− = và 2 : 2 1 0d x y+ − = . Tìm toạ độ các đỉnh
hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B,D thuộc trục hoành
---------------------------Hết--------------------------
103
ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Phương trình đường tròn:
1. Phương trình chính tắc:
Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R là :
104
( ) (1) 2 2 2: ( ) ( )C x a y b R− + − =
Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn
Đặc biệt: Khi I ≡O thì (hay: 2 2( ) :C x y R+ = 2 2 2y R x= ± − )
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1: Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(1;3), B(3:-5)
Bài 2: Viết phương trình đường tròn có tâm I(-1;2) và tiếp xúc đường thẳng ( ) : 3 4 2 0x yΔ − + =
2. Phương trình tổng quát:
Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình : 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = với a b2 2 0c+ − >
là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính 2 2R a b= + − c
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn ( ) 2 2: 2 4 20 0C x y x y+ + − − =
Bài 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(3;3), B(1;1),C(5;1)
Bài 3: Cho phương trình : (1) 2 2 4 2 2 3x y mx my m+ + − + + = 0
Định m để phương trình (1) là phương trình của đường tròn (Cm)
II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình tiếp tuyến với đường tròn
( ) tại điểm2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = 0 0( ; ) ( )M x y C∈ là :
( ) 0 0 0 0: ( ) ( ) 0x x y y a x x b y y cΔ + − + − + + =
x
y
O
);( baI
R
b
a
);( yxM
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Xét đường tròn (C) qua ba điểm A(-1;2), B(2;0), C(-3;1). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A
IV. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:
Nhắc lại :
Định nghĩa: Cho đường tròn (O;R) và một điểm M cố định .
Phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) được ký hiệu là ℘M/(O) là một số
(C)
I(a;b))(Δ
);( 000 yxM
105
2 được xác định như sau: ℘M/(O) = 2d R− ( với d = MO )
Chú ý :
℘M/(O) > 0 ⇔ ở ngoài đường tròn (O)M
℘M/(O) < 0 ⇔ ở trong đường tròn (O)M
℘M/(O) = 0 ⇔ ở trên đường tròn (O)M
Định lý:
Trong mp(Oxy) cho điểm 0 0( ; )M x y và đường tròn
2 2 2 2x y ax by c 0+ − − + = với
a b có tâm I(a;b) và bán kính 2 2 0c+ − > 2 2R a b c= + − . Phương tích của điểm M đối với
đường tròn (C) là
℘M/(O) = 2 20 0 0 02 2x y ax by c+ − − +
(C)
M I
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Cho đường tròn (C): và điểm A(3;5). Xét vị trí của điểm A đối với đường tròn
(C)
2 2 2 4 4 0x y x y+ + − − =
IV. Trục đẳng phương của hai đường tròn:
File đính kèm:
- 14.Hinhgiaitichphang.pdf