Chuyên đề 1 : Các bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng qui

CHUYÊN ĐỀ 1 : CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI Bài 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm trên đường tròn. Tiếp tuyến tại A và C của (O) cắt nhau tại P. CH là đường cao của tam giác ABC (H thuộc AB), M là trung điểm của CH. Chứng minh rằng B, M, P thẳng hàng. Bài 2: Cho tam giác ABC. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. BO cắt DE tại F. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC. Chứng minh rằng F, M, N thẳng hàng. Bài 3:Cho tam giác ABC. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. BO cắt DE tại F. M, N là trung điểm của AC và BC. MN cắt DE tại F. Chứng min B, O, F thẳng hàng. Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC, đường cao AH. Đường tròn (O) cắt đường tròn (A; AH) tại P và Q. Gọi D, E là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng 4 điểm P, Q, D, E thẳng hàng. Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm trên cung BC không chứa A. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, AC và AB. a) Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng. b) Gọi I, J, K lần lượt là các điểm đối xứng của M qua D, E, F. Chứng minh rằng I, J, K cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó đi qua trực tâm H của tam giác ABC. Bài 6: Cho đường tròn (O) và một điểm S nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến SA, SB đến đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). D là một điểm trên đường tròn (O) ( D khác A và B) SD cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (O) tại D và E cắt nhau tại một điểm thuộc đường thẳng AB. Bài 7: Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC tại E và D . Tiếp tuyến tại D và E của (O) cắt nhau tại S. Gọi H là giao điểm của BD và CE. a) Chứng minh A, S, H thẳng hàng. b) SB cắt (O) tại K. Chứng minh 3 đường thẳng DE, AH và CK đồng qui tại một điểm. Bài 8: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm thuộc đường tròn. Vẽ . Đường tròn đường kính CH cắt (O) tại F, cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh 3 đường thẳng CF, AB và DE đồng qui. Bài 9: Cho đường tròn (O) và một điểm S nằm ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến SA, SB của (O) (A, B là hai tiếp điểm). M là một điểm trên cung nhỏ AB (MA < MB).   Qua M vẽ tiếp tuyến với (O) cắt SA, SB tại P và Q. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác SPQ tiếp xúc với SP , PQ tại D và E. Chứng minh rằng 3 đường thẳng DE, AM và SO đồng qui. Bài 10: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D. a) Chứng minh rằng AD. AC = AE. AB b) Gọi H là giao điểm của BD và CE, K là giao điểm của AH và BC. Chứng minh . c) Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M, N là hai tiếp điểm. Chứng minh d) Chứng minh M, H, N thẳng hàng. Gợi ý : 1. Có nhiều cách để chứng minh ba điểm thẳng hàng tuy nhiên các bạn có thể dùng phương pháp sau: Để chứng minh A, B, C thẳng hàng ta chứng minh trong đó B, C cùng phía đối với AD. Suy ra tia AB và AC trùng nhau hay A, B, C thẳng hàng. Hoặc có thể dùng phương pháp trùng khít: Dựng đường thẳng qua A và C, cắt đường chứa B tại B’. Sau đó chứng minh B và B’ trùng nhau Trên đây chỉ là một vài ý giúp bạn giải tốt dạng toán này. 2. Bài 1: BC kéo dài cắt AP tại Q. Chứng minh P là trung điểm AQ. Gọi M’ là giao điểm của BP và CH. Chứng minh M’ là trung điểm của CH. Bài 2: Chứng minh tứ giác EFCO nội tiếp, suy ta . Chứng minh FN và MN song song với AB. Bài 3: Chứng minh Bài 4: a) Tự chứng minh. b) Chứng minh tứ giác AHFB nội tiếp. Suy ra . Chứng minh Từ đó suy ra K, H, J thẳng hàng. 3. Bài 5: Gọi I là giao đểm của P là giao điểm của hai tiếp tuyến tại D và E của (O). I là giao điểm của OP và DE. Chứng minh . Khi đó chứng minh , suy ra (1) Chứng minh 5 điểm S, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn, suy ra Từ (1) và (2) suy ra P, A, B thẳng hàng. 4. Bài 6: Gọi I là giao điểm của DE và AH. Chứng minh K, I, C thẳng hàng. Gọi F là giao điểm của AH và BC. Chứng minh Suy ra tứ giác BKIF nội tiếp, suy ra Mà Suy ra điểu cần chứng minh. 5. Bài 8: Gọi K là giao điểm của DE và SO. Chứng minh K, M, A thẳng hàng. Chứng minh IKEQ nội tiếp. (giống bài 2) Chứng minh IPOQ nội tiếp. Chứng minh KM// PI và MA // PI Suy ra điều cần chứng minh. 6. Bài 9 là bài khó nhất, khi chứng minh 3 điểm M, H, N thẳng hàng! Em đã tìm được PP chứng minh, nhưng nó quá dài dòng, mong Thầy post lên pp ngắn gọn nhất em cảm ơn Thầy! 7. Chứng minh được là hay rồi, đôi khi cách dài dòng nhưng mình tốn thời gian ít, còn cách ngắn gọn nhưng tốn thời gian nhiều và đôi khi không có lợi trong khi thi. Bài 9: d) Chứng minh Suy ra Từ đó ta có thẳng hàng$ PS: Ý tưởng này thì thầy cũng nói ở đầu rồi, rất hay sử dụng. 8. Bài 7: Gọi O là giao điềm của CF và AB và I là trung điểm của CH. Chứng minh ( chứng minh I là trực tâm tam giác OCP) Chứng minh Suy ra P thuộc DE. CHUYÊN ĐỀ 2 : TỪ MỘT BÀI TOÁN TRONG SGK ĐẾN CÁC BÀI TOÁN THI HSG Trong SGK hình học lớp 9 có bài toán sau đây: Bài toán 1: Cho đường tròn (O; R) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B, đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh MA.MB = MC.MD Gợi ý: Chứng minh bài toán này không khó bằng cách xét hai trường hợp M nằm ngoài và nằm trong đường tròn (O). Trong mỗi trường hợp chứng minh tam giác MAC và tamg giác MCD đồng dạng, từ đó ta suy ra kết quả cần chứng minh. Qua bài toán này ta có thể chứng minh bài toán sau: Bài toán 2: Nếu M không nằm trên đường tròn (O; R), một đường thẳng thay đổi qua M và cắt (O) tại A và B. Khi đó tích MA. MB không đổi và bằng Gợi ý: Chứng minh bài toán 2 chỉ cần vẽ đường thẳng qua M và O cắt (O) tại C, D. Sau đó chứng minh tương tự bài toán 1 ta được kết quả. Bài toán 2 cho ta một ý tưởng để giải các bài toán về họ đường tròn đi qua một điểm cố định. Ta cùng xét các bài toán sau: Bài toán 3 ( Năng Khiếu 2004 - 2005 Chuyên toán) Cho đường tròn (O) và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (O) tại M và N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O. Gợi ý: Gọi P là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN và tia đối của tia AO. Ta có không đổi vì A và (O) cố định. Hơn nữa P thuộc tia đối của tia AO cố định nên P là điểm cố định. Bài toán 4: (NK 2006 - 2007 Chuyên toán) Cho đường tròn (O), AB là một dây cung cố định và E là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn tâm O bán kính OE tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP. AQ không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định. Gợi ý: Vì E là trung điểm của AB nên OE vuông góc với AB, suy ra AB là tiếp tuyến của (O; OE). Ta chứng minh được không đổi. Gọi I là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ và AB. Khi đó ta có: không đổi. Suy ra I là điểm cố định. Bài toán 5: (HSG Q. Tân Bình 2005 - 2006) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tuyến ABC (B, C thuộc (O)). Chứng minh rằng khi cát tuyến thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc một đường thẳng cố định. Gợi ý: Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC và AO. Tương tự như hai bài trên ta chứng minh được E là điểm cố định. Từ đó suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc đường trung trực của OE. Bài tập Bài 1: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt (O). M là một điểm thay đổi trên d, từ M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB đến (O) (A, B là hai tiếp điểm). Chứng minh AB luôn đi qua một điểm cố định. Bài 2: Cho đường tròn (O) và một điểm S cố định nằm ngoài đường tròn. AB là đường kính thay đổi. SA, SB cắt (O) tại C và D. a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB luôn đi qua một điểm cố định. b) Chứng minh CD luôn đi qua một điểm cố định. Bài 3: Cho 3 điểm C, A, B thẳng hàng và được xếp theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua A và B. CP, CQ là các tiếp tuyến của (O) (P, Q là tiếp điểm). Chứng minh rằng: a) P, Q luôn thuộc một đường tròn cố định. b) Trung điểm M của PQ luôn thuộc một đường tròn cố định. CHUYÊN ĐỀ 3 : BÀI TOÁN TỈ SỐ DIỆN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG Bài toán 1: Cho tam giác ABC, M là một điểm thuộc đường thẳng BC. a) Chứng minh: . b) Gọi I và K là hình chiếu của B và C trên AM. Chứng minh: . Giải: a) Vẽ . Khi đó ta có: b) Ta có Hệ quả 1: Cho tam giác ABC, M thuộc đường thẳng BC thì là trung điểm BC. Hệ quả 2: Cho tam giác ABC, và một điểm M bất kì. Khi đó nếu thì hoặc AM đi qua trung điểm của BC. Hệ quả 3: Cho tam giác ABC, G là một điểm bất kì. Khi đó G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi . Bài toán 2: Cho tam giác ABC. D và E là hai điểm thuộc cạnh AB và AC. Khi đó Giải: Theo bài toán 1 ta có: và Suy ra: . Chú ý: Kết quả của bài toán vẫn còn đúng nếu D, E thuộc đường thẳng AB và AC. Hệ quả 1: Nếu hai tam giác ABC và MNP có hoặc thì Hệ quả 2: Tỉ số hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Nghĩa là: nếu tam giác ABC và tam giác MNP đồng dạng thì: Trên đây là một vài kết quả về diện tích mà cách chứng minh đơn giản nhưng lại có nhiều ứng dụng khá hay. Sau đây là một vài ví dụ. Bài 1: Cho tam giác ABC. M là trung điểm của AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho AC = AN. Gọi K là giao điểm của BN và CM. Chứng minh KC = 4KM. Hướng dẫn giải: Ta có và Suy ra , suy ra Bài 2: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC và AB tại M, N, P. Chứng minh: Hướng dẫn giải: Ta có: Chứng minh tương tự ta có: và Từ đó suy ra: Bài 3: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng hai hình chữ nhật ABDE và ACFG có diện tích bằng nhau. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh OC đi qua trung điểm của DF. Hướng dẫn giải: Ta cần chứng hai tam giác OCD và OCF có diện tích bằng nhau. Vẽ Vẽ OH, OK lần lượt vuông góc với CD và CF(H thuộc CD, K thuộc CF). Ta chứng minh được . Từ đó suy ra: và Mà nên ta có: . Từ đó ta có: OC đi qua trung điểm của DF Bài 4: Trên các cạnh AB, AB, AC của tam giác ABC cố định, người ta lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho: a) Tính theo và b) Tính k sao cho đạt giá trị nhỏ nhất Hướng dẫn giải Ta có: Vì Do đó: Chứng minh tương tự ta cũng có: Từ đó ta có: b) Vì diện tích tam giác ABC không đổi nên để diện tích tam giác MNP nhỏ nhất thì đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có . Dấu bằng xảy ra khi k = 1. Vậy diện tích tam giác MNP lớn nhất bằng diện tích tam giác ABC khi k = 1. Bài tập làm thêm Bài 1: Chứng minh lại các hệ quả đã nêu ở phần 1. Tìm các cách chứng minh khác. Bài 2: Cho tam giác ABC có . Đường cao BH và CK. Chứng minh rằng . Bài 3: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB và AC lấy các điểm M và N sao cho: AB = 3AM, AC = 3CN. BN và CM cắt nhau tại O, AO cắt BC tại P.Tính Bài 4: Cho tam giác ABC, O là một điểm nằm trong tam giác. AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh rằng: (Định lí Ceva). Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và BC = a. AD, BE và CF là các đường phân giác trong. a) Tính BD, CD theo a, b, c. b) Tính diện tích tam giác DEF theo a, b, c và diện tích tam giác ABC. c) Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC lớn hơn 4 lần diện tích tam giác DEF. d) Phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát. Bài 6: Cho tam giác ABC, G là một điểm nằm trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của G trên BC, AC và AB. Trên các tia GD, GE, GF lấy các điểm M, N, P sao cho . Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác MNP. Bài 7: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. M là một điểm nằm trong tam giác. GM cắt các đường thẳng AB, AC và BC tại D, E, F. Chứng minh rằng: Bài 8: Cho hình vuông ABCD có AB = 6cm. Trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 2CM. Đường thẳng qua B vuông góc với DM tại H cắt CD tại K. Tính diện tích tam giác CKH. CHUYÊN ĐỀ 4 : BÀI TOÁN CỰC TRỊ CƠ BẢN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. M là điểm di chuyển trên cung lớn AB, H là hình chiếu của M trên AB. Tìm vị trí của M để MH đạt giá trị lớn nhất. Giải bài toán trong trường hợp M thuộc cung nhỏ AB. Hướng dẫn giải: Vẽ OI vuông góc với AB (I thuộc AB). Ta có . Dấu ” =” xảy ra khi và chỉ khi M, O, I thẳng hàng hay M là trung điểm cung AB. Vậy MA + MB đạt giá trị lớn nhất khi M là trung điểm cung AB. Tương tự đối với trường hợp M là trung điểm cung nhỏ AB. Bài 2: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ AB. Tìm vị trí của M để tổng MA + MB đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn giải: Trên tia đối của tia MA lấy điểm C sao cho MB = MC. Khi đó ta có MA + MB = AC. Ta có Suy ra C thuộc cung chứa góc dựng trên đoạn AB. Từ đó AC lớn nhất khi AC là đường kính. Khi đó M là trung điểm cung AB. Vậy MA + MB lớn nhất khi M là trung điểm cung AB. Trên đây là hai bài toán cực trị cơ bản của lớp 9, từ hai bài toán trên ta có thể giải các bài toán sau: Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. C là điểm thay đổi trên cung lớn AB. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm vị trí của C để chu vi, diện tích tam giác HAB có giá trị lớn nhất. Bài 2: Cho đường tròn (O) và AB là dây cố định. Tìm điểm C thuộc cung lớn AB sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3: Chứng minh rằng trong các tứ giác nội tiếp đường tròn (O) thì hình vuông có chu vi lớn nhất. Bài 4: ( CT NK 2007 - 200 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C). P là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. Hạ AM, AN lần lượt vuông góc với PB, PC. a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi. b) Xác định vị trí của P sao cho biểu thức AM.PB + AN.PC đạt giá trị lớn nhất. Bài 5: Cho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cạnh BC lấy một điểm M.Đường tròn tâm D qua M và tiếp xúc với AB tại B và đường tròn tâm E qua M tiếp xúc AC tại C cắt nhau tại I. a) Tìm vị trí của M để DE có giá trị nhỏ nhất. b) Tìm vị trí M để chu vi tam giác IBC có giá trị lớn nhất. CHUYÊN ĐỀ 5 : CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có các cách sau: Cách 1: Chứng minh tổng hai góc đối bằng . Cách 2: Chứng minh góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối. Cách 3: Chứng minh hai đỉnh kể cùng nhìn một cạnh hai góc bằng nhau. Cách 4: Chứng minh 4 đỉnh cách đều một điểm. Các cách trên chủ yếu là các cách chứng minh dựa vào các chứng minh về góc. Ngoài các cách trên chúng ta có một vài điều kiện đủ khác để một tứ giác là tứ giác nội tiếp. Chúng ta xét bài toán sau: Bài 1: Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo và I là giao điểm hai cạnh bên AD và BC. Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD b) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi IA. ID = IB. IC Gợi ý: Việc chứng minh bài toán này không có gì khó khăn, chúng ta chỉ việc chứng minh các tam đồng dạng và suy ra kết quả. Nhưng qua bài toán trên cho ta một ý tưởng chứng minh tứ giác nội tiếp : đó là chứng minh một đẳng thức về cạnh. Hãy dùng ý tưởng đó để giải các bài toán sau: Bài 2: Cho đườn tròn (O), A là một điểm nằm ngoài đường tròn. Một cát tuyến qua A cắt (O) tại B và C. Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P là tiếp điểm), gọi H là hình chiếu của P trên OA. Chứng minh 4 điểm O, H, B, C cùng thuộc một đường tròn. Hướng dẫn giải: Chúng ta thấy BC và OH cắt nhau tại A, do đó để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta nghĩ đến việc chứng minh AH.AO = AB.AC. Thật vậy ta có: (hệ thức lượng trong tam giác vuông APO) (tam giác APB và ACP đồng dạng). Từ đó ta có , theo bài 1 ta có điều cần chứng minh. Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi H là giao điểm của OA và BC. Vẽ dây cung DE của (O) đi qua H. Chứng minh rằng tứ giác ADOE nội tiếp. Hướng dẫn giải Tam giác OCA vuông tại C, CH là đường cao nên ta có: Dây cung BC và DE của (O) cắt nhau tại H nên ta có Từ đó ta có , chứng minh tương tự bài 1 ta có tứ giác ADOE nội tiếp. Bài tập Bài 1: Cho đườn tròn (O; R) và một điểm I nằm trong đường tròn. Hai dây cung AB và CD cùng đi qua I. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P, tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại Q. Gọi M là giao điểm của OQ và CD, N là giao điểm của OQ và AB. Chứng minh: a) Tứ giác MNPQ nội tiếp. b) OI vuông góc với PQ. Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD ( AB//CD). Gọi O là trung điểm của AD. Đường thẳng qua A vuông góc với OB cắt đường thẳng qua D vuông góc với OC tại K. Chứng minh OK vuông góc với BC. CHUYÊN ĐỀ 6 : CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ta dùng các cách sau đây: Cách 1 : Chứng minh khoảng cách từ O đến d bằng R. Hay nói cách khác ta vẽ , chứng minh . Cách 2: Nếu biết d và (O) có một giao điểm là A, ta chỉ cần chứng minh . Trên đây là hai cách chủ yếu, ngoài ra còn có các cách sau. Cách 3: Cách này dựa trên bài toán phụ sau: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia Ax thỏa (Ax cùng phía với tia AC đối với đường thẳng AB). Khi đó Ax là tia tiếp tuyến của (O). Cách này thường dùng để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Cách 3 trên là một ví dụ cho phương pháp chứng minh trùng khít - một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh các bài toán đảo. Và phương pháp này cũng được dùng nhiều trong các bài toán chứng minh tiếp tuyến. Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) . Tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại D.Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với phân giác góc ODC, đường này cắt CD tại M. Chứng minh rằng đường thẳng d qua M song song với AB luôn tiếp xúc với (O) khi C thay đổi. Giải: Ta thấy rằng đường thẳng d và (O) chưa có giao điểm nào, do đó ta dùng cách 1 để giải bài toán này. Vẽ . Ta cần chứng minh OH = OC. Ta có tam giác DMO cân tại D, suy ra . Mà (So le trong). Nên ta có . Từ đó ta có , suy ra OH = OC. Vậy d là tiếp tuyến của (O). Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. BF và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm AI. Chứng minh: MF là tiếp tuyến của (O). Giải: Ta thấy F là giao điểm của MF và (O). Ta sẽ sử dụng cách 2 để chứng minh. Tức là ta cần chứng minh . Ta chứng minh được I là trực tâm của tam giác ABC. Trong tam giác vuông AFI có FM là trung tuyến nên MF = FA = BI, suy ra tam giác MFA cân tại M, suy ra . Ta cũng có: (Tam giác OCF cân tại O). Từ đó: . Suy ra . Vậy nên MF là tiếp tuyến của (O). CHUYÊN ĐỀ 7 : CÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI 10 CHUYÊN TOÁN Bài 1: a)  Cho đường tròn (O) và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (O) tại M, N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định. b) Cho đường tròn (O) và một đường thẳng d không cắt đường tròn. I là điểm di động trên d. Đường tròn đường kính OI cắt (O) tại M và N. Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn giải a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MON cắt tia đối của tia AO tại P. Ta dễ dàng chứng minh được AO. AP = AM. AN. Mặt khác vẽ đường kính qua của (O) qua A, cắt đường tròn tại D và E. Ta chứng minh được . Khi đó AP không đổi và thuộc tia đối của tia AO nên P là điểm cố định. Vậy (MON) luôn qua điểm P cố định. b) Đường tròn đường kính OI cắt (d) tại H. Khi đó ta có . Suy ra H cố định. Ta có (O) và đường tròn đường kính IO cắt nhau tại M, N nên ta có OI là đường trung trực của MN và . Gọi K là giao điểm của MN và OI. Khi đó tam giác IOM vuông tại M có MK là đường cao nên: MN cắt OH tại Q. Ta có không đổi. Q thuộc tia OH và OQ không đổi nên Q là điểm cố định. Vậy MN luôn qua điểm Q cố định. Bài 2: Cho tam giác đều ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Hạ BD, PE, PF lần lượt vuông góc với AB, BC và AC. Tìm tập hợp các điểm P sao cho DEF là tam giác cân. Hướng dẫn giải Ta có tứ giác PEBD nội tiếp đường tròn đường kính BP. Vẽ đường kính EI của (PEBD). Suy ra . Tam giác EDI vuông tại D nên ta có Chứng minh tương tự ta có Tam giác DEF cân khi và chỉ khi DE = DF, ED = EF hoặc FD = FE PA = PB, PB = PC hoặc PC = PA P thuộc các đường trung trực của AB, BC hoặc AC. Vậy tam giác DEF cân khi và chỉ khi P nằm trên các đường trung trực của AB, BC và AC của tam giác ABC (Phần nằm trong tam giác ABC) Bài 3: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O( AB < BC). Vẽ đường tròn tâm I qua 2 điểm A và C cắt các đoạn AB, BC lần lượt tại M, N. Vẽ đường tròn tâm J đi qua 3 điểm B, N, M cắt đường tròn (O) tại điểm H. Chứng minh rằng a) OB  vuông góc với MN b) IOBJ là hình bình hành c) BH vuông góc với IH Hướng dẫn giải a) Vẽ tiếp tuyến Bx của (O). Chứng minh Bx // MN. b) Vẽ tiếp tuyến By của (J), chứng minh By // AC. Suy ra Ta có  OI là đường trung trực của AC, suy ra Và IJ là đường trung trực của MN, suy Tứ đó ta có: BJ// IO (cùng vuông góc AC) và OB // IJ (cùng vuông góc MN) Suy ra tứ giác BJIO là hình bình hành. c) Gọi G là giao điểm của BI và OJ, suy ra G là trung điểm của BI. Ta có OJ là đường trung trực của BH (B, H là giao điểm của (O) và (I)), mà G thuộc OJ nên GB = GH. Trong tam giác BHI có HG là trung tuyến và nên BHI vuông tại H. Bài 4: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có R là bán kính đường tròn ngoại tiếp thoả mãn hệ thức . Hãy định dạng tam giác ABC. Hướng dẫn giải  Ta có Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mà ta luôn có Suy ra . Khi đó ta có . Từ đó ta có tam giác ABC là tam giác vuông cân. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM. Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB tại D, cắt AC tại E (D khác E và khác điểm A). a) Chứng minh D, E, H thẳng hàng. b) Chứng mình và c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn (O). Tứ giá  AMOH là hình gì? d) Cho . Tính diện tích tam giác HEC theo a. Hướng dẫn giài a) Ta có nên DE là đường kính của đường tròn (H; HA). Suy ra D, H, E thẳng hàng. b) Tam giác HAD cân tại H nên Trong tam giác vuông ABC có AM là đường trung tuyến nên , suy ra tam giác MAC cân tại M, từ đó . Hơn nữa ( cùng phụ với góc ABC) Từ đó ta có: Suy ra . c) Theo câu b thì ta có Suy ra tứ giác BECD nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông) Gọi O là tâm đường tròn đi qua 4 điểm B, E, C, D. Vì M, H là lần lượt là trung điểm của DE và BC nên . Mà  Suy ra AM // OH và OM // AH, suy ra tứ giác OMAH là hình bình hành. d) Trong tam giác vuông AHC có: Tam giác AHE cân tại H có nên là tam giác đều, suy ra AE = AH = a, suy ra EC = AC - AE = a. Vậy Bài 6: Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD cùng bằng đáy lớn AB. M là trung điểm của CD. Cho biết . Tính các góc của hình thang. Hướng dẫn giải Ta có AC = BD nên ABCD là hình thang cân, suy ra $latex \widehat{DAB} =\widehat{ABC}. Mà Nên ta có: Gọi N là trung điểm của AD, ta có MN là đường trung bình của tam giác DAC, suy ra Từ đó ta có tứ giác NABM là tứ giác nội tiếp, suy ra Mặt khác tam giác ADB cân tại B có BN là đường trung tuyến nên cũng là đường cao, do đó: Suy ra Tam giác AMN vuông tại M có MA = MB (t/c đối xứng trục của hình thang) nên là tam giác vuông cân, suy ra Tam giác ABC cân tại A, suy ra $latex  =\widehat{MBC} + 2 \widehat{MBC} + 2 \widehat{ABM}$ Suy ra Từ đó ta có Và Bài 7: Cho đường tròn (O), bán kính bằng 1. Tam giác ABC thay đổi luôn ngoại tiếp (O). Một đường thẳng qua O cắt các cạnh AB, AC tại M và N. Xác định giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN. Hướng dẫn giải Đặt . Khi đó ta có Và Ta có Suy ra Dấu ” =” xảy ra ra tam giác ABC vuông tại A và MN vuông góc với AO. Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN bằng hai. Bài 8: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có AB < AC. Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa A. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của A trên BC, AB, AC. a) Chứng minh rằng b) Tìm vị trí của M để đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn giải a) Chứng minh Chứng minh Chứng minh Từ đó suy ra b) Ta có Suy ra A đạt giá trị nhỏ nhất khi MH đạt giá trị lớn nhất, khi đó M là điểm chính giữa cung BC. Bài 9: Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Hai điểm M, N lưu động trên hai đoạn AB và AC sao cho . Đặt . a) Chứng minh rằng b) Chứng minh c) Chứng tỏ rằng MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Hướng dẫn giải a) Trong hai góc có ít nhất một góc nhọn, do đó ta có thể giả sử nhọn. Vẽ , khi đó O nằm giữa AN. Ta có và và suy ra (1) Trong tam giác vuông AMO ta có: (2) Từ (1) và (2) ta có hay b) Ta có Hơn nữa ta có suy ra Suy ra c) Vì M nằm giữa A và F. Vẽ cắt (O) tại I. Qua I vẽ tiếp tuyến với (O) cắt AB, AC tại M’ và N’. Khi đó ta chứng minh được Mà M trùng M’ và N trùng N’. Vậy MN là tiếp tuyến của (O). Bài 10: Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD với D thuộc đoạn BC sao cho . Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E. Tính AE theo a, b. Hướng dẫn giải Ta có suy ra C nằm giữa B và E. Đặt Ta có Và (Góc ngoài bằng tồng hai góc trong không kề) Mà + (AD là phân giác của góc A) + (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó) Nên ta có: (1) Mặt khác ta có (2