Các phương pháp thường dùng giải Phương trình, Bất phương trình, Vô tỷ - Phần 2

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An H−ớng dẫn giải bài tập Bài 1: + Luỹ thừa bậc 3 hai vế rồi thế vào ph−ơng trình nh− ví dụ (2) của ph−ơng pháp luỹ thừa. Sau đó luỹ thừa bậc 3 hai vế ta đ−ợc ph−ơng trình: x3 + 31x - 1830 = 0 ⇔ x = 30; -61 Bài 2: Câu a: Bình ph−ơng hai vế hai lần ta đ−ợc bất ph−ơng trình 3x2 - 28 > 0 ⇒ x > 3 28 Câu b: - Đ−a bất ph−ơng trình về dạng ( )( ) 10x2x231 1x4 2 2 +< +− + - Trục căn ở vế trái ⇒ 3x23 <+ ⇒ - 3x 2 3 <≤ x ≠ -1 Câu c: Chuyển vế biến thành nhân tử (2x2 - x - 3)( x3 - 2) > 0 mà x3 > 2 ⇔ x > log232 ⇒ Bất ph−ơng trình ⇔ (2x2 - x - 3)(x - log232) > 0 ⇔     > ≤≤ 2 3x 2logx0 23 Câu d: + Đặt t x2 1x =+ theo bất đẳng thức côsi ⇒ t ≥ 2 và t2 = x + 1 x4 1 + khi đó bất ph−ơng trình trở thành 2t2 - 5t + 2 > 0 2t>⇔ t > 2 ⇒ 2 x2 1x >+ giải ra đ−ợc 0 < x < 2 2 3 − hoặc x2 2 3 <+ Bài 3: Câu a: đặt t = 11x 2 ≥+ bất ph−ơng trình trở thành + 2t2 - (4x - 1)t + (2x - 1) = 0 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An + Giải ra đ−ợc t = 2 1 loại; t = 2x - 1 ⇔ 1x 2 + = 2x - 1 giải ra đ−ợc x = 3 4 . Câu b: + Đặt t1x23 =− ⇒ ph−ơng trình trở thành hệ ( )  −=− =+ xt2tx t21x 33 3 ⇔ ( )   =+− =⇔    =    ++   +− =+ > 01x2x tx 02t 4 3 2 txtx t21x 3 0 2 2 3   ⇔ x = 1 hoặc x = 2 51±− Bài 4: + Giải bằng ph−ơng pháp cần và đủ hoặc + Đặt ( )( )x6x4 −+ = t ⇒ điều kiện 0 ≤ t ≤ 5 ⇒ Bất ph−ơng trình có dạng: f(t) = t2 + t - (m + 24) ≤ 0 ∀ t: 0 ≤ t ≤ 5 ⇔ ( )( ) 6m05f 00f ≥⇔  ≤ ≤ Bài 5: - Theo yêu cầu của bài toán ta cần: y = x + 0mx1 2 ≤−− với ∀x ∈ [-1, 1] - Đặt x = sinα ⇒ α ∈    ππ− 2 , 2 ⇒ y = sinα + cosα ≤ m với ∀ α ∈    ππ− 2 , 2 ⇒ 2ymax 2 , 2 =    ππ− ≤ m ⇒ m ≥ 2 + Vậy VT ≤ VP ⇒ VT = VP khi x = 1 - x ⇔ x = 2 1 + Kết luận vậy ph−ơng trình có 1 nghiệm duy nhất x = 2 1 khi m= 284 + . Đ Vấn đề 1: www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An Các ph−ơng pháp th−ờng dùng khi giải ph−ơng trình - bất ph−ơng trình vô tỉ (tiếp theo) 6. Ph−ơng pháp hàm số (bảng biến thiên - đồ thị) a. Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của ph−ơng trình x + m = m 1x 2 + (1) Giải: + (1) ⇔ m = 1x mx 2 + + (2) + Đặt y1 = 1x mx 2 + + và y2 = m - Ta có tập xác định của y1 là Dy1 = R - Sự biến thiên của y1 : y'1 = ( ) 0x1 mx1 32 = + − ⇒ x = ( )0m m 1 ≠ - 1 1x mxlim 2x ±=+ + ±∞→ . Ta có các bảng biến thiên của hàm y1 nh− sau: - Nếu m = 0 x -∞ +∞ y' + y1 -1 1 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An - Nếu m < 0 x -∞ m 1 +∞ y' - 0 + y1 -1 - 1m2 + 1 - Nếu m > 0 x -∞ m 1 +∞ y' + 0 - y1 -1 1m2 + 1 + Biện luận: nhìn vào các bảng biến thiên ta có - Nếu m = 0 2 đồ thị y1 cắt y2 tại một điểm có x = 0 ⇒ ph−ơng trình có 1 nghiệm x = 0. - Nếu m < 0 ⇒ - 1m2 + < m ⇒ nếu -1 ≤ m < 0 2 đồ thị cắt tại 1 điểm ⇒ ph−ơng trình có 1 nghiệm x = 0. Còn nếu m < -1 2 đồ thị cắt tại 2 điểm trong đó có 1 nghiệm x = 0. - Nếu m > 0 ⇒ 1m2 + > m do đó: + Nếu 0 < m ≤ 1 ⇒ ph−ơng trình có 1 nghiệm x = 0 + Nếu m > 1 ⇒ ph−ơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm x=0 Kết luận: + Nếu m ≤1 thì ph−ơng trình có 1 nghiệm duy nhất x = 0 + Nếu m > 1 ph−ơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm x=0 b. Ví dụ 2: cho ph−ơng trình 4 44 23x24xm2x24x +++++ = 6 (1). Biện luận theo m số nghiệm của ph−ơng trình (1). Giải: www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An + Đặt 4 4 m2x24x ++ = t ≥ 0 ⇒ Ta biện luận ph−ơng trình sau: ⇒ x4 + 24x + 2m = 16 ⇔ f(x) = x4 + 24x = 16 - 2m + Xét f'(x) = 4x3 + 24 = 0 ⇒ x = -2 có bảng biến thiên sau: x -∞ -2 +∞ y' - 0 + y1 +∞ -32 +∞ + Dựa vào bảng biến thiên ta có số nghiệm của ph−ơng trình bằng số giao của f(x) = x4 + 24x với y = 16 - 2m. * Nếu 16 - 2m 24 ph−ơng trình vô nghiệm * Nếu 16 - 2m = 32 ⇔ m > 24 ph−ơng trình vô nghiệm * Nếu 16 - 2m > -32 ⇔ m < 24 ph−ơng trình có 2 nghiệm 7. Ph−ơng pháp cần và đủ a. Ví dụ 1: Tìm m để ph−ơng trình: mx1xx1x 44 =−++−+ (1) có nghiệm duy nhất. Giải: * Điều kiện cần: nhận thấy nếu x = α là nghiệm của (1) thì x = 1 - α cũng là nghiệm của (1). Vậy (1) nếu có nghiệm duy nhất thì tr−ớc hết phải có α = 1 - α ⇒ ⇒ = 2 1 ⇒ Thay vào ph−ơng trình (1) có: m = 2 2 12 2 1 4 + = 284 + (a) * Điều kiện đủ: giả sử m = 284 + lúc đó (1) có dạng 28x1xx1x 444 +=−++−+ - Theo bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 bộ số ta có: ( ) 2x1x2x1x =−+≤−+ dầu "=" khi x = 1 - x ⇒ ( ) 444 822x1x2x1x =≤−+≤−+ dầu "=" khi x =1-x www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An + vậy vt< vp ⇒ vt = vp khi x = 1 – x ⇔ x = 1 2 + kết luận vậy ph−ơng trình có 1 nghiệm duy nhất x = 1 2 khi m = 284 + b. Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của a để bất ph−ơng trình (1) -4 ( )( ) 18ax2x2xx4 2 −+−≤+− nghiệm với ∀x ∈ [-2, 4] Gải: * Điều kiện cần: Theo yêu cầu bài toán vì bất ph−ơng trình nghiệm ∀x ∈ [-2, 4] Giải: * Điều kiện cần Theo yêu cầu bài toán vì bất ph−ơng trình nghiệm ∀x ∈ [-2, 4] ⇒ Bất ph−ơng trình trên phải nghiệm x = 4 ⇒ 0 ≤ 16 - 8 + a - 18 ⇔ a ≥ 10. * Điều kiện đủ: Với a ≥ 10 bất ph−ơng trình (1) có dạng: x2 - 2x + a - 18 ≥ x2 - 2x - 8 ≥ -4 ( )( )2xx4 +− (3) - Đặt ( )( ) 0t2xx4 ≥=+− ⇒ -x2 + 2x + 8 = t2 Nên (3) có dạng: t2 - 4t ≤ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤ 4 thỏa mãn ∀t: 0 ≤ t ≤ 3 (vì x ∈ [-2, 4]) ⇒ -x2 + 2x + 8 = t2 lúc đó 0 ≤ t2 ≤ 9 ⇔ 0 ≤ t ≤ 3. Vậy a ≥ 10 ⇒ Bất ph−ơng trình (1) nghiệm với ∀x: x ∈ [-2, 4]. Chú ý: ở ví dụ này chúng ta đã sử dụng ph−ơng pháp lựa chọn giá trị thích hợp là x = 4. nếu lấy giá trị của xa ∈ [-2, 4] ở điều kiện cần tìm ra giá trị của a ch−a đủ để khẳng định thì có thể lấy vài giá trị x ∈ [-2, 4] sau đó lấy giao cac giá trị a; khi chứng minh điều kiện đủ có thể thu hẹp các giá trị a để chứng minh đ−ợc điều kiện đủ; từ đó suy ra giá trị a cần tìm. c. Ví dụ 3: tìm a để bất ph−ơng trình: 3xx 2 ++ ≥ - 1 - x t−ơng đ−ơng với ph−ơng trình: x - a - x + 1 = 2 (2) là t−ơng đ−ơng với nhau. Giải: + Giải bất ph−ơng trình x13xx 2 −−≥++ (1) www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An (1) ⇔      −≤⇔  ≤ −≤⇔   ++≥++ ≥−− −≥⇔   ≥++ ≤−− 1x 2x 1x 1x2x3xx 0x1 1x 03xx 0x1 22 2 Vậy nghiệm của (1) là ∀x * Điều kiện cần: giả sử (1) t−ơng đ−ơng với (2) ⇒ x = -1 là x0 của (2) ⇒ -1 - a - -1 + 1 = 2 ⇒ a + 1 = ±2 ⇔ a = 1; -3 * Điều kiện đủ: * Với a = 1: (2) trở thành : x - 1 - x + 1 = 2 (3) - Với x ≤ -1 ⇒ (3) : -x + 1 + x + 1 = 2 luôn đúng - Với -1 < x ≤ 1 ⇒ (3): -x + 1 - x - 1 = 2 ⇒ x = -2 loại - Với x > 1 ⇒ (3): x - 1 - x - 1 = 2 vô nghiệm Vậy (2) có nghiệm x ≤ -1 không t−ơng đ−ơng với (1) * Với a = -3 : (2) trở thành : x + 3 - x + 1 = 2 (4) - x ≤ -3 : (4) trở thành : -x - 3 + x + 1 = 2 Vô nghiệm - 3 < x ≤ -1 : (4) trở thành: x + 3 + x + 1 = 2 ⇔ x = -1 x > -1 : (4) trở thành: x + 3 - x - 1 = 2 đúng ⇒ Vậy bất ph−ơng trình (2) có nghiệm là x ≥-1 Kết luận: Không có giá trị nào của a để (1) t−ơng đ−ơng với (2). d. Chú ý: ng−ời ta có thể dùng các ph−ơng pháp toán học khác để giải ph−ơng trình - bất ph−ơng trình. Ví dụ nh− có thể dùng véctơ để giải bất ph−ơng trình nh− sau: Ví dụ: Giải bất ph−ơng trình ( ) 2x23x23x1x 2 −+−≥−+− (1) Giải: + Ta có ( ) ( )1,1v;3x,1xu =−−= GG (Với x ≥ 1) www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An + Ta thấy 3x1xv.u −+−=GG ( )23x1xu −+−=G ; 2v =G + Vậy bất ph−ơng trình (1) có dạng véctơ nh− sau: vuv.u GGGG ≥ (2) mà ( )v,ucosvuv.u GGGGGG = ⇔ cos ( ) 0k3x1xvu1v,u ≥=−=−⇔↑↑⇔= GGGG ⇔ 5x 010x7x 3x 9x6x1x 3x 22 =⇔   =+− ≥⇔   +−=− ≥ Vậy bất ph−ơng trình trên có 1 nghiệm duy nhất x = 5. Bài tập: Bài 1: a. Giải bất ph−ơng trình : 333 1x21x61x2 −>+++ b. Giải bất ph−ơng trình : 16x9 8x12x224x2 2 + −>−−+ Bài 2: a. Giải ph−ơng trình : 5 3x2x31x4 +=−−+ b. Giải ph−ơng trình : 3(2 + 6xx2)2x ++=−