Các phương pháp thường dùng giải Phương trình, Bất phương trình, Vô tỷ - Phần 1

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An H−ớng dẫn giải bài tập 1. Bài 1: Giải và biện luận : |x-1|(x+2) + m = 0 (1) Giải: + Đặt f(x) = |x-1| x+2) = ( ) ( )  <−=−+ ≥−=−+ 41xvớim2xx 31xvớim2xx 2 2 + Nếu x2 + x – 2 = -m có nghiệm thì x1,2 = 2 m491 −±− + Nếu x2 + x – 2 = m có nghiệm thì x3,4 = 2 m491 +±− + Dựa vào đồ thị ta thấy: * Nếu m < - 4 9 ⇒ -m > 4 9 (đồ thị vế trái của (3) cắt y = - m ở 1 điểm x2 = 2 m491 −+− > 1 và đồ thị vế trái của (4) không cắt y = m ⇒ ph−ơng trình (1) có 1 nghiệm là x2 * Nếu - 4 9 ≤m <0 thì (3) cho 1 nghiệm x2 và (4) cho 2 nghiệm x3,x4. * Nếu m = 0 thì (3) cho 1 nghiệm x2 = 1; (4) cho 2 nghiệm x3; x4 = 1 ⇒ Ph−ơng trình (1) có 2 nghiệm là x2=x4=1 và x3 = -2 y=m (m>0) y=-m (m>0) 1 -9/4 -2 x y -1/2 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An * Nếu m > 0 thì (3) không có nghiệm (2 đ−ờng thẳng không cắt nhau; và (4) cho 1 nghiệm x3 (vì 2 đồ thị chỉ cắt tại 1 điểm x3 < 1) 2. Bài 2: Xác định a để ph−ơng trình |2x2 – 3x – 2| = 5a – 8x – 2x2 (1) có nghiệm duy nhất. Giải: + (1) ⇔ |2x2 – 3x – 2| + 2x2 + 8x = 5a + Đặt y1 = |2x 2 – 3x – 2| + 2x2 + 8x = 4x2 + 5x – 2 với x ≤ - 2 1 ;x ≥ 2 11x + 2 với - 2 1 < x < 2 y2 = 5a + Vẽ y1 có Đ(-    −− 16 57; 8 5 + Dựa vào đồ thị ⇒ ph−ơng trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔ 5a = - 16 57 ⇔ a = - 80 57 Bài 3: Tìm m để miny = x2 + |m+1|2 + 2+x+m-1| ≤ 3. -1/2 -2 -7/2 2 y=-m (m>0) x y y=50 -3/8 -57/16 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An Giải; + Đặt |x+m-1| = t ≥ 0. + Tr−ờng hợp t = x+ m - 1 ⇒ y = t2 - 2(m-2)t + 2(m2+1) ⇒ Hoành độ đỉnh của (P) là tĐ = m-2; nếu tĐ > 0 ⇔ m >2 thì miny = y(tĐ) = (m-2)2 - 2(m-2)2 + 2(m2+1) = m2 + 4m - 2 ≤ 3. ⇔ -5 ≤ m ≤ 1 không thoả mãn m > 2 Nếu tĐ < 0 ⇔ m < 2 ⇔ 0tmin≥ y = y(0) = 2m2 + 2 ≤ 3 ⇔ |m| < 2 2 (do t≥ 0 hàm đồng biến) + Tr−ờng hợp t = -x - m + 1 ⇒ y = t2 + 2mt + 2(m2 + 1) ta có đỉnh của (P) lúc này có hoành độ tĐ = -m - Nếu tĐ ≤ 0 ⇔ m ≥ 0 ⇒ 0tmin≥ y = y(0) = 2m2 + 2 ≤ 3⇔0≤ m≤ 2 2 (3) + Từ (1) , (2), (3) kết luận -1 ≤m ≤ 2 2 thì min y≤ 3 Bài 4: Tìm m để f(x) = (x-2)2 + 2|x-m| ≥ với ∀x (1) Giải: + (1) ⇔ (x-2)2 ≥ 3-2|x-m| + Đặt y1 = (x-2) 2 và y2 = 3-2|x-m| bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm y2 nằm d−ới đồ thị hàm y1 . ta có y2 =   ≥+− ≤−+ mxvới2m2x3 mxvới2m2x3 + Xét 2 tiếp tuyến của y1 có hệ số góc ± 2 ta có 2 tiếp tuyến đó có ph−ơng trình: y = 2x - 5 và y = -2x+3 nên để y1 nằm trên y2 với ∀x cần và đủ là y = -2x+3 ở trên y = -2x + 2m + 3 ⇔ 3 ≥ 2m + 3 ⇔ m ≤0 y = 2x-5 ở trên y = 2x - 2m + 3 ⇔ -5 ≥ 3-2m ⇔ m ≥ 4 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An V. Chuyên đề: Ph−ơng trình – bất ph−ơng trình vô tỉ Đ1. Vấn đề 1: Các ph−ơng pháp th−ờng dùng khi giải ph−ơng trình – bất ph−ơng trình vô tỉ A. Các bất ph−ơng trình cơ bản 1. ( )x2 xf < g(x) ⇔ f(x) ≥ 0 g(x) > 0 f(x) < [g(x)]2k 2. ( )x2 xf > g(x) ⇔ g(x) ≤0 f(x) > 0 g(x) ≥ 0 f(x) < [g(x)]2k 3. ( )k2 xf > ( )k2 xg ⇔ g(x) ≥ 0 f(x) > g(x) B. Các ph−ơng pháp th−ờng dùng 1. Ph−ơng pháp lũy thừa: Cô lập căn thức và luỹ thừa 2 vế. a. Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình : x12x3 2x3 x 2 −=−−− (1) Giải: + ĐK: x > 3 2 khử mẫu ta có + Ta có (1) ⇔ x2 – 3x +2 = (1-x) 2x3 − ⇔ (x-1)(x-2) + (x-1) 2x3 − = 0 ⇔ (x-1)[(x-2) + 2x3 − ] = 0 ⇔ x –1 = 0 (2) 2x3 − = 2-x (3) + Giải (2) ⇔ x = 1 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An + Giải (3) ⇔ 2-x ≥ 0 3x – 2 = x2 – 4x + 4 ⇔ 1x 6x 1x 2x =⇔      = = ≤ + Kết luận: Ph−ơng trình có nghiệm x = 1 b. Ví dụ 2: Giải ph−ơng trình: 333 3x22x1x −=−+− (1) Giải : + (1) ⇔ (x-1)+ (x-2) + 3 ( )( ) ( ) ( )[ ]333 2x1x2x1x −+−−− = 2x – 3 + (1) ⇔ ( )( )( )3 3x22x1x −−− = 0 ⇔ x = 1; 2; 2 3 c. Ví dụ 3: Giải bất ph−ơng trình 1x6x2 2 +− > x-2 (1) Giải: + (1) ⇔ ( )         −>+− >+− ≥−   ≥+− <− 22 2 2 2x1x6x2 01x6x2 02x 01x6x2 02x ⇔ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An             >            > −<     +> −< ≥ −≤            +≥ −≤ < 3x 3x 1x 2 73x 2 73x 2x 2 73x 2 73x 2 73x 2x + Kết luận: Nghiệm của bất ph−ơng trình x ≤ 2 73 − hoặc x > 3 2. Ph−ơng pháp đặt ẩn phụ a. Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên củaph−ơng trình x2 +x + 12 1x + =36 Giải (1): + đặt 1x + = t ≥ 0 ⇒ (1) ⇔ (x+1)2 - (x+1)+12 1x + = 36 Do đó (1) có dạng t4- t2 + 12t - 36 = 0 ⇔ (t-2) (t3+2t2+3t+18) = 0 ⇔ (t-2)(t+2)(t2-t+6) = 0 do điều kiệu t ≥ 0 ⇒ t = 2 ⇔ 1x + = 2 ⇔ x == 3 b. Ví dụ 2: Giải bất ph−ơng trình 1x10x5 2 ++ > -x2 - 2x + 7 (1) Giải: www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An + Đặt 1x10x5 2 ++ = t ≥ 0 ⇒ x2 + 2x = 5 1t 2 − bất ph−ơng trình (1) trở thành: t2 + 5t - 36 ≥ 0 ⇒ 4t 4t 9t 0t ≥⇒  ≥ −≤ ≥ Giải bất ph−ơng trình: 1x10x5 2 ++ ≥ 4 ⇔ x2 + 2x - 3 ≥ 0 ⇔ x ≤ -3 U x ≥ 1 là nghiệm của bất ph−ơng trình (1) 3. Ph−ơng pháp đ−a ph−ơng trình về một hệ ph−ơng trình bất ph−ơng trình a. Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình x2 + 5x + = 5 (1) Giải: Đặt 5x + = t ≥ 0 ⇒ t2 = x+5 ta có hệ sau   =− =+ 5xt 5tx 2 2 ⇔ ( )  =−+− =+ 0txtx 5tx 22 2 ⇔ ( )( )  =−−+ =+ 01txtx 5tx 2 ⇔        =− =+   =+ =+ 1tx 5tx 0tx 5tx 2 2 ⇔ ( )        =−+ ≥+=   =−+− ≥−= 04xx 01xt 0txtx 0xt 2 22 ⇔          ±−= −≥    ±= ≤ 2 171x 1x 2 211x 0x Vậy ph−ơng trình (1) có các nghiệm : x1 = 2 211− ; x2 = 2 171+− c. Ví dụ 2: Giải ph−ơng trình: 7x2 + 7x = 28 9x4 − với x > 0 Giải: + Đặt 28 9x4 − = t + 2 1 ⇔ t>0 vì 28 9x4 − > 28 9 > 2 1 4 1 = www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An + ⇒    +=+ +=+ 2 1xt7t7 2 1tx7x7 2 2 ⇒ ( )( )   =++− +=+ 08t7x7tx 2 1tx7x7 2 ⇒    =−+⇔=−−+ = 0 2 1x6x70 2 1xx7x7 tx 22 x = 14 506 ±− ⇒ x = 14 506 +− (loại gt âm vì x > 0) 4. Ph−ơng pháp so sánh: a. Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình: 2x − + x4 − = x2 – 6x + 11 giải: VT = 2x − + x4 − ≤ ( )x42x2 −+− = 2 (BĐTBCS) VP = x2 – 6x + 11 = (x-3)2 + 2 ≥ 2. + VT ≤ 2 ≤ VP ⇒ VT = vP = 2 khi 2x − = x4 − x –3 = 0 ⇔ x = 3 b. Ví dụ 2: Giải bất ph−ơng trình: 2x3x 2 +− + 3x4x 2 +− ≥ 2 4x5x 2 +− (1) Giải: + ĐK : x ≤ 1; x ≥ 4 + Với x ≥ 4; (1) ⇔ ( )( ) ( )( )3x1x2x1x −−+−− ≥ 2 ( )( )4x1x −− ⇔ ( )3x2x −+− ≥ 2 4x − luôn đúng ∀x ≥ 4. Vì : 2x − ≥ 4x − www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An 3x − ≥ 4x − ⇒ VT ≥ VP + Với x < 1: (1) ⇔ ( )( ) ( )( )x3x1x2x1 −−+−− ≥ 2 ( )( )x4x1 −− ⇔ ( )x3x2 −+− ≥ 2 x4 − vô nghiệm. Vì : x2 − < x4 − x3 − < x4 − ⇒ VT <2 x4 − = VP + Với x = 1 luôn đúng + Kết luận: Nghiệm của bất ph−ơng trình:   ≥ = 4x 1x * Chú ý: Khi giải ph−ơng trình bất ph−ơng trình vô tỉ cần nhận xét kỹ và biến đổi khéo léo bài toán vì thế có thể đơn giản nhiều Ví dụ: Giải ph−ơng trình: ( )2 2 x211 x4 +− = 2x + 9 ( ) 2 x2 x211.x2    − ++ = 2x + 9 ⇔ 2 + 2x + 2 x21+ = 2x + 9 ⇔ x21+ = 2 7 ⇔    =+ −≥ 4 491x2 2 1x ⇒ x = 8 45 5. Ph−ơng pháp l−ợng giác hoá a. Ví dụ: Giải ph−ơng trình x3 + ( )32x1− = x ( )2x12 − (1) Giải : + Điều kiện: -1 ≤ x ≤ 1 (1-x2) ≥ 0 ⇔ |x| ≤ 1) www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An + Đặt x = sinα ⇒ α ∈    ππ− 2 , 2 ⇒ Ph−ơng trình (1) trở thành sin3α + cos3α = 2 sinα cosα . Nếu đặt t = sinα + cosα ⇒ (sinα + cosα)( sin3α + cos3α - sinα cosα) = 2 sinα cosα t(1- 2 1t 2 − ) = 2 2 1t 2 − ⇔ t3 + 2 t2 - 3t - 2 = 0 ⇔ (t- 2 ) (t2 + 2 2 t + 1) = 0 ⇔ t = 2 ; -( 2 +1); 1- 2 * Nếu t = 2⇒ 2 cos (α- 4 π ) = 2 ⇔ α = 4 π ⇒ x = sin 4 π = 2 2 * Nếu t = -( 2 +1) ⇒ loại vì -( 2 +1) < - 2 Nếu t = 1 - 2 ⇒ sinα + cosα = 1- 2 ⇒ x+ 2x1− =1 - 2 ⇔ 2x1− =1 - 2 - x ≥0 ⇒ x ≤ 1 - 2 ⇔ 1 - x 2 = (1- 2 -x)2 = (1- 2 )2 - 2(1- 2 )x + x2 ⇔ 2x2 - 2(1- 2 )x - 2 2 + 2 = 0 ∆' = 2 2 - 1 x12 = 2 12221 −±− Kết luận Ph−ơng trình có 2 nghiệm x = 2 2 và x = 2 12221 −−− Chú ý: Khi điều kiện của đối số: -1≤x≤1 th−ờng đặt sinα = x; hoặc cosα = x Bài tập Bài 1: giải ph−ơng trình: 3 34x + - 3 3x − = 1 Bài 2: Giải bất ph−ơng trình: a. 2x1x3x −<−−− b. 4(x+1)2 < (2x+10)(1- x23 + )2 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ____________________________________________________________ Trần V ăn Thỏi - Tr ường PTTH Chu Văn An c. 4x2.3 x .x+3 x1+ < 2. 3 x .x2 + 2x + 6 d. 5 x + x2 5 < 2x + x2 1 +4 Bài 3: Giải ph−ơng trình a. (4x -1) 1x 2 + = 2x2 + 2x + 1 b. x3 + 1 = 2 3 1x2 − Bài 4: Tìm m để bất ph−ơng trình ( )( )x6x4 −+ ≤ x2 - 2x + m đúng ∀x ∈ [-4,6] Bài 5: Cho y = x + 2x1− - m. Tìm m để y ≤ 0 với ∀x ∈ TXĐ