Các đặc điểm chính trong từng giai đoạn phát triển của toán học

CÂU LẠC BỘ TỐN HỌCLẦN 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRÀ VINHTỔ: TỐN – TIN - SINHNgày 13 tháng 3 năm 2008CÁC ĐẶC ĐIỂM CHÍNH TRONG TỪNG GIAI ĐOẠNPHÁT TRIỂN CỦA TOÁN HỌC Giai đoạn phát sinh Giai đoạn toán học sơ cấp Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển Giai đoạn toán học hiện đại Giai đoạn phát sinh Thời gian: từ thời nguyên thủy đến thế kỷ thứ 7, 6 trước công nguyên. Các nền toán học tiêu biểu: cổ Ai Cập và cổ Babylon Đặc điểm chính: + Toán học chỉ là một khoa học thực nghiệm. + Những khái niệm toán học đầu tiên như số hình được phát sinh do nhu cầu về đếm và đo đạc. +Những tri thức toán học được xây dựng chủ yếu bằng những kinh nghiệm lao động sản xuất giản đơn. Con người chưa có ý niệm chứng minh các kết quả toán học Giai đoạn toán học sơ cấp Thời gian: khoảng từ thế kỷ thứ 6 trước công nguyên đến khoảng đầu thế kỷ thứ 17. Các nền toán học tiêu biểu: cổ Hy Lạp, Aán Độ, Trung Hoa, Á Rập, Tây Âu, Các nhà toán học tiêu biểu: Thales, Pythagoras, Euclid, Archimedes, Eudoxus, Apolionius, Diophantus, Viéte Giai đoạn toán học sơ cấp Đặc điểm chính: + Toán học thành một khoa học suy diễn được trình bày một cách có hệ thống, có lập luận chứng minh chặt chẽ, phương pháp tiên đề đã được phát hiện bởi Euclid. + Đối tượng nghiên cứu chủ yếu là số và hình trong quan hệ gần như là tĩnh tại và cố định. Phần lớn các kiến thức trong giai đoạn này về số học, hình học, lượng giác, đại số được giảng dạy ở trường phổ thông ngày nay. Một số tư tưởng toán học hiện đại như phép tính tích phân, tương quan hàm số, + Toán học trong thời kỳ tương ứng với trình độ sản xuất theo kiểu thử công.Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển Khoảng từ thế kỷ thứ 17 đến đầu thế kỷ thứ 19. Các nền toán học tiêu biểu: các nước Tây Âu. Các nhà toán học tiêu biểu: Descartes, Fermat, Newton, Leibniz Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển Đặc điểm chính: + Với hai phát minh có tính cách mạng là: phát minh ra hình học tọa độ (hình học giải tích) của Descartes và Fermat và phát minh ra phép tính vi tích phân.Đối tượng nghiên cứu của toán học bây giờ là đại lượng biến thiên, toán học nghiên cứu đối tượng trong quá trình vận động và biến đổi trong mối quan hệ hữu cơ với nhau. + Một số nội dung toán học trong giai đoạn này được giảng dảy ở các lớp phổ thông trung học và phần lớn được dạy trong các lớp trong hai năm đầu đại học.Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển + Như Engels đã viết: “Đại lượng biến thiên của Descartes là một bước ngoặc trong toán học. Nhờ nó mà vận động và biện chứng đã đi vào toán học” và “Chỉ có phép tính vi phân mới đem lại cho khoa học tự nhiên khả năng miêu tả bằng toán học không chỉ những trạng thái mà cả những quá trình”. Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển + Trong giai đoạn này hình học xạ ảnh cũng ra đời. Giai đoạn này của toán học tương ứng với nền sản xuất kiểu cơ khí. + Môn giải tích đã đạt được những thành tựu lớn lao nhưng cơ sở của nó chưa vững vàng. Vì vậy phát sinh sự khủng hoảng về cơ sở của giải tích toán học, và dây cũng là mâu thuẫn giữa yêu cầu toán học phải phản ánh thuộc tính vận động và biến đổi của thế giới khách quan và yêu cầu phải thỏa mãn tính logic chặt chẽ về hình thức của bản thân nội tại toán học.Giai đoạn toán học hiện đại  Thời gian: khoảng đầu thế kỷ thứ 19 đến nay. Các nền toán học tiêu biểu: Tây Âu, Nga. Các nhà toán học tiêu biểu: Cauchy, Euler, Weierstrass, Gauss, Lobachevski, Cantor, Boole, Cartan, Brouwer, Giai đoạn toán học hiện đạiĐặc điểm chính: + Toán học có tính trừu tượng và khái quát rất cao. Với lý thuyết nhóm, hình học phi Euclid , lý thuyết tập hợp, lý thuyết logic toán giúp nghiên cứu một cách nhất quán mọi loại phép toán, mọi loại quan hệ và cấu trúc ở mức độ rất khái quát, và giải quyết được gia đoạn khủng hoảng về cơ sở của toán học. + Nếu trước đây người ta xem xét toán học chỉ ở ba cấu trúc cơ bản thì trong giai đoạn này người ta đi đến các cấu trúc phức tạp hơn (gọi là cấu trúc cơ sở) là : đa tạp khả vi, đa tạp đại số, và đa tạp giải tích. + Đối với hình học, người ta có những loại không gian khác nhau có số chiều hữu hạn hay vô hạn. Nhờ vậy, toán học được áp dụng rất rộng rãi trong tất cả các lĩnh vực khoa học khác nhau.THALÈS (624 – 548) Ông là người đầu tiên ý thức được việc chứng minh tính đúng đắn của các mệnh đề toán học, và đã phát hiện ra những kết quả cơ bản sau đây:Một đường tròn được phân đôi bởi một đường kính bất kỳ.Các góc ở đáy của một tam giác cân là bằng nhau.Các góc đối đỉnh của hai đường thẳng cắt nhau thì bằng nhau.Một góc nội tiếp trong nửa đường tròn là một góc vuông.Hai tam giác bằng nhau khi có một cạnh bằng nhau kề với hai góc bằng nhau từng đôi một.Tính chất về đoạn thẳng tỷ lệ.Thales (624 – 548) THALÈSĐịnh lí ThalèsPYTHAGORAS (khoảng 560 – 480) Định lí Pythagoras Khám phá ra tính vô tỉ của số Đưa ra cách dựng ba khối đa diện đều: lập phương, tứ diện đều và thập nhị diện đều. Định lí tổng các góc trong của một tam giác và bài toán về chia mặt phẳng thành những đa giác đều Pythagoras (khoảng 560 – 480) PYTHAGORASĐịnh lí PythagorasEUCLID (khoảng năm 300 TCN)Bộ “ cơ bản” gồm 13 quyển, gồm 465 mệnh đề + Quyển 1,2,3,4,5,6 là về hình học phẳng + Quyển 7,8,9 viết về lý thuyết tương đương với lý thuyết số hữu tỉ + Quyển 10 viết về 1 số dạng số vô tỉ + Quyển 11,12,13 viết về hình học không gianMột số tác phẩm: về những sai lầm trong toán học, về thiết diện conic, quỹ tích bề mặt.. EUCLID (khoảng năm 300 TCN)Archimedes ( 287-212)Ôâng là nhà bác học vĩ đại thời cổ Hy Lạp và là 1 trong những nhà toán học vĩ đại của mọi thời đại.Các công trình: đo lường hình tròn, cầu phương Parabol, về các đường xoắn ốc, về hình cầu và hình trụ,bàn tính cát, về các vật thể nổi,..Định luật về lực đẩy của chất lỏng ( định luật Archimedes).“ Tôi có thể đém được tất cả các hạt các trong vũ trụ”_khi ông phat hiện ra qui tắc biểu diễn một số bất kỳ“Cho tôi 1 điểm tựa,tôi có thể làm cho trái đất dịch chuyển”_khi phát hiện ra qui tắc đòn bẩyArchimedes ( 287-212)Descartes (1596-1650)Ông là nhà triết hocï, toán học và vật lý học người Pháp.Công trình toán học chủ yếu của ông là quyển “La géométrie” (Hình Học) (1637) đã đặt nền tảng cho hình học giải tích. Ông là người sáng lập môn bản đồ học và đã lập bản đồ toàn thế giới. Năm 1619, ông đề xuất phương pháp suy diễn trong nghiên cứu tự nhiên. Descartes (1596-1650)Fermat (1601?-1665)Ông sinh ở gần Toulouse nước Pháp, Ông là một luật gia tận tụy và kín đáo, ông dùng nhiều thời gian rảnh rổi để nghiên cứu toán học.Ông có những đóng góp rất đa dạng cho toán học, nhưng có lẽ nổi bậc nhất là đặt nền móng cho lý thuyết có tính chất hiện đại về số. Ông đã đưa ra bài toán hóc búa: Phương trình (x, y, z khác 0 và n > 2) không có nghiệm là số nguyên dương. Fermat (1601?-1665)Newton (1643 – 1727 )Isaac Newton là nhà báo học vĩ đại người Anh Newton (độc lập vơi Leibniz) đã lập nên một cơ sở của một khoa học mới là phép tính vi tích phân bởi công trình Method of Fluxions (1736) Các đường bậc ba (1704), nghiên cứu các tính chất của đường bậc ba bằng hình học giải tích. Newton (1643 – 1727 )Leibniz (1646-1716)Gottfried Wilhelm Leibniz một nhà bác học thiên tài người Đức Ông đã có phát biểu những tính chất cơ bản của các phép toán logic.Leibniz đã phát minh ra phép tính vi tích phân từ năm 1673 đến 1676 Tham luận đầu tiên của ông về phép toán vi phân mãi đến năm 1681 công bố .Leibniz (1646-1716)Cauchy (1789 – 1857) Augustin Louis Cauchy là nhà toán học người Pháp. Ông được xem là người đi đầu trong lĩnh vực giải tích toán học.Ông viết trên 700 công trình toán họcÔng phát triển lý thuyết chuỗi, lý thuyết định thức, phép tính tích phân, phương trình vi phân, lý thuyết hàm biến thức. Ông cũng có hàng loạt công trình cho các lĩnh vực hình học, đại số và lý thuyết số, lý thuyết đàn hồi.Cauchy (1789 – 1857) Gauss (1777 - 1855) Carl Friedrich Gauss là nhà toán học Đức vĩ đại nhất trong thế kỷ XIX và thường được xếp ngang hàng với Archimedes và Isaac Newton.Ông là một trong ba nhà toán học vĩ đại nhất của mọi thời đại. Khi ở tuổi lên ba đã biết tính nhanh tổng 1 + 2 + + 100 bằng tích 101.50 làm kinh ngạc thầy giáo.Ông là một trong ba người khám phá ra hình học phi – Euclid Ông có nhiều công trình về lý thuyết số.Gauss là người chứng minh chặt chẽ định lý cơ bản của đại số học (một phương trình đa thức bậc n và có các hệ số phức thì có ít nhất một nghiệm phức). Gauss (1777 - 1855)