Các bài Toán chọn lọc về số học

Các bài toán chọn lọc về số học I) sơ đồ giải BT pec ma ; BT1: tìm nghiệm nguyên dương của PT : Xy =z2 BT2 : Tìm nghiệm nguyên dương PT : X2 + y2= z2 . BT 3 : CMR : PT sau không có nghiệm nguyên dương : X4+y4 = z2 . BT4 : : CMR : PT sau không có nghiệm nguyên dương: X4+y4= z4. BT 5 : cho pt : xn + yn =zn.(1) . CMR : pt(1) vô nghiệm với mọi n vô nghiệm với mọi n là số nguyên tố II) Định nghĩa chuẩn : cho K là một trường số . khi đó là một hàm số trên K ĐGL một chuẩn trên K nếu tm các ĐK sau : 1) (0) =0; (a) >0 . 2) (a.b) =(a). (b). 3) (a+b) (a) + (b) ( bđt tam giác ) . III) chuẩn phi csi mét : Cho trên trường K một chuẩn . đgl chuẩn phi acsi mét nếu : (a+b) Ma x ((a) ; (b) ). IV ) Định lý Ma son : K là một trường đóng đại số đặc số không. a,b,c là các đa thức khác hằng số trên K và nguyên tố cùng nhau sao cho b + c =a . khi đó : Ma x ( deg a ; deg b ; deg c ) n(abc ) – 1. Trong đó n(a) : số nghiệm của đa thức a . V) Hệ quả : khụng tồn tại các đa thức trong trường đóng đại số đặc số không K ,khác hằng số , đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mạn PT : aN+bn = cn . VI ) Định lý Dven port: f và g là các đa thức trên trường K , nguyên tố cùng nhau , sao cho : f3 g2 . khi đó ta có : deg ( f3- g2 ) . vII) giả thuyết ‘’abc’’: Gs a,b,c là các số nguyên ,nguyên tố cùng nhau và a+ b =c . khi đó , , tồn tại số C sao cho : Max( |a|;|b|;|c|) < C.N. Trong đó : N =. VI ) Số giả nguyên tố : b là một số nguyên dương cho trước .Nếu n là hợp số nguyên dương Và bn b ( mod n), thì n đgl số giả nguyên tố cơ sở b . VD : 561 là số giả nguyên tố cơ sở 2 vì: 2561 ( mod 561) . VII) : Chẩn p- adic : KH : p : Trong trường số hữu tỷ Q : ta biểu diễn : , a = . (p) = p. khi đó p là một chuẩn phi ac si mét trên Q . đgl chuẩn p – adic. VIII ) Mở rộng hữu hạn : I X) số đại số : Cho mở rộng E/K ; u đgl phân tử đai số trên K nếu tồn tại 0 : f(u) = 0 . Phân tử u đgl siêu việt trên K nếu u không là phân tử đại số trên K ,tức là Nếu f(u) = 0 thì f(x) =0 , Bổ đề : các số e , là các số siêu việt . B T : u2 là số đại số trên trường K u là số đại số trên trường K . X) Đa thức cực tiêu , đa thức đơn hệ :