Bổ trợ lượng giác 10

BỔ TRỢ LƯỢNG GIÁCPHẦN MỘT : Nhớ: ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁCMcoscotgsintgPQOKH+-1-111BAA’B’Cô nằm , sin đứng αNhắc lại kiến thức đã học sin đi họccứ khóc hoàithôi đừng khóccó khó đâu Chỉ áp dụng cho tam giác vuông BACcứ khóc hoàisin đi họcthôi đừng khóccó khó đâusin cos cotg tg Giá trị đại số của OPKhi điểm M di chuyển trên đường (O) với bán kính bằng 1 đơn vị, hình chiếu vuông góc của M lên trục cos là P có thể nằm về phần âm hay dương của trục tính từ tâm O.Vì vậy, GIÁ TRỊ ĐẠI SỐ có thể âm hay dươngLưu ý:Vận dụng vào tam giác OPM vuông tại P:Xét tam giác OBK vuông tại B :Xét tam giác OAH vuông tại A :OPMαOHAααOBKMcoscotgsintgPQOKH+-1-111BAA’B’αOPMαQαĐối với trục tg ta nhớ gốc đặt tại A , chiều dương hướng theo chiều mũi tênĐối với trục cotg ta nhớ gốc đặt tại B , chiều dương hướng theo chiều mũi tênXét tam giác OPM vuông tại P :McoscotgsintgPQOKH+-1-111BAA’B’αDấu của các hàm số lượng giácM thuộc ptư I:M di chuyển trên cung coscotgsintgO+-1-111BAA’B’αM thuộc ptư II:M di chuyển trên cung McoscotgsintgO+-1-111BAA’B’αM thuộc ptư III:M di chuyển trên cung McoscotgsintgO+-1-111BAA’B’αM di chuyển trên cung M thuộc ptư IV:M1PM2cos2αsin2α +(sinα)2 (cosα)2Xét tam giác OPM vuông tại P :Một số công thức cơ bản :Áp dụng định lý Pitago , ta có :OP2OM2++1OPMαOQ2+OP21( * )Chia 2 vế của pt (*) cho cos2α ≠ 0Chia 2 vế của pt (*) cho sin2α ≠ 01Ví dụ : Chứng minh rằng :Giải:(đpcm)Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau độc lập với xGỉai:Vậy E độc lập với xVí dụ : Tính cosx,tgx,cotgx. Biết :Trả lời:Ta có:Vì: BẢNG GIÁ TRỊ ĐẶC BIỆT CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC :HSLGcoscotgsintgO+-1-111BAA’B’MCác điểm đặc biệt khi M di chuyển trên đường tròn lượng giácthì:Khi từ A, điểm M quay thêm nhiều vòng theo chiều dương hoặc âm để trở về A, góc α có giá trị là:Hay :hayk : số vòng tròn (nếu quay theo chiều dương k>0 ; theo chiều âm k<0)O1AcoscotgsintgO+-1-111BAA’B’MKhi từ A’, điểm M quay thêm nhiều vòng theo chiều dương hoặc âm để trở về A’, góc α có giá trị là:thì:Hay :hayO-1AcoscotgsintgO+-1-111BAA’B’thì:Hay :hayKhi từ B, điểm M quay thêm nhiều vòng theo chiều dương hoặc âm để trở về B, góc α có giá trị là:M1OBcoscotgsintgO+-1-111BAA’B’thì:Hay :hayKhi từ B’, điểm M quay thêm nhiều vòng theo chiều dương hoặc âm để trở về B’, góc α có giá trị là:MOB-1coscotgsintgO+-1-111BAA’B’Các cung liên kết sin(α + k2π) = sinα cos(α + k2π) = cosα tg(α + k2π) = tgαcotg(α + k2π) = cotgα1.Cung sai kém k2π:Nhớ : nghĩa là : sin bằng sin cos bằng cos tg bằng tg cotg bằng cotg Sai thì bằng(α+ k2π)α (α+ k2π)+MM’PP’QQ’Ocoscotg-1-11BAA’B’1αTLấy M’ là điểm đối xứng của M qua đường phân giác thứ nhất OT của hệ trục xOy :xyαLập tỉ số rồi suy ra tg và cotgNên :tgsin2.Cung phụ : Ta có công thức sau về cung phụ với : sin = cosα cos = sinα tg = cotgα cotg = tgαNhớ : nghĩa là : sin bằng cos cos bằng sin tg bằng cotg cotg bằng tg Phụ thì chéo+Ocoscotg-1-11BAA’B’1xytgsinMM’QQ’P-αα3.Cung đối: (-α)Lấy M’ là điểm đối xứng của M qua trục cos: sin(-α ) = - sinα cos(-α ) = cosα tg(-α ) = - tgαcotg(-α ) = - cotgαTừ đó suy ra các công thức về cung đối: (-α)Nhớ : nghĩa là : sin bằng - sin cos bằng cos tg bằng - tg cotg bằng - cotg Đối “-” bỏ cos(-α )α+Ocoscotg-1-11BAA’B’1xytgsinMM’PP’Qαα4.Cung bù: (π-α)Lấy M’ là điểm đối xứng của M qua trục sin: sin(π-α ) = sinα cos(π-α ) = - cosα tg(π-α ) = - tgαcotg(π-α ) = - cotgαTa có công thức sau về cung bù: (π-α)Nhớ : nghĩa là : sin bằng sin cos bằng - cos tg bằng - tg cotg bằng - cotg Bù “-” bỏ sin(π-α )α5.Cung hơn kém nửa pi: sin = cosα cos = - sinα tg = - cotgα cotg = - tgαNhớ : Nghĩa là : sin bằng cos cos bằng - sin tg bằng - cotg cotg bằng - tg Nửa pi sin cos chéo “-”Chứng minh : sin(π+α ) = - sinα cos(π+α ) = - cosα tg(π+α ) = tgαcotg(π+α ) = cotgα6.Cung hơn kém nguyên pi: (π+α)Nhớ : nghĩa là : sin bằng - sin cos bằng - cos tg bằng tg cotg bằng cotg Nguyên pi hai đối, kỳ dư thì bằng(π+α )αChứng minh : Sai thì bằng, phụ thì chéo Đối “-” bỏ cos, bù “-” bỏ sin. Nửa pi sin cos chéo “-” Nguyên pi hai đối, kỳ dư thì bằng.Nhớ : Với các cung nửa pi và nguyên pi ta nhớ giữa là dấu “+”, nghĩa là π/2+α và π+α Đồ thị của các hàm số lượng giác:1. Hàm số y = sinx X0 π/2 Πy=sinx0 1 0Hàm y = sinx là một hàm lẻ và tuần hoàn với chu kỳ T=2πBảng biến thiên:Đồ thị : X0 π/2 Πy=cosx1 0 -12. Hàm số y = cosx Hàm y = cosx là một hàm chẵn và tuần hoàn với chu kỳ T=2πBảng biến thiên:Đồ thị : X0 π/2 y = tgx0 || 3. Hàm số y = tgx Hàm y = tgx là một hàm lẻ và tuần hoàn với chu kỳ T = πBảng biến thiên:Đồ thị : X0 π/2 Πy=cotgx|| 0 ||4. Hàm số y = cotgx Hàm y = cotgx là một hàm lẻ và tuần hoàn với chu kỳ T = πBảng biến thiên:Đồ thị :Tính chất của các hàm số lượng giác Hàm số y = f(x) có miền xác định D được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại ít nhất một số L≠0 sao cho, với mọi x Є D ta có : x ± L Є D f(x ± L) = f(x) Giá trị dương nhỏ nhất của L, nếu có, được ký hiệu là T và được gọi là chu kỳ của hàm số.1. Tính tuần hoàn:a. Định nghĩa : Định lý :Các hàm số y = sinx và y = cosx là hàm tuần hoàn và có chu kỳ 2πCác hàm số y = tgx và y = cotgx là hàm tuần hoàn và có chu kỳ π Chứng minh :Xét hàm số :Vận dụng cung sai kém k2π :Xét ngoài giá trị 2π còn giá trị nào nhỏ hơn thỏa mãn sin(x±L) = sinx hay không?Ta có :Nhưng :( Vì định nghĩa , số L ≠ 0, nên ta chỉ xét 0<x<2π )Áp dụng tương tự cho hàm y = cosxXét hàm số :Vận dụng cung nguyên π cho tg(x+π) :Vận dụng cung đối và cung bù cho tg(x-π) :Ta có :Nhưng :( Vì định nghĩa , số L ≠ 0, nên ta chỉ xét 0<x<π )Áp dụng tương tự cho hàm y = cotgx2. Tính chẵn lẻ của một hàm số lượng giác:Định lý:y = cosx là hàm số chẵny = sinx , y = tgx, y = cotgx là các hàm số lẻChứng minh :a. Hàm số y = cosx có D=R nên :Nhắc lại kiến thức đã học :f(x) là một hàm chẵnf(x) là một hàm lẻhàm chẵnb. Hàm số y = sinx, y= tgx, y = cotgx có miền xác định D : hàm lẻHàm số y = sinx tăng trên [0;π/2] và giảm trên [π/2;π]Hàm số y = cosx giảm trên [0;π]Hàm số y = tgx tăng trong [0; π/2)Hàm số y = cotgx giảm trong (0; π/2]3.Tính đơn điệu của các hàm số lượng giác :a. Định lý :coscotgsintgO+-1-111BAA’B’MM’PP’QQ’Hàm cosx giảmHàm sinx tăngHàm cosx giảmHàm sinx giảm(M tăng dần từ 0 đến π/2)(M’ tăng dần từ π/2 đến π)Hàm cosx giảmHàm sinx tăngHàm cosx giảmHàm sinx giảm(M tăng dần từ 0 đến π/2)(M tăng dần từ π/2 đến π )Hàm tgx tăng, vì:Hàm cotgx giảm, vì:b. Miền giá trị của các hàm số lượng giác:Với mọi x Є D , ảnh của x là y = f(x) có các giá trị thuộc về một tập hợp T , thì T được gọi là miền giá trị của hàm số f.coscotgtgO+-1-111BAA’B’MPQsinKhi M di chuyển trên đường tròn (0) với R=1 đvị, thì hình chiếu của nó lên các trục sin và cos là P và Q luôn nằm trong giá trị từ -1 đến +1. Do đó : Đối với các điểm H và K lần lượt xác định trên trục tg và cotg khi kéo dài OM (trừ M≡B đối với tg và M≡A đối với cotg) nên : T = (-∞;+∞)HKαCác ví dụ :i. Tính các hàm số lượng giác của các góc (cung ) sau:Trả lời :Tính :1350 và 13050Tương tự : Áp dụng cung sai kém k3600 (hay sai kém k2π) vào góc 13050 đối với các hàm cos , tg và cotg.Tính : 17π và -13π/6 Tương tự : Áp dụng cung đối và cung sai kém k2π vào góc -13π/6 đối với các hàm cos , tg và cotg.ii. Tính giá trị biểu thức :Với cotgx = -3Vì cotgx = -3 nên sinx ≠ 0 , do đó chia tử và mẫu cho sin2x Trả lời :iii. Đơn giản biểu thức :Trả lời :iv. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng :Trả lời :Theo giả thiết A, B, C là ba góc của một tam giác nên:A + B + C = πA + A + B + C = π + A2A + B + C = π + A(đpcm)Vài cảm nghĩ: Khi học Lượng giác, các em chú ý học kỹ đường tròn của bài này.Những công thức các em học sẽ dễ dàng hơn nếu đưa những dòng thơ gần gũi vào nơi cần thiết.Chúc các em học tốt !