Bài tập ôn tập học kỳ 2 môn Toán lớp 11

ĐỀ SỐ 01 Bài 1: Tính các giới hạn sau: a) ; b) ; c) ; d) Bài 2: a) Tính b) Cho hàm số . Chứng minh: Bài 3: a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số tại điểm có hoành độ . b) Tính đạo hàm của các hàm số sau: Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ (ABCD) và ABCD là h.thang vuông tại A, B . AB = BC = a, . a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD). c) Tính khoảng cách giữa AD và SC. Bài 5: a) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: b) Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định . ĐỀ SỐ 02 Bài 1: Tính các giới hạn sau: c) ; Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) b) . Bài 3: a) Chứng minh phương trình có 3 nghiệm thuộc . b) Chứng minh hàm số sau không có đạo hàm tại Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD). Gọi I, K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông. b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK). c) Tính góc giữa SC và (SAB). d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD). Bài 5: Cho hàm số có đồ thị (H). a) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại A(2; 3). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng . c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến này đi qua điểm C(0; 1). ĐỀ SỐ 03 Bài 1: Tính các giới hạn sau: b) ; Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số: a) ; b) . Bài 3: Cho đường cong (C): . Viết phương trình tiếp tuyến của (C): a) Tại điểm có hoành độ bằng 2. b) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng . c) Tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 2). Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, , , . a) Chứng minh: vuông và SC vuông góc với BD. b) Chứng minh: c) Tính khoảng cách giữa SA và BD. Bài 5: a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m. b) Tìm a để hàm số f(x) liên tục tại x = 1, biết ĐỀ SỐ 04 Bài 1: a) Tính tổng b) Tìm các giới hạn: A = ; B = ; C = . Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) b) Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: a) Tại giao điểm của đồ thị và trục tung. b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2012 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, , SO ^ (ABCD), . Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE. a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC). b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC). c) Gọi () là mặt phẳng qua AD và vuông góc (SBC). Xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (). Tính góc giữa () và (ABCD). Bài 5: a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm thuộc . b) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: ĐỀ SỐ 05 Bài 1: Tính các giới hạn sau: a) b) lim( Bài 2: a) Tính đạo hàm của hàm số: b) Cho . Giải phương trình . Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông cân tại C. AC = a, SA = x. a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC). b) Chứng minh . Tính khoảng cách từ A đến (SBC). c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB). d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC Bài 4: (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C). a) Tìm x sao cho . b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(–1; –9). Bài 5: Chứng minh rằng phương trình có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (–2; 5). ĐỀ SỐ 06 Bài 1: a) Tìm các giới hạn sau: b) Cho dãy xác định bởi: ; . CMR: với mọi n thì Từ đó suy ra limun = 0. Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) b) Bài 3: 1) Tìm a để phương trình , biết rằng . 2) Cho hàm số: . a) Giải bất phương trình . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: . Bài 4: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a, , . a) Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC. c) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD). Bài 5: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = 2 Bài 6: Tính tổng ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 01 Bài 1: a) b) c) a) Tính d) = Bài 2: a) · Ta có b) Bài 3: a) Þ Với Þ PTTT: b) Tính đạo hàm · · Bài 4: a) CM các mặt bên là các tam giác vuông. Þ DSAB và DSAD vuông tại A. ·BC ^ AB, BC ^ SA Þ BC ^(SAB) Þ BC ^ SB Þ DSBC vuông tại B · · hạ CE ^ AD Þ DCDE vuông cân tại E nên EC = ED = AB = a · nên tam giác SDC vuông tại C. b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD) · c) Tính khoảng cách giữa AD và SC · Ta có · Hạ AH . · Vậy Bài 5: a) Xét hàm số: f(x) = Þ f(x) liên tục trên R. · f(–1) = 1, f(0) = –7 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc Î · f(0) = –7, f(3) = 17 f(0).f(3) < 0 phương trình có nghiệm · c1 Çc2 = Æ nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực. b) · Tập xác định D = R \ {1} · Với hàm số xác định nên liên tục. · Xét tại x = 1 Ï D nên hàm số không liên tục tại x = 1 · Xét tại x = –1 nên hàm số không liên tục tại x = –1 ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 02 Bài 1: c) ; Bài 2: a) b) Bài 3: a) Hs f(x) = x3 – 3x + 1 liên tục trên R nên nó liên tục trên đoạn [-2; 2] = [-2; -1]È[-1; 1]È[1; 2] f(-2)f(-1) = -1.3 = - 3 < 0 Þ pt f(x) = 0 có 1 nghiệm x1 Î (-2; -1) = c1. f(-1)f(1) = 3.(-1) = -3 < 0 Þ pt f(x) = 0 có 1 nghiệm x1 Î (-1; 1) = c2. f(1)f(2) = (-1).3 = -3 < 0 Þ pt f(x) = 0 có 1 nghiệm x1 Î (1; 2) = c3. mà c1 Çc2Çc3 = Æ nên phương trình đã cho có ba nghiệm thực. b) · Khi · mà nên hàm số không có đạo hàm tại x = –3. Bài 4: a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông. · SA^ (ABCD) nên SA^ BC, AB ^ BC (gt) Þ BC ^ (SAB) BC ^ SB Þ DSBC vuông tại B. · SA ^ (ABCD) SA ^ CD, CD ^ AD (gt) CD ^ (SAD) CD ^ SD DSCD vuông tại D · SA ^ (ABCD) nên SA ^ AB, SA ^ AD các tam giác SAB và SAD đều vuông tại A. b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK). · SA ^ (ABCD) SA ^ BD, BD ^ AC BD ^ (SAC) · DSAB và DSAD vuông cân tại A, AK SA và AI SB nên I và K là các trung điểm của AB và AD IK//BD mà BD (SAC) nên IK ^ (SAC) (AIK) ^ (SAC) c) Tính góc giữa SC và (SAB). · CB ^ AB (từ gt),CB ^ SA (SA ^ (ABCD)) nên CB ^ (SAB) Þ hình chiếu của SC trên (SAB) là SB · Tam giác SAB vuông cân có AB = SA = a d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD). Hạ AH ^ SO , AH ^ BD do BD ^ (SAC) AH ^ (SBD) Bài 5: Þ a) Tại A(2; 3) Þ b) Vì tiếp tuyến song song với đường thằng nên hệ số góc của tiếp tuyến là Gọi là toạ độ của tiếp điểm Þ · Với · Với c) Đường thẳng d đi qua C(0; 1) có pt: y = kx + 1, d là tt của (H) khi hệ pt sau có nghiệm pttt d: y = - 8x + 1. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 03 Bài 1: b) ; Bài 2: a) b) Þ Bài 3: Þ a) Þ PTTT . b) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 3. Gọi là toạ độ của tiếp điểm Þ · Với Þ PTTT: · Với Þ PTTT: c) Gọi d là đường thẳng đi qua A(0; 2) Þ d có pt y = kx + 2, d là tiếp tuyến khi và chỉ khi hệ pt sau có nghiệm: · Với x = 0, k = 0 ta có PTTT: y = 2 · Với ta có PTTT: Bài 4: a) · Chứng minh: vuông + . + . tam giác SAC vuông tại S. · Chứng minh SC ^ BD BD ^ SO, BD ^ AC Þ BD ^ (SAC) Þ BD ^ SC. b) · Chứng minh: Gọi H là trung điểm của SA. Þ Þ DHBD vuông tại H Þ DH ^ BH (1) · DSOA vuông cân tại O, H là trung điểm của SA Þ OH ^ SA (2) · SO ^ (ABCD) Þ SO ^ BD, mặt khác AC ^ BD (3) · Từ (2) và (3) ta suy ra SA ^ (HBD) SA ^ HD (4) Từ (1) và (4) ta suy ra DH ^ (SAB), mà DH (SAD) nên (SAD) ^ (SAB) · Gọi I là trung điểm của SC dễ thấy OI = OH = OB = OD Þ DIBD vuông tại I Þ ID ^ BI (5) · Þ DDSC cân tại D, IS = IC nên ID ^ SC (6) Từ (5) và (6) ta suy ra ID ^ (SBC), mà ID (SCD) nên (SBC) ^ (SCD). c) Tính khoảng cách giữa SA và BD. OH ^ SA, OH ^ BD nên . Bài 5: a) Xét hàm số Þ f(x) liên tục trên R. · · Nếu m = 0 thì phuơng trình có nghiệm x = 0 · Nếu m thì Þ phương trình luôn có ít nhát một nghiệm thuộc (0; m) hoặc (m; 0). Vậy phương trình luôn có nghiệm. b) · · Nếu a = –3 thì và nên hàm số không liên tục tại x = 1 · Nếu a ¹ –3 thì , nhưng nên hàm só không liên tục tại x = 1. Vậy không có giá trị nào của a để hàm số liên tục tại x = 1. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 04 Bài 1: a) Dãy số: là một cấp số nhân lùi vô hạng với công bội q=và u1=.Vì nên(un) là một cấp số nhân lùi vô hạng. Do đó ta có: S== b) A = lim=lim = lim B = = C = = = Bài 2: a) Þ = b) Bài 3: Þ a) Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 1); Þ PTTT: . b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 1. Gọi là toạ độ của tiếp điểm Þ · Với Þ PTTT: . · Với Þ PTTT: Bài 4: a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC). · DCBD đều, E là trung điểm BC nên DE ^ BC · DBED có OF là đường trung bình nên OF//DE, DE ^ BC Þ OF ^ BC (1) · SO ^ (ABCD) Þ SO ^ BC (2) Từ (1) và (2) Þ BC ^ (SOF) Mà BC (SBC) nên (SOF) ^(SBC). b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC). · Vẽ OH ^ SF; (SOF) ^ (SBC), · OF = , · Trong mặt phẳng (ACH), vẽ AK// OH với K Î CH Þ AK ^ (SBC) Þ c) · · Xác định thiết diện Dễ thấy Þ K Î (a) Ç (SBC). Mặt khác AD // BC, nên Gọi Þ B¢C¢ // BC Þ B¢C¢ // AD Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt bời (a) là hình thang AB’C’D · SO ^ (ABCD), OF là hình chiếu của SF trên (ABCD) nên SF ^ BC Þ SF ^ AD (*) · (**) · Từ (*) và (**) ta có SF ^ (a) · SF ^ (a), SO ^ (ABCD) Þ · Þ Bài 5: a) Xét hàm số Þ liên tục trên R. · nên PT có ít nhất một nghiệm thuộc (–1; 1). b) · Tập xác định: D = R. · Tại Þ liên tục tại x ¹ –2. · Tại x = –2 ta có Þ không l.tục tại x = –2. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 05 Bài 1: a) b) Ta có : lim(=lim = lim= lim= lim Bài 2: a) Þ b) Þ PT Bài 3: a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC). · (SAB) ^ (ABC) và SAC) ^ (ABC) nên SA ^(ABC) AB là hình chiếu của SB trên (ABC) · BC ^ AC, BC ^ SA nên BC ^ (SAC) Þ SC là hình chiếu của SB trên (SAC) Þ b) Chứng minh . Tính khoảng cách từ A đến (SBC). · Theo chứng minh trên ta có BC ^ (SAC) Þ (SBC) ^ (SAC) · Hạ AH ^ SC Þ AH ^ BC (do BC ^ (SAC). Vậy AH ^ (SBC) . · c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB). Gọi K là trung điểm của BH Þ OK // AH Þ OK ^ (SBC) và OK = Þ . d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC · Dựng mặt phẳng (a) đi qua AC và vuông góc với SB tại P Þ CP^ SB và AP ^ SB. · Trong tam giác PAC hạ PQ ^ AC Þ PQ ^ SB vì SB ^ ( PAC). Như vậy PQ là đường vuông góc chung của SB và AC. Bài 4: · PTTT d: · A(–1; –9) Î d Þ · · Kết luận: Có hai tiếp tuyến thỏa mãn là , Bài 5: · Đặt Þ f(x) liên tục trên đoạn [–2; 5] · f(–2) = –92, f(1) = 1, f(2) = –8, f(5) = 1273 · f(–2).f(1) =–92 < 0, f(1).f(2) = –8 < 0, f(2).f(5) = –10184 < 0 · Kết luận: ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 06 Bài 1: a) b) Dễ thấy un > 0 với mọi n Î N*. Ta có . Giả sử đã có ta phải CM . Thật vậy, ta có Mặt khác, cũng từ suy ra Từ CM trên suy ra dãy un có giới hạn, ta gọi limun = a Þ a = a2 + a/2 Þ a = 0 hoặc a = 1/2 (loại) Vậy limun = 0. Bài 2: a) b) Bài 3: 1) Þ . PT (*) Phương trình (*) có nghiệm . 2) Þ a) BPT b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d: nên tiếp tuyến có hệ số góc k = –1. Gọi là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: Khi đó phương trình tiếp tuyến là . Bài 4: 1) CMR: (SAB) ^ (SBC). · SA ^ (ABCD) SA ^ BC, BC ^ AB BC ^ (SAB), BC Ì (SBC) (SAB) ^(SBC) 2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC. · Trong tam giác SAC có AH ^ SC · 3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD). · Vì ABCD là hình vuông nên AO ^ BD, SO ^ BD · · Tam giác SOA vuông tại A Bài 5: · f(2) = –16 · · Vậy hàm số liên tục tại x = 2 Bài 6: Ta có (1 + x)n = Lấy đạo hàm hai vế, ta được n(1 + x)n-1 = Chọn x = 2 ta được tổng S = n3n-1.