Bài tập Hình Học lớp 10 nâng cao

Bài tập Hình Học Nguyễn Ngọc Phương Hiền - Toán 07B Hình Học Phẳng 1 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Bài 1: Cho 3 điểm A(2,−1), B(0, 3), C(4, 2). 1. CMR: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác. Tính chu vi và diện tích 4ABC. 2. Tìm chân đường trung tuyến AM , chân đường cao AN của 4ABC. 3. Tìm trọng tâm G, trực tâm H, tâm I đường tròn ngoại tiếp 4ABC. 4. CMR: G,H, I thẳng hàng và −−→ GH + 2 −→ GI = −→ 0 . 5. Tìm điểm D đối xứng với A qua B. 6. Tìm điểm E để ABCE là hình thang có một đáy là AB và E nằm trên trục hoành. Tính diện tích hình thang ABCE. 7. Tìm điểm F để ABFC là hình bình hành. Tìm diện tích hình bình hành ABFC. 8. Tìm điểm P để 2 −→ AP + 3 −−→ BP − 4−→CP = −→0 . Bài 2: Cho 2 điểm A(2, 3), B(1, 1). 1. Tìm điểm C(5, y) để 4ABC vuông tại B. 2. Tìm điểm D để ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích và góc nhọn tạo bởi 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD. Bài 3: Cho 4ABC : A(−2, 3), B(2, 0), C(1 4 , 0). 1. Tìm chân đường phân giác trong AD và chân đường phân giác ngoài AE của 4ABC. 2. Tìm tâm J của đường tròn nội tiếp 4ABC. Bài 4: Cho 4 điểm A(−1, 1), B(2, 3), C(4, 0), D(1,−1). 1. CMR: ABCD là hình vuông. Tìm tâm và tính diện tích hình vuông ABCD. 2. Tìm điểm F thuộc trục Ox để ÂFB = 450. Bài 5: Cho 4ABC : A(−3,−1), B(−2, 2), C(1, 3). 1. CMR: 4ABC cân và có một góc tù. 2. Tìm hình dạng của tứ giác ABCO và tính diện tích của nó. Bài 6: Diện tích 4ABC là S = 3, hai đỉnh là A(3, 1), B(1,−3). Trọng tâm của 4ABC nằm trên trục Ox. Tìm điểm C. Bài 7: Cho 3 điểm A(cosα, sinα), B(1 + cosα,−sinα), C(−cosα, 1 + sinα) với α ∈ [0;pi]. Tìm α để: 1. AB⊥AC. 2. A,B,C thẳng hàng. 2 Phương trình đường thẳng Bài 1: 1 Bài tập Hình Học Nguyễn Ngọc Phương Hiền - Toán 07B Viết PTTS, PTCT và PTTQ của đường thẳng d 1. đi qua điểm M(2,−3) và có VTCP −→a = (4, 6). 2. đi qua điểm M(3, 4) và có VTPT −→n = (−2, 1). 3. đi qua điểm M(−5,−8) và có HSG k = −3. 4. đi qua 2 điểm A(2, 1) và B(−4, 5). Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d 1. đi qua giao điểm của 2 đường thẳng d1 : 2x− 3y− 15 = 0, d2 : x− 12y+ 3 = 0 và d đi qua điểm A(2, 0). 2. đi qua giao điểm của 2 đường thẳng d1 : 3x − 5y + 2 = 0, d25x − 2y + 4 = 0 và song song với đường thẳng d3 : 2x− y + 4 = 0. 3. đi qua giao điểm của 2 đường thẳng d1 : 2x − 3y + 5 = 0, d2x − 2y − 3 = 0 và vuông góc với đường thẳng d3 : x− 7y − 1 = 0. 4. đi qua điểm A(3, 2) và tạo với trục hoành một góc bằng 600. 5. đi qua điểm M(−4, 10 và cắt các trục tọa độ theo những đoạn bằng nhau. 6. đi qua điểm M(5,−3) và cắt trục Ox,Oy lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB. Bài 3: Biện luận theo tham số vị trí tương đối của 2 đường thẳng ∆1 : (m− 2)x+ (m− 6)y +m− 1 = 0,∆2 : (m− 4)x+ (2m− 3)y +m− 5 = 0 Bài 4: Tìm tham số để 2 đường thẳng d1, d2 có phương trình: 1. (m− 1)x+ (m+ 1)y − 5 = 0,mx+ y + 2 = 0 cắt nhau. 2. mx− 2(m− 3)y +m− 1 = 0, y = x song song nhau. 3. ax+ 3y − 8 = 0, 4x+ by + 20 = 0 trùng nhau. Bài 5: Tìm điểm cố định của đường thẳng ∆m có phương trình (1 + 2m)x− (2 + 3m)y + 7 + 12m = 0 . Bài 6: Viết phương trình đường thẳng ∆ 1. đi qua điểm A(−2, 0) và tạo với đường thẳng d : x+ 3y − 3 = 0 một góc 450. 2. đối xứng với đường thẳng d1 : 5x− 2y− 1 = 0 qua đường thẳng d2 : 7x+3y− 13 = 0. 3. đi qua điểm P (2, 5) và cách điểm Q(5, 1) một khoảng bằng 3. 4. cách điểm A(1, 1) một khoảng bằng 1 và cách điểm B(2, 3) một khoảng bằng 2. Bài 7: Cho 4ABC có AB : x − y + 4 = 0, BC : 3x + 5y + 4 = 0, AC : 7x + y − 12 = 0. Lập phương trình các đường phân giác trong và ngoài góc A của 4ABC. Bài 8: Cho đường thẳng d : 3x+ 4y − 12 = 0. 1. Tìm hình chiếu vuông góc H của gốc O trên d. 2. Tìm điểm đối xứng O′ của gốc O qua d. 3. Viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng của d qua O. Bài 9: 2 Bài tập Hình Học Nguyễn Ngọc Phương Hiền - Toán 07B Lập phương trình các cạnh của 4ABC nếu cho B(−4, 5) và 2 đường cao của tam giác có phương trình: 5x+ 3y − 4 = 0 và 3x+ 8y + 13 = 0. Bài 10: Lập phương trình các cạnh của 4ABC, biết đỉnh C(4,−1), đường cao và trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình tương ứng là: 2x− 3y + 12 = 0, 2x+ 3y = 0 Bài 11: Cho 4ABC có đỉnh A(−1, 3), đường cao BH : y = x, đường phân giác trong CD : x+ 3y + 2 = 0. Viết phương trình cạnh BC. Bài 12: Viết phương trình 3 cạnh của 4ABC, cho biết đỉnh C(4, 3), đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ 1 đỉnh của tam giác có phương trình lần lượt là: x+ 2y − 5 = 0, 4x+ 13y − 10 = 0 Bài 13: Cho 4ABC có đỉnh A(−1,−3). Xác định tọa độ các đỉnh B,C nếu biết đường trung trực của AB : 3x+ 2y − 4 = 0 và trọng tâm G(4,−2) của 4ABC. Bài 14: Cho 4ABC có trọng tâm G(−2,−1) và các cạnh: AB : 4x+ y + 15 = 0, AC : 2x+ 5y + 3 = 0 1. Tìm đỉnh A và trung điểm M của cạnh BC. 2. Tìm đỉnh B và viết phương trình đường thẳng BC. Bài 15: Cho 4ABC cân, cạnh đáy BC : x + 3y + 1 = 0, cạnh bên AB : x − y + 5 = 0. Đường thẳng AC đi qua điểm M(−4, 1). Tìm tọa độ đỉnh C. Bài 16: Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng d : 3x− 4y + 1 = 0 và có khoảng cách đến d bằng 1. Bài 17: Cho điểm M( 5 2 , 2) và 2 đường thẳng có phương trình là: y = x 2 và y − 2x = 0. Lập phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt 2 đường thẳng nói trên ở 2 điểm A,B sao cho MA = MB. Bài 18: Cho đường thẳng d : x− y − 1 = 0 và 3 điểm: A(2, 4), B(3, 1), C(1, 4). 1. Tìm điểm M ∈ d sao cho tổng AM +BM nhỏ nhất. 2. Tìm điểm N ∈ d sao cho tổng AN + CN nhỏ nhất. 3 Đường tròn Bài 1: 3 Bài tập Hình Học Nguyễn Ngọc Phương Hiền - Toán 07B Lập phương trình đường tròn (T ) 1. tâm I(4, 3) và tiếp xúc với đường thẳng x− 3y − 5 = 0. 2. có đường kính OM với M(2, 3 2 ). 3. đi qua 2 điểm A(−5, 1), B(−2, 4) và có tâm nằm trên đường thẳng 2x+ y + 3 = 0. 4. ngoại tiếp 4ABC với A(−3, 0), B(−2, 1), C(1, 0). 5. nội tiếp 4OAB với A(4, 0), B(0, 3). 6. nội tiếp 4ABC với AB : x− 4 = 0, BC : 3x− 4y + 36 = 0, AC : 4x+ 3y + 23 = 0. 7. đối xứng với đường tròn (C) : x2+y2−2x−6y+6 = 0 qua đường thẳng d : x+y−6 = 0. 8. có tâm thuộc đường thẳng 2x+ y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng x− 7y+10 = 0 tại điểm A(4, 2). 9. tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua điểm M(4, 2). 10. có tâm nằm trên đường thẳng x− 6y − 10 = 0 và tiếp xúc với 2 đường thẳng : d1 : 3x+ 4y + 5 = 0, d2 : 4x− 3y − 5 = 0. Bài 2: Cho các điểm A(1, 2), B(−3, 1), C(4,−2). Tìm tập hợp các điểm M thỏa: 1. MA2 +MB2 = MC2. 2. |3−−→MA−−−→MB| = |−−→MC|. 3. −−→ MA. −−→ MB + −−→ MB. −−→ MC + −−→ MC −−→ MA = −15. 4.MA2 +MB2 = 9. Bài 3: Biện luận theo tham số m vị trí tương đối của đường thẳng ∆ : mx− y− 2m+ 3 = 0 và đường tròn (T ) : 5x2 + 5y2 − 10x+ 4 = 0. Bài 4: Lập phương trình của đường thẳng song song với đường thẳng x− 2y = 0 và chắn trên đường tròn x2 + y2 − 8x = 0 một dây có độ dài bằng 2. Bài 5: Lập phương trình của đường thẳng chứa dây cung của đường tròn (T ) : x2 + y2 = 9 và đi qua điểm A(1, 2) sao cho độ dài dây cung đó ngắn nhất. Bài 6: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2, 4), cắt đường tròn (T ) : x2 + y2− 2x− 6y + 6 = 0 tại 2 điểm A,B sao cho M là trung điểm của dây AB. Tính đoạn AB. Bài 7: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (T ) : x2 + y2 + 4x+ 4y − 17 = 0 1. tại điểm M(2, 1). 2. có hệ số góc bằng −4 3 . Tìm tiếp điểm. 3. song song với đường thẳng 3x− 4y − 2000 = 0. 4. vuông góc với đường thẳng y = −x. 5. đi qua điểm A(3,−1 3 ). Bài 8: Tìm phương tích của điểm M( √ 2,−√2) đối với đường tròn: (T ) : (x− 1)2 + (y + 1)2 = 5. Bài 9: 4 Bài tập Hình Học Nguyễn Ngọc Phương Hiền - Toán 07B Tìm trục đẳng phương của 2 đường tròn: (T1) : x 2 + y2 + 3x = 0, (T2) : 3x 2 + 3y2 + 6x− 4y − 1 = 0. 4 ELIP Bài 1: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết: 1. A(0,−2) là một đỉnh và F (1, 0) là một tiêu điểm. 2. độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6. 3. độ dài trục nhỏ bằng 12 và tiêu cự bằng 16. 4. tiêu cự bằng 6 và tâm sai bằng 3 5 . 5. F1(−7, 0) là một tiêu điểm và điểm M(−2, 12) ∈ (E). 6. (E) đi qua 2 điểm M(4, √ 3) và N(2 √ 2,−3). 7. các cạnh của hình chữ nhật cơ sở có phương trình: x = ±4, y = ±3. 8. độ dài trục lớn bằng 12 và các đường chuẩn x = ±12. Bài 2: Xác định tâm đối xứng, độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai, đường chuẩn, tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip (E) có phương trình: 1. x2 25 + y2 16 = 1. Vẽ (E). 2. 4x2 + 9y2 = 36. 3.16x2 + 25y2 − 100 = 0. 4. 4x2 + 16y2 = 1. 5. 4x2 + y2 − 4 = 0. Vẽ (E). Bài 3: Tìm điểm M trên elip (E) : x2 9 + y2 = 1 có các tiêu điểm F1, F2 biết: 1. F1M = 4. 2. F1M = 2F2M . 3. F1M⊥F2M . 4. F̂1MF2 = 60 0. Bài 4: Cho elip (E) : x2 9 + y2 4 = 1. 1. Tìm m để đường thẳng d : y = x+m và (E) có điểm chung. 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1, 1) và cắt (E) tại 2 điểm A và B sao cho MA = MB. Bài 5: Tìm tâm sai của elip (E) : x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b) biết: 1. các đỉnh trên trục bé nhìn 2 tiêu điểm dưới góc vuông. 2. độ dài trục lớn bằng k lần độ dài trục bé (k > 1). 3. khoảng cách từ 1 đỉnh trên trục lớn tới 1 đỉnh nằm trên trục bé bằng tiêu cự. Bài 6: 5 Bài tập Hình Học Nguyễn Ngọc Phương Hiền - Toán 07B Cho elip (E) : x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b) có F1, F2 là các tiêu điểm và A1, A2 là các đỉnh trên trục lớn của (E). M ∈ (E) có hình chiếu trên Ox là H. A,B ∈ (E) và OA⊥OB. P,Q ∈ (E), dây PQ qua 1 tiêu điểm của (E) và vuông góc với trục Ox. CMR: 1. MF1.MF2 +OM 2 = a2 + b2. 2. (MF1 −MF2)2 = 4(OM2 − b2). 3. HM2 = − b 2 a2 .HA1.HA2. 4. b ≤ OM ≤ a. 5. PQ = 2 b2 a . 6. 1 OA2 + 1 OB2 = 1 a2 + 1 b2 . 7. đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Bài 7: Tìm tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ đó đến F (2, 0) bằng nửa khoảng cách từ đó đến đường thẳng ∆ : x = 8. Bài 8: Cho đường tròn (O) nằm trong đường tròn (O′). Tìm tập hợp tâm I của các đường tròn tiếp xúc với cả (O) và (O′). 5 HYPERBOL Bài 1: Lập phương trình chính tắc của hyperbol (H) biết: 1. A(−4, 0) là một đỉnh và F (5, 0) là một tiêu điểm. 2. độ dài trục ảo bằng 12 và tâm sai bằng 5 4 . 3. độ dài trục thực bằng 6 và điểm M(6, 2 √ 3) ∈ (H). 4. (H) đi qua 2 điểm M(3 √ 3, 2) và N(3, 1). 5. tiêu cự bằng 2 √ 3 và một đường tiệm cận là y = 2 3 x. 6. góc giữa 2 đường tiệm cận bằng 600 và điểm N(6, 3) ∈ (H). 7. P ( 1 2 , 1) là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở. 8. một đỉnh là (3, 0) và phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là x2 + y2 = 16. 9. hai đỉnh của nó là hai tiêu điểm của elip (E) : x2 5 + y2 1 = 1 và hai tiêu điểm của nó là hai đỉnh của (E). 10. khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 8 3 , tâm sai e = 3 2 . Bài 2: Xác định độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai, tiệm cận, đường chuẩn, tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của hyperbol (H) có phương trình: 1. x2 16 − y 2 4 = 1. Vẽ (H). 2. 4x2 − 9y2 = 36. 3. 25x2 − 16y2 − 100 = 0. 6 Bài tập Hình Học Nguyễn Ngọc Phương Hiền - Toán 07B 4. 16x2 − 9y2 = 1. 5. x2 − y2 = 1. Vẽ (H). 6. 16x2 − 9y2 − 144 = 0. Vẽ (H). Bài 3: Tìm điểm M trên hyperbol (H) : x2 − y 2 4 = 1 có các tiêu điểm F1 và F2, biết rằng: 1. F1M = 2F2M . 2. F1M⊥F2M . 3. F̂1MF2 = 120 0. 4. M có tọa độ nguyên. Bài 4: Cho hyperbol (H) : 24x2 − 25y2 = 600. 1. Tìm điểm M(10, y) ∈ (H) và tính khoảng cách từ M tới hai tiêu điểm của (H). 2. Tìm k để đường thẳng y = kx− 1 và (H) có điểm chung. Bài 5: Cho hyperbol (H) : x2 a2 − y 2 b2 = 1 có F1, F2 là các tiêu điểm và A1, A2 là các đỉnh của (H). M ∈ (H) có hình chiếu trên Ox là N . Dây AB qua một tiêu điểm và AB⊥Ox. CMR: 1. OM2 −MF1.MF2 = a2 − b2. 2. (MF1 +MF2) 2 = 4(OM2 + b2). 3. NM2 = b2 a2 .NA1.NA2. 4. AB = 2b2 a 5. tích số khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng một hằng số. Bài 6: Tìm tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ đó đến A(0, 4) bằng 1 4 khoảng cách từ đó đến đường thẳng ∆ : 4y − 9 = 0. Bài 7: Cho hai đường tròn ngoài nhau. Tìm quỹ tích tâm các đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn đó. 6 PARABOL Bài 1: Lập phương trình chính tắc của parabol (P ) biết: 1. tiêu điểm F (5, 0). 2. đường chuẩn ∆ : x = −2. 3. (P ) có trục là Ox và đi qua điểm M(2,−2). 4. (P ) có trục là Ox và đi qua điểm M(−1, 4). 5. (P ) có dây cung AB = 8 vuông góc với trục Ox và khoảng cách từ đỉnh của (P ) đến AB bằng 1. 6. (P ) có trục là Ox và tham số tiêu p = 2. 7. đường chuẩn ∆ : y + 12 = 0. 8. tiêu điểm F (0,−1). 9. (P ) có trục là Oy và tham số tiêu p = 1 2 . 7 Bài tập Hình Học Nguyễn Ngọc Phương Hiền - Toán 07B 10. khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 5. Bài 2: Xác định tọa độ tiêu điểm và đường chuẩn của parabol (P ) có phương trình: 1. y2 = 4x. Vẽ (P ). 2. 2y2 − x = 0. 3. y2 + 8x = 0. Vẽ (P ). 4. 3x2 − 16y = 0. Vẽ (P ). 5. y = −x2. Vẽ (P ). Bài 3: Cho parabol (P ) : y2 = x và hai điểm A(1,−1), B(9, 3). Xác định vị trí của điểm M trên cung AB (phần của (P ) bị chắn bởi dây AB) sao cho 4MAB có diện tích lớn nhất. Bài 4: Cho parabol (P ) : y2 = 6x có tiêu điểm F . 1. Tìm điểm M trên (P ) biết FM = 25 6 . 2. Tìm điểm N trên (P ) để khoảng cách từ đó đến đường thẳng (D) : 2x− 2y + 15 = 0 nhỏ nhất. 3. Tìm phương trình đường thẳng chắn trên (P ) một dây cung nhận điểm I(2,−1) làm trung điểm. Bài 5: Cho parabol (P ) : y2 = 2px có tiêu điểm F và đường chuẩn ∆. 1. Tính độ dài của một dây cung qua F và vuông góc với trục Ox. 2. CMR: tích số các độ dài các đường vuông góc vẽ từ hai đầu mút của một dây cung qua F đến trục Ox là một hằng số. 3. Một đường thẳng qua F cắt (P ) tại M,N . Tính 1 FM + 1 FN . Tìm giá trị nhỏ nhất của FM.FN . 4. Tính cạnh của 4OPQ đều nội tiếp trong (P ). 5. Đường thẳng d : 2k2x− 10y− k2p = 0 cắt (P ) tại R,S. CMR: đường tròn đường kính RS tiếp xúc với ∆. Bài 6: CMR: nếu (P ) và parabol (P ′) : y = ax2 + bx + c cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó nằm trên một đường tròn. Bài 7: Cho đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng d. Tìm quỹ tích tâm các đường tròn tiếp xúc với (O) và d tại hai điểm phân biệt. 7 TIẾP TUYẾN CỦA BA ĐƯỜNG CONIC Bài 1: Cho elip (E) : x2 40 + y2 10 = 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (E) 1. tại điểm M(−2, 3). 2. có hệ số góc bằng 1 6 . 3. song song với đường thẳng y = x+ 2004. 4. vuông góc với đường thẳng 2x− 3y + 2005 = 0. Tìm tiếp điểm. 8 Bài tập Hình Học Nguyễn Ngọc Phương Hiền - Toán 07B 5. đi qua điểm A(8, 0). 6. đi qua điểm B(−2√10, 4. 7. đi qua điểm C(7,−√10). 8. đi qua điểm D(2 √ 10, √ 10). Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai elip (E1) : x2 5 + y2 4 = 1 và (E2) : x2 4 + y2 5 = 1. Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến chung của elip (E) : x2 4 + y2 = 1 và đường tròn (T ) : x2 + y2 − 4y + 3 = 0. Bài 4: Cho hyperbol (H) : 4x2 − y2 = 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (H) 1. tại điểm M(2,m) với m < 0. 2. có hệ số góc bằng 5 2 . 3. song song với đường thẳng 4x+ √ 3y = 0. 4. vuông góc với đường thẳng y = x. 5. đi qua điểm A(0, 3 2 ). 6. đi qua điểm B(1, 4). Tìm tiếp điểm. Bài 5: 1. Viết phương trình chính tắc của hyperbol (H) có trục ảo là trục Oy và tiếp xúc với các đường thẳng x− 4 = 0, 5x− 4y − 16 = 0. 2. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H). 3. Gọi N là một giao điểm của (H) và (E). CMR: tiếp tuyến của (H) và (E) tại N vuông góc với nhau. Bài 6: Cho parabol (P ) : y2 = 8x. Viết phương trình tiếp tuyến của (P ) 1. tại điểm M(m,−4). 2. có hệ số góc bằng 1. Tìm tiếp điểm. 3. song song với đường thẳng 2x− y + 5 = 0. 4. vuông góc với đường thẳng y = x. 6. đi qua điểm B(0, 2). Bài 7: 1. Tìm tham số tiêu p của parabol (P ) : y2 = 2px biết rằng (P ) tiếp xúc với đường thẳng x− 3y + 9 = 0. 2. Tìm điểm M ∈ (P ) biết rằng tiếp tuyến tại đó tạo với trục hoành một góc 450. 3. Lập phương trình các tiếp tuyến chung của (P ) với elip (E). Tìm tiếp điểm. Bài 8: CMR: các tiếp tuyến của parabol (P ) : y = 1 2 x2 và elip (E) : x2 4 + y2 2 = 1 tại một giao điểm của (P ) và (E) vuông góc với nhau. Ôn tập 9 Bài tập Hình Học Nguyễn Ngọc Phương Hiền - Toán 07B Bài 1: Trong mp(Oxy) cho elip (E) : 3x2 + 4y2 − 48 = 0. 1. Xác định các tiêu điểm F1 và F2, tâm sai, đường chuẩn của (E). 2. Gọi M là một điểm nằm trên (E) và MF1 = 5. Tính MF2 và tọa độ của M . 3. Xét đường thẳng ∆ tiếp xúc với (E) cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B. Hãy xác định phương trình của ∆ sao cho S4OAB nhỏ nhất. 4. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm I(1, 1) và cắt (E) tại hai điểm P và Q sao cho PI = QI. Bài 2: Cho Hypebol (H) qua điểm M( √ 2, 2) và có đường tiệm cận là 2x± y = 0. 1. Viết phương trình chính tắc của (H). 2. Tiếp tuyến ∆ tại điểmM cắt 2 đường tiệm cận của (H) tại A và B. Chứng minh rằng: M là trung điểm của AB. Tính diện tích tam giác OAB. 3. CMR: Tích khoảng cách từ một điểm bất kì trên (H) đến 2 đường tiệm cận của (H) bằng một hằng số. 4. Tìm các điểm trên (H) có tọa độ nguyên. Bài 3: Trong mp(Oxy) cho điểm A(4, 0) và đường thẳng (d) : x− 16 = 0. 1. CMR: Tập hợp các điểm có khoảng cách đến A bằng nửa khoảng cách từ đó đến (d) là một elip mà ta phải tìm các tiêu điểm F1 và F2. 2. P là điểm tùy ý trên (E). CMR: PF1.PF2 +OP 2 là một hằng số. ((O) là gốc tọa độ) 3. CMR: Tích khoảng cách từ 2 tiêu điểm của (E) đến một tiếp tuyến bất kỳ là một đại lượng không đổi. 4. Tìm điểm N ∈ (E) sao cho NF1 = 2NF2. Bài 3: Trong mp(Oxy) cho parapol (P ) : y2 = 2x. 1. Tìm những điểm trên (P ) có bán kính qua tiêu điểm bằng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (P ) tại các điểm đó. 2. Tìm 2 điểm A,B trên (P ) sao cho tam giác ABO đều. 3. Đường thẳng (d) đi qua tiêu điểm F của (P ) cắt (P ) tại 2 điểm M,N . Tìm tập hợp trung điểm I của MN . 4. Cho P (2,−2);Q(8, 4). Giả sử S là một điểm di động trên cung nhỏ PQ. Xác định tọa độ của S sao cho diện tích tam giác PSQ là lớn nhất. Bài 4: Trong mp(Oxy) cho M ( 4 cost , 3tant ) , với t 6= pi 2 + kpi (k ∈ Z). 1. CMR: Tập hợp của M là một Hypebol (H) mà ta phải định tiêu điểm, tâm sai và đường chuẩn. 2. Viết phương trình của (E) có tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H). 3. Gọi N là giao điểm của (H) và (E). CMR: tiếp tuyến của (H) và của (E) tại N vuông góc với nhau. Bài 5: Cho parapol (P ) : y2 = 64x và đường thẳng (d) : 4x+ 3y + 64 = 0. 1. Gọi M ∈ (P ), N ∈ (d). Xác định tọa độ của M và N để khoảng cách MN là ngắn nhất. 2. Với kết quả tìm được ở câu 1. Chứng tỏ rằng khi đó MN vuông góc với tiếp tuyến tại điểm M của (P ). 10 Bài tập Hình Học Nguyễn Ngọc Phương Hiền - Toán 07B 3. Qua tiêu điểm F dựng dây cung AB của (P ) vuông góc với trục Ox. Một điểm C di động trên đường chuẩn của (P ). Tính diện tích tam giác ABC. Bài 6: Cho hypebol (H) : 5x2 − 4y2 = 20 và đường thẳng (d) : 3x− 4y + 16 = 0. 1. Viết phương trình của parapol (P ) có đỉnh là gốc tọa độ và tiêu điểm trùng với tiêu điểm bên phải của (H). 2. M ∈ (H). CMR: OM2 − F1M.F2M là một hằng số (F1, F2 là 2 tiêu điểm của (H)). 3. M là điểm trên (P ) có tung độ yM = −2. Tính FM . 4. Tìm điểm trên (H) nhìn đoạn F1F2 dưới một góc vuông. Bài 7: Trong mp(Oxy) cho 2 elip (E1) : x2 16 + y2 1 = 1 và (E2) : x2 9 + y2 4 = 1. 1. Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của hai elip. 2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai elip. 3. Chứng minh rằng: Nếu 2 điểm A,B nằm trên elip (E) : x2 a2 + y2 b2 = 1 sao cho OA⊥OB thì 1 OA2 + 1 OB2 có giá trị không đổi. Bài 8: Cho elip (E) : x2 a2 + y2 b2 = 1, (a > b) có F1, F2 là các tiêu điểm. CMR: 1. MF1.MF2 +OM 2 = a2 + b2 và (MF1 −MF2)2 = 4(OM2 − b2),∀M ∈ (E). 2. AB = 2b2 a với AB là một dây cung qua một tiêu điểm của (E) và vuông góc với trục Ox. 3. d(F1,∆).d(F2,∆) = b 2 với ∆ là một tiếp tuyến bất kì của (E). 4. 1 OA2 + 1 OB2 = 1 a2 + 1 b2 với A,B ∈ (E) và OA⊥OB. Bài 9: Cho hypebol (H) : x2 a2 − y 2 b2 = 1 có F1, F2 là các tiêu điểm. CMR: 1. OM2 −MF1.MF2 = a2 − b2 và (MF1 +MF2)2 = 4(OM2 + b2),∀M ∈ (H). 2. AB = 2b2 a với AB là một dây cung qua một tiêu điểm của (H) và vuông góc với trục Ox. 3. d(F1,∆).d(F2,∆) = b 2 với ∆ là một tiếp tuyến bất kì của (E). 4. Tích số khoảng cách từ một điểm bất kì M ∈ (H) đến hai đường tiệm cận của (H) bằng a2b2 a2 + b2 . Bài 10: Cho parapol (P ) : y2 = 2px có tiêu điểm F và đường chuẩn ∆. 1. Tính độ dài của một dây cung qua F và vuông góc với trục Ox. 2. Tính tích số các độ dài các đường vuông góc vẽ từ hai đầu mút của một dây cung qua F đến trục Ox. 3. Tính diện tích của 4ABC có đỉnh A ∈ ∆ và 2 đỉnh B,C là hai đầu mút của một dây cung qua F và vuông góc với trục Ox. 4. Tính 1 FA + 1 FB với AB là một dây cung qua F . Tìm GTNN của FA.FB. Bài 11: 11 Bài tập Hình Học Nguyễn Ngọc Phương Hiền - Toán 07B Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó vẽ đến 2 tiếp tuyến của mỗi đường conic sau đây dưới một góc vuông. 1. elip (E) : . x2 a2 + y2 b2 = 1 2. hyperbol (H) : x2 a2 − y 2 b2 = 1. 3. parabol (P ) : y2 = 2px. Bài 12: Trong mp (Oxy) cho 2 điểm A(−1,−3), B(3,−1) và đường thẳng (d) : x+ 2y + 3 = 0. 1. Biết đỉnh C ∈ Oy và trọng tâm G ∈ Ox. Tìm tọa độ đỉnh C của 4ABC. 2. Lập phương trình đường tròn (C) qua A,B và có tâm I ∈ (d). CMR: A,B, I thẳng hàng. 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k = 2. Tìm tọa độ tiếp điểm. 4. Cho 2 đường thẳng ∆ và ∆′ đối xứng nhau qua (d), ∆ qua A và ∆′ qua B. Viết phương trình của ∆ và ∆′. 5. Biết A,B là 2 đỉnh của hình vuông ABCD. Tính tọa độ các đỉnh C và D. 12