Bài tập Giới hạn cơ bản

PHẦN I: GIỚI HẠN DÃY SỐ: KIẾN THỨC CƠ BẢN: Định nghĩa: Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực (), nếu Kí hiệu: Chú ý: . Một vài giới hạn đặc biệt. với . Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. Một số định lý về giới hạn của dãy số. Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : và . Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với Dãy số dần tới vô cực: Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực khi n dần tới vơ cực nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)= hay un khi . Ta nói dãy số (un) có giới hạn là khi nếu lim.Ký hiệu: lim(un)= hay un khi . Định lý: Nếu : thì Nếu : thì PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Giới hạn của dãy số (un) với với P,Q là các đa thức: Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả: . Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả : lim(un)=0. Nếu k = bậc P > bậc Q, rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả : lim(un)=. Giới hạn của dãy số dạng: , f và g là các biển thức chứa căn. Rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả với k chọn thích hợp. Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. CÁC VÍ DỤ: Chú ý : là biểu thức liên hợp của Bài 1. Tính các giới hạn sau: b. . c. d. Bài giải: a.. b. . c. . d. . Bài 2. Tính các giới hạn sau: a. b. c. d. . e. f. Bài 3. Tính các giới hạn: a. b. c. Bài giải. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Tính các giới hạn sau: Bài 2. Tính các giới hạn: PHẦN II. GIỚI HẠN HÀM SỐ: KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn K và xn a , mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:. 2. Một số định lý về giới hạn của hàm số: a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất. b. Định lý 2:Nếu các giới hạn: thì: c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)f(x)h(x) và . 2. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có lim[f(xn)]= thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: . Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:. Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :. Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau: Giới hạn của hàm số dạng: Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2. Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp. Giới hạn của hàm số dạng: Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu thì coi như x>0, nếu thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn. Giới hạn của hàm số dạng: . Ta biến đổi về dạng: Giới hạn của hàm số dạng: Đưa về dạng: C. CÁC VÍ DỤ: .Chia tử và mẫu cho (x-2). Bài 1. Tính các giới hạn sau: (Tính trực tiếp) a. b. c. d. e. Bài giải. b. c. d. e. Bài 2. Tính các giới hạn sau: (dạng nhân chia lượng liên hợp) b. c. Bài gải. Bài 3. Tính các giới hạn sau: ( Dạng chia đa thức) a. b. Bài giải. Bài 4. Tính các giới hạn sau: (Dạng đưa x mũ lớn nhất của tử và mẫu làm nhân tử chung (rút nhân tử chung sau đó chia tử và mẫu cho x mũ lớn nhất) a. b. c. d.. e. f. Bài giải. a. b. c. d. e. f. BÀI TẬP TỰ GIẢI Tính các gới hạn Bài 1: (Tính trực tiếp) 1. 2. 3. 4. ; 5. Bài 2: (Tính giới hạn dạng của hàm phân thức đại số) Bài 3: (Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai) Bài 4: (Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao) Bài 5: (Tính giới hạn dạng của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng) Bài 6: (Tính giới hạn dạng của hàm số ) Bài 7: (Tính giới hạn dạng của hàm số) Bài 8: (Giới hạn một bên) Bài 9: (Tính giới hạn dạng của hàm số) Bài 10: Gọi d là hàm dấu: . Tìm (nếu có). Bài 11: Cho hàm số . Tìm (nếu có). Bài 12: Cho hàm số . Tìm (nếu có). Bài 13: Cho hàm số . Tìm (nếu có). Bài 14: Cho hàm số . Tìm (nếu có). Bài 15: Tìm giới hạn một bên của hàm số khi PHẦN II: HÀM SỐ LIÊN TỤC: KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 (a;b) nếu:.Điểm x0 tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hsố f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục tại điểm x0 (a;b) . f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy. f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và Hàm số đa thức liên tục trên R Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng Giả sử Nếu y = f(x) liên tục trên[a; b] và f(a).f(b) <0 thì tồn tại ít nhất một số c Î (a; b): f(c) = 0 Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên[a; b] và f(a).f(b) <0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c Î (a; b) B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: 1. Hàm số liên tục tại điểm: Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại điểm xo ta thực hiện các bước sau: B1: Tính f(x0) B2: Tính ( trong nhiều trường hợp ta cần tính ,) B3: So sánh B4: Rút ra kết luận 2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y=f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x) trên một khoảng ta thực hiện như sau: * Xét * Xét tại B1: Tính f(x0) B2: Tính ( trong nhiều trường hợp ta cần tính ,) B3: So sánh B4: Rút ra kết luận * Kết luận chung về hàm số có liên tục trên khoảng hay đó hay không 3. Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a;b) và 4. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm: Để chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a,b) ta làm như sau : B1: Đặt y = f(x) à hàm số liên tục trên (a;b) B2: Tính f(a), f(b) à f(a). f(b)<0 B3: Kết luận về sự có nghiệm của phương trình C. CÁC VÍ DỤ: Bài 1. Tính các giới hạn sau: a. ; c. e. b. d f. Bài giải. a. ; b. c. d. e. f. Bài 2. Cho các hàm số: b. Tính các: ; ; ; f(1)? Bài giải. a1. x®1+ tức là x>1, khi đó .Vậy a2. x®1- tức là x<1, khi đó . Vậy Vậy không tồn tại . f(1)=5.(1)+3=8 b1. x®1+ tức là x>1, khi đó . Vậy b2. x®1- tức là x<1, khi đó . Vậy . Vậy . Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau lại x0=1 : a. b. Bài giải. Ta có f(1)=1. Do đó . Vậy f(x) liên tục tại x0=1 Ta có f(1)=3. Do đó . Vậy f(x) liên tục tại x0=1 Bài 4. Cho hàm số . Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=0. Bài giải. Ta có f(0)=2a+1 . Hàm số f(x) liên tục lại x0=0 khi và chỉ khi Bài 5. Cho hàm số . Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=4. Bài giải. Ta có f(4)=2a+1 Hàm số f(x) liên tục lại x0=4 khi và chỉ khi Bài 6. Cho hàm số . Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=-1. Bài giải. Ta có f(1)=a+1 Hàm số f(x) liên tục lại x0=-1 khi và chỉ khi BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: xét tính liên tục của hàm số tại điểm đã chỉ ra : Bài 2: xét tính liên tục của hàm số tại x0=1 Bài 3: xét tính liên tục của hàm số tại x=0và x=3 Bài 4: Tìm a để hàm số liên tục tại x=0 Bài 5: Cho hàm số . a) Tìm a để hàm số liển tục trái tại x=1; b) Tìm a để hàm số liển tục phải tại x=1; c) Tìm a để hàm số liển tục trên Hàm số liên tục trên một khoảng Bài 1: Chứng minh rằng: a)Hàm số f(x)= liên tục trên b)Hàm số liên tục trên khoảng (-1; 1) c)Hàm số f(x)= liên tục trên nửa khoảng . Bài 2: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó: Bài 3: Giải thích vì sao: a)Hàm số f(x)= liên tục trên b)Hàm số c)Hàm số Bài 4: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục: Bài 5: Hàm số có liên tục trên R ? Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số trên R.