Bài Soạn lớp luyện thi: Đại số

Ⓐ §a thøc vµ tam thøc bËc hai ------- § 1. Đa Thức ▪ Đa thức bậc n của biến số x là biểu thức có dạng: trong đó n là số tự nhiên; là các số thực và . ▪ Nếu thì x0 được gọi là nghiệm của đa thức . ▪ Định lí Bơ−du: Nếu x0 là nghiệm của đa thức thì đa thức chia hết cho tức là: ð Ví dụ: ▪ Chia đa thức: Ta có thể chia một đa thức bậc n cho một đa thức bậc m (m ≤ n). ð . §2. Tam Thức Bậc Hai & Phương Trình Bậc Hai ▪ Dạng tổng quát: ▪ Biến đổi: ▪ Nghiệm: + Nếu < 0 thì tam thức (ph.trình ) vô nghiệm. + Nếu = 0 thì tam thức có nghiệm kép là . + Nếu > 0 thì tam thức có hai nghiệm là ▪ Sự phân tích: Nếu có hai nghiệm thì: ▪ Đồ thị: Đồ thị của hàm số là một parabol có bề lõm quay lên nếu a > 0 và có bề lõm quay xuống nếu a < 0. x y x y x y x2 x1 a >0, 0, = 0 a > 0, > 0 x y x y x y x 2 x 1 a 0 + Khi < 0: Đồ thị và trục hoành không có điểm chung. + Khi = 0: Đồ thị tiếp xúc với trục hoành. + Khi > 0: Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Toạ độ đỉnh: hay . ▪ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: Dựa vào đồ thị ta có: + Khi a < 0: đạt giá trị lớn nhất là tại . + Khi a > 0: đạt giá trị nhỏ nhất là tại . ▪ Định lý Vi-et: Nếu tam thức có hai nghiệm thì: ● Chú ý: + Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là 1 và c/a. Nếu a - b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là -1 và -c/a. + Nếu hai số có tổng là S và có tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình . ▪ Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm: Nếu có hai nghiệm thì: + + + ▪ Dấu của các nghiệm: + có hai nghiệm trái dấu Û a.c < 0. + có hai nghiệm đều dương Û + có hai nghiệm đều âm Û ● Ví dụ & bài tập: ① Giải phương trình: . ② Với giá trị nào của a thì các nghiệm của phương trình có tổng bình phương bằng 7/4? ③ Xác định giá trị của a để tổng bình phương các nghiệm của phương trình nhỏ nhất. ④ Tìm tất cả các giá trị của m để có hai nghiệm sao cho . ⑤ Giải hệ phương trình ⑥ Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt. ⑦ Với giá trị nào của m thì phương trình: . a) có đúng một nghiệm? b) có hai nghiệm trái dấu? c) có hai nghiệm cùng dương? ⑧ Cho phương trình . a) Chứng minh rằng phương trình có một nghiệm cố định không phụ thuộc vào a. b) Tìm a để phương trình có ba nghiệm phân biệt. ⑨Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm dương thỏa . ⑩ Cho hệ phương trình: a) Giải hệ khi m = -2 b) Tìm m để hệ có nghiệm với §3 Dấu Của Tam Thức Bậc Hai ▪ Định lý về dấu của tam thức:Cho tam thức . * Nếu < 0 thì cùng dấu với a với mọi x . * Nếu = 0 thì cùng dấu với a với mọi * Nếu > 0 thì có hai nghiệm (giả sử ). Khi đó cùng dấu với a với mọi và trái dấu với a với mọi . ▪ Nếu thì cùng dấu với a khi và lần lượt đổi dấu ở các khoảng tiếp theo . * Chú ý: Nếu là nghiệm kép, tức là thì bằng 0 tại và không đổi dấu khi đi qua . ð Vdụ: Xét dấu đa thức - + + + - 8 4 3 1 ● Ví dụ và bài tập: ① Giải các bất phương trình: a) b) ② Giải và biện luận bất phương trình: ③ Giải các bất phương trình: a) b) ④ Giải và biện luận bất phương trình: . ⑤ Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1. § 4. Các Bài Toán Biện Luận Bất Phương Trình Bậc Hai ▪ Bài toán: Tìm điều kiện để hoặc Ta phải xét hai trường hợp: * a = 0: Xét trực tiếp. * a ¹ 0: F Chú ý: Khi gặp các bài toán hoặc , ta phải thay đổi điều kiện cho phù hợp. ● Ví dụ: ① Tìm m để . ② Cho bất phương trình Tìm m để bất phương trình vô nghiệm. ③Với giá trị nào của m bất phương trình thỏa "x Î R. Ⓑ BÊt ®¼ng thøc I. Dùng định nghĩa, tính chất, phép biến đổi tương đương: ● Các tính chất cơ bản: ▪ a > b Û a - b >0. ▪ a > b và b > c Þ a > c. ▪ a > b Û a + c > b + c. ▪ ▪ ▪ ▪ . ▪ ▪ và ▪ . ▪ ; ▪ ● Để chứng minh a > b ta chứng minh a - b > 0. ● Dùng phép biến đổi tương đương A Û B Û C Û Û D, nếu D đúng thì A đúng. ● Ta thường dùng các bất đẳng thức: . ● Chú ý: Không được: ▪ Nhân hai vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà không có điều kiện. ▪ Trừ hai vế của hai bất đẳng thức cùng chiều. ▪ Bình phương hay lấy căn bậc hai hai vế của một bất đẳng thức mà không có điều kiện. ▪ Đơn giản hai vế của một bất đằng thức mà không có điều kiện. ▪ Khử mẫu số hai vế của bất đẳng thức mà không có điều kiện. ● Các ví dụ: ① Chứng minh rằng với mọi a, b, c: a) . b) . c) . d) . e) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có: ② Chứng minh rằng với mọi a, b ³ 0: ③ Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0: . ④ Chứng minh rằng: Nếu thì II. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) cho các số không âm : Với a & b là hai số không âm ta có : . Dấu bằng xảy ra khi a = b . Với ba số không âm a ,b, c ta có : . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c . Tổng quát với n số không âm a1 ,a2 , ... , an ta có : Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 = ... = an . Hay Dấu bằng xảy ra khi ai = aj , "i,j = ☻ Hệ quả : ▪ Nếu hai số không âm a và b có tích không đổi thì tổng a + b nhỏ nhất khi a = b. ▪ Nếu hai số không âm a & b có tổng không đổi thì tích a.b lớn nhất khi a = b. ● Ví dụ và bài tập: ① Chứng minh rằng với mọi a, b 0: . ② Chứng minh rằng với mọi a, b, c 0: . ③ Chứng minh rằng với mọi a, b 0: . ④ Chứng minh rằng với mọi a1, b1, c1: ⑤ Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0: . ⑥ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . ⑦ Cho hai số x,y sao cho 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = (x - 3)(4 - y)(2x +3y) . ⑧ Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có: III. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: ▪ Với bốn số ta có : . Dấu bằng xảy ra khi hay (nếu 0; 0) ● Ví dụ và bài tập: ① Chứng minh rằng với mọi a, b > 0: . Từ đó suy ra: . ② Cho 3x + 5y = 7. Chứng minh rằng: . ③ Cho và . Chứng minh rằng: . ④ Cho . Chứng minh rằng: . ⑤ Cho . Chứng minh rằng: . ⑥ Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có: IV. Chứng minh bất đẳng thức bằng véctơ: YGiả sử và , ta có: ▪ (Minkowski) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng hay ▪ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ngược hướng hay ▪ (BĐT Svac-xơ) (BĐT Bunhiacốpski) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cùng phương ● Ví dụ: ➊ Chứng minh rằng với , ta luôn có: ➋ Chứng minh rằng với tùy ý, ta luôn có: ➌ Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta đều có: ➍ Chứng minh rằng với mọi a, ta có: . ➎ Chứng minh với mọi giá trị của x,y ta có : ➏ Chứng minh rằng với mọi a, b, c: IV. Sử dụng đạo hàm: Để chứng minh một bất đẳng thức, ta biến đổi BĐT về dạng sau đó ta cần chứng tỏ là hàm số tăng trên . Nếu bất đẳng thức được biến đổi về dạng () thì ta cần chứng tỏ hàm số giảm trên . ● Ví dụ và bài tập: ➊ Chứng minh rằng ➋ Cho . Chứng minh rằng Y Các bài tập : 1) Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba số dương thì : 2) Chứng minh với a,b,c,d thuộc R thì : 3) Cho , chứng minh rằng 4) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 5) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz= 1. Chứng minh rằng: 6) Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Chứng minh rằng: 7) Cho hai số thực thỏa . Chứng minh rằng : 8) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn ta có: . 9) Cho x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn: . Chứng minh rằng: . Ⓒ ph­¬ng tr×nh − BÊt ph­¬ng tr×nh − hÖ ph­¬ng tr×nh −−−−−−− I. PHƯƠNG TRÌNH−BPT−HỆ PT KHÔNG CHỨA CĂN THỨC: µ Phương trình: F Nếu hàm số liên tục trên và thì phương trình = 0 có ít nhất một nghiệm trên . ðVí dụ: Chứng tỏ rằng với ∀m ∈ ℝ , phương trình sau luôn có nghiệm thực dương:. F Sử dụng PT đối xứng, đặt ẩn phụ, qui về bậc hai. ð Ví dụ: Giải các phương trình: ① ② ③ ④ . µ Hệ phương trình: ● Phương pháp thế và đặt ẩn phụ: Khi đặt ẩn phụ, công việc đầu tiên là tìm tập giá trị của ẩn phụ (điều kiện của ẩn phụ) ð Ví dụ 1: Giải hệ: ð Ví dụ 2: Giải hệ: ● Sử dụng tổng−tích: ð Ví dụ: Giải các hệ phương trình: ① (Hệ đối xứng loại I) ② ③ ④ ● Qui PT chứa căn thức về PT−HPT không chứa căn thức: ð Ví dụ: Giải các PT sau: ① ② . ③ → . ④ . ● Dùng phép biến đổi tương đương: ð Ví dụ: Giải các hệ PT: ① (hệ đối xứng loại II) ② −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− II. PHƯƠNG TRÌNH−BPT−HỆ PT CHỨA CĂN THỨC: µ Kiến thức cơ bản: ▪ . ▪ . ▪ nghiệm của BPT đã cho là hợp của nghiệm hệ (I) với hệ (II). ● Các dạng cơ bản: ð Ví dụ: Giải các phương trình và bất phương trình sau: ⓐ . ⓑ . ⓒ . ⓓ . ⓔ . ● Hệ phương trình chứa căn: ð Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: ⓐ . ⓑ . ⓒ → VT − VP: Bđổi ● Sử dụng tính đơn điệu: ð Ví dụ: ⓐ Giải phương trình: . ⓑ Giải hệ . ● Bài toán định tính về PT−BPT chứa tham số: ð Ví dụ: ① Cho phương trình . Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. F C1: BĐÛ là nghiệm Þ nên cũng là nghiệm → đk cần; xét điều kiện đủ → m. F C2: Dùng đạo hàm. sCÁC BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ TUYỂN SINH CÁC NĂM QUA ĐỀ THI NĂM 2002: Ⓑ KHỐI B: (1 điểm) Giải hệ phương trình: . Ⓓ KHỐI D: (1điểm) Giải bất phương trình: . ĐỀ THI NĂM 2003: Ⓐ KHỐI A: (1 điểm) Giải hệ phương trình: . Ⓑ KHỐI B: (1 điểm). Giải hệ phương trình: . ĐỀ THI NĂM 2004: Ⓐ KHỐI A: (1 điểm) Giải bất phương trình: . Ⓑ KHỐI B: (1 điểm) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: . Ⓓ KHỐI D: (1 điểm) Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm: . ĐỀ THI NĂM 2005: Ⓐ KHỐI A: (1 điểm) Giải bất phương trình: . ⒹKHỐI D: (1 điểm) Giải phương trình: . ĐỀ THI NĂM 2006: Ⓐ KHỐI A: (1 điểm) Giải hệ phương trình: . Ⓑ KHỐI B: (1 điểm) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: . Ⓓ KHỐI D: (1 điểm) Giải phương trình: . ĐỀ THI NĂM 2007: Ⓐ KHỐI A: (1 điểm) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: . Ⓑ KHỐI B: (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: .