Bài giảng và Bài tập: Phương trình lượng giác cơ bản - Đại số 11

Đ2 phương trình lượng giác cơ bản A. bài giảng Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác của một ẩn. Trên thực tế, có nhiều bài toán dẫn đến việc giải các phương trình có một trong các dạng: sinx = m; cosx = m; tanx = m; cotx = m, trong đó x là ẩn số và m là một số cho trước. Đó chính là các phương trình lượng giác cơ bản. Bốn dạng phương trình lượng giác cơ bản Phương trình sinx = m. Phương pháp thực hiện Ta biện luận theo các bước sau: Nếu ẵmẵ > 1 phương trình vô nghiệm. Nếu ẵmẵ Ê 1, khi đó đặt m = sina, ta được: sinx = sina Û , k ẻ Z. Đặc biệt: Ta có các kết quả: sinx = 0 Û x = kp, k ẻ Z. sinx = 1 Û x = + 2kp, k ẻ Z. sinx = -1 Û x = - + 2kp, k ẻ Z. Giải các phương trình sau: sin3x = sin. sin = -. ? Giải Ta có biến đổi: Û , k ẻ Z. Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Ta có biến đổi: sin = sin(-) ÛÛ, k ẻ Z. Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Tính các góc của DABC, biết AB = cm, AC = cm và đường AH = 1cm. G Hướng dẫn: Sử dụng hệ thức lượng giác trong tam giác vuông. ? Giải Trong tam giác vuông HAB, ta có: sin = = = sin450 ị . Trong tam giác vuông HAC, ta có: sin = = ằ sin350 ị . Giá trị ằ 1450 không được chấp nhận vì khi đó + > 1800, mâu thuẫn, do đó ta luôn có ằ 350. Khi đó: Với = 450 và ằ 350 thì ta được  = 1800 - - ằ 1000. Với = 1350 và ằ 350 thì ta được  = 1800 - - ằ 100. Chứng minh rằng sin. Giải phương trình 2sinx - 2cosx = 1 - bằng cách biến đổi vế trái về dạng Csin(x + a). Giải phương trình 2sinx - 2cosx = 1 - bằng cách bình phương hai vế. G Hướng dẫn: Sử dụng phép biến đổi ? Giải Ta có: sin = sin = sin.cos - cos.sin = . - . = . - . = , đpcm. Biến đổi phương trình về dạng: 2sin(x - ) = 1 - Û sin(x - ) = = sin(-) Û Û , k ẻ Z. Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Biến đổi phương trình về dạng: 4(sinx - cosx)2 = (1 - )2 Û 4(1 - sin2x) = 4 - 2 Û sin2x = Û Û , k ẻ Z. Thử lại: Với họ nghiệm x = + kp ta cần xét hai trường hợp về tính chẵn, lẻ của k: Với k = 2l thì: 2sinx - 2cosx = 2sin( + 2lp) - 2cos( + 2lp) = 2sin - 2cos = 1 - , đúng. Với k = 2l + 1 thì: 2sinx - 2cosx = 2sin[ + (2l + 1)p] - 2cos[ + (2l + 1)p] = 2sin - 2cos = -1 + , sai. Với họ nghiệm x = + kp ta cần xét hai trường hợp về tính chẵn, lẻ của k - Bạn đọc tự giải tiếp. F Nhận xét: Như vậy, khi sử dụng các phép biến đổi không tương đương chúng ta cần thực hiện công việc thử lại để xác định tính đúng đắn về nghiệm của phương trình. Và trong nhiều trường hợp việc thử lại khá tốn công, do đó việc lựa chọn một phương pháp biến đổi để giải phương trình lượng giác là rất quan trọng. Giải phương trình: sin(psin2x) = 1. G Hướng dẫn: Sử dụng điều kiện để phương trình sinx = m có nghiệm. ? Giải Ta có: sin(psin2x) = 1 Û psin2x = + 2kp Û sin2x = + 2k, k ẻ Z. (1) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: ẵ + 2kẵ Ê 1 Û - Ê k Ê k = 0. Khi đó (1) có dạng: sin2x = Û Û , l ẻ Z. Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Phương trình cosx = m. Phương pháp thực hiện Ta biện luận theo các bước sau: Nếu ẵmẵ > 1 phương trình vô nghiệm. Nếu ẵmẵ Ê 1, xét hai khả năng: Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử a, khi đó phương trình có dạng : cosx = cosa Û , k ẻ Z. Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cos của góc đặc biệt, khi đó đặt m = cosa, ta được cosx = cosa Û , k ẻ Z. Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có hai họ nghiệm. F Đặc biệt: Ta có các kết quả: cosx = 0 Û x = + kp, k ẻ Z. cosx = 1 Û x = 2kp, k ẻ Z. cosx = -1 Û x = p + 2kp, k ẻ Z. Giải các phương trình sau: cos = cos. cos = . G Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phương pháp giải toán. ? Giải Ta có biến đổi: = ± + 2kp Û x = ±3 + 6kp, k ẻ Z. Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Đặt = cosa, ta có biến đổi: cos = cosa Û x + = ±a + 2kp Û x = ±a - + 2kp, với k ẻ Z. Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. F Chú ý: Với câu b) ta còn có thể trình bày như sau: x + = ±arccos + 2kp Û x = ± arccos - + 2kp, với k ẻ Z. Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Tìm tập xác định của hàm số sau: y = . G Hướng dẫn: Sử dụng điều kiện có nghĩa của hàm phân thức. ? Giải Điều kiện để hàm số xác định là: cos4x - cos3x ạ 0 Û cos4x ạ cos3x Û Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R\{}, với k ẻ Z. Giả sử một con tàu vũ trụ được phóng lên từ mũi Ca-na-vơ-ran ở Mỹ. Nó chuyển động theo một quỹ đạo được mô tả trên một bản đồ phẳng (qunah đường xích đạo) của mặt đất: điểm M mô tả cho con tàu, đường thẳng D mô tả cho đường xích đạo. Khoảng cách h từ M đến D được tính theo công thức h = ẵdẵ, trong đó d = 4000cos với t (phút) là thời gian trôi qua kể từ khi con tàu đi vào quỹ đạo, d > 0 nếu M ở phía trên D, d < 0 nếu M ở phía dưới D. Giả thiết rằng con tàu đi vào quỹ đạo ngay từ khi phóng lên tại mũi Ca-na-vơ-ran (tức là ứng với t = 0). Hãy tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng D, trong đó C là điểm trên bản đồ biểu diễn cho mũi Ca-na-vơ-ran. Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d = 2000. Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d = -1236. ? Giải Với t = 0, ta được khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng D là: h = ẵdẵ = d = 4000cos ằ 4000 ´ 0,766 ằ 3064,178 km. Để có d = 2000 điều kiện là: 4000cos = 2000 Û cos = = cos Û (t - 10) = ± + 2kp Û , k ẻ Z. (I) Thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo chính là nghiệm dương nhỏ nhất của hệ (I), ta thấy ngay t = 25. Để có d = -1236 điều kiện là: 4000cos = -1236 Û cos = -0,309 ằ cos Û (t - 10) ằ ± + 2kp Û , k ẻ Z. (II) Thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo chính là nghiệm dương nhỏ nhất của hệ (II), ta thấy ngay t = 37. Vậy, thời điểm sớm nhất là 37 phút. Giải phương trình cos[cos(x - )] = . G Hướng dẫn: Sử dụng điều kiện để phương trình cosx = m có nghiệm. ? Giải Phương trình tương đương với: Û , k ẻ Z. Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: ẵ + 4kẵ Ê 1 Û - Ê k Ê k = 0. Khi đó (1) có dạng: cos(x - ) = Û Û , l ẻ Z. (3) Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi: ẵ - + 4kẵ Ê 1 Û - Ê k Ê k = 0. Khi đó (2) có dạng: cos(x - ) = -ÛÛ, l ẻ Z. (4) Kết hợp (3) và (4), ta được: , l ẻ Z. Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Phương trình tanx = m. Phương pháp thực hiện Ta biện luận theo các bước sau: Đặt điều kiện: cosx ạ 0 Û x ạ + kp, k ẻ Z. Xét hai khả năng: Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt, giả sử a, khi đó phương trình có dạng: tanx = tana Û x = a + kp, k ẻ Z. Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt, khi đó đặt m = tana, ta được tanx = tana Û x = a + kp, k ẻ Z. Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm. F Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm. Giải các phương trình sau: tan(x - 150) = 5. tan(2x + 1) = -. tan(2x + 450).tan(1800 - ) = 1. ? Giải Đặt 5 = tana, ta có biến đổi: tan(x - 150) = tana Û x - 150 = a + k1800 Û x = 150 + a + k1800, với k ẻ Z. Vậy, phương trình có một họ nghiệm. Ta có biến đổi: tan(2x + 1) = tan(-) Û 2x + 1 = - + kp Û x = - - + , k ẻ Z. Vậy, phương trình có một họ nghiệm. Biến đổi phương trình về dạng: tan(2x + 450) = cot(1800 - ) Û tan(2x + 450) = tan(900 - 1800 + ) Û tan(2x + 450) = tan( - 900) Û 2x + 450 = - 900 + k1800 Û x = -900 + k1200, k ẻ Z. F Chú ý: Với câu a) ta còn có thể trình bày như sau: tan(x - 150) = 5 Û x - 150 = arctan5 + k1800 Û x = 150 + arctan5 + k1800, với k ẻ Z. Vậy, phương trình có một họ nghiệm. Tìm tập xác định của hàm số sau: y = . G Hướng dẫn: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho hàm số tang và hàm phân thức. ? Giải Điều kiện để hàm số xác định là: Û Û , k ẻ Z. Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R\{ + kp, + kp}, với k ẻ Z. Giải phương trình: tan[(cosx + sinx)] = 1. G Hướng dẫn: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình sinx = m. ? Giải Điều kiện: cos[(cosx + sinx)] ạ 0. (*) Phương trình tương đương với: (cosx + sinx) = + kp Û cosx + sinx = 1 + 4k, k ẻ Z. (1) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: ẵ1 + 4kẵ Ê Û - Ê k Ê k = 0. Khi đó (1) có dạng: cosx + sinx = 1 Û sin(x + ) = 1 Û sin(x + ) = Û Û , l ẻ Z thoả mãn (*). Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Phương trình cotx = m. Phương pháp thực hiện Ta biện luận theo các bước sau: Đặt điều kiện: sinx ạ 0 Û x ạ kp, k ẻ Z. Xét hai khả năng: Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt, giả sử a, khi đó phương trình có dạng : cotx = cota Û x = a + kp, k ẻ Z. Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt, khi đó đặt m = cota, ta được cotx = cota Û x = a + kp, k ẻ Z. Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm. F Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm. Giải các phương trình sau: cot = . cot2x = tan. ? Giải Ta có biến đổi: cot = cot300 Û - 200 = 300 + k1800 Û x = 1500 + k5400, k ẻ Z. Vậy, phương trình có một họ nghiệm. Ta có biến đổi: cot2x = tan = cot( - ) = cot Û 2x = + kp Û x = + , k ẻ Z. Vậy, phương trình có một họ nghiệm. Tìm tập xác định của hàm số y = . G Hướng dẫn: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho hàm số tang và hàm phân thức. ? Giải Điều kiện để hàm số xác định là: Û Û , k ẻ Z. Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R\{, + }, với k ẻ Z. Bài toán: Biện luận theo m số nghiệm thuộc (a; b) của phương trình lượng giác cơ bản. Phương pháp thực hiện Giả sử với phương trình: sinx = m. Ta lựa chọn một trong hai cách sau: Thực hiện theo các bước sau: Biểu diễn (a, b) trên đường tròn đơn vị thành cung Tịnh tiến đường thẳng m song song với trục cosin, khi đó số giao điểm của nó với cung bằng số nghiệm thuộc (a, b) của phương trình. y= sinx y x O 3p p p/2 2p -1 1 y= m x2 x1 sin cosin p/2 A 3p 5p/2 B p 3p/2 2p 0 - 1 O 1 1 - 1 m x2 x1 Thực hiện theo các bước sau: Vẽ đồ thị hàm số y = sinx, lấy trên (a, b). Tịnh tiến đường thẳng y = m song song với trục Ox, khi đó số giao điểm của nó với phần đồ thị hàm số y = sinx bằng số nghiệm thuộc (a, b) của phương trình. F Chú ý: Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho: Phương trình cosx = m, với lưu ý khi sử dụng cách 1 ta tịnh tiến đường thẳng m song song với trục sin. Với các phương trình tanx = m và cotx = m ta chỉ có thể sử dụng cách 2. Vẽ đồ thị hàm số y = sinx rồi chỉ ra trên đồ thị đó những điểm hoành độ thuộc khoảng (-p ; 4p) là nghiệm của mỗi phương trình sau: sinx = -. sinx = 1. Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số y = cosx đối với mỗi phương trình sau: cosx = . cosx = -1. ? Giải Đồ thị hàm số y = sinx được cho bởi hình vẽ sau: x y O p -p 3p 2p 1 p/2 -1 -p/2 4p y = 1 y = - ã ã ã ã ã ã ã ã B6 A1 A2 B2 B1 B3 B4 B5 Nghiệm của phương trình sinx = - trên khoảng (-p ; 4p) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = sinx với đường thẳng y = - trên khoảng đó, cụ thể là các điểm B1, B2, B3, B4, B5, B6. Từ đó, ta có nghiệm: x1 = -, x2 = -, x3 = , x4 = , x5 = , x6 = . Nghiệm của phương trình sinx = 1 trên khoảng (-p ; 4p) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = sinx với đường thẳng y = 1 trên khoảng đó, cụ thể là các điểm A1, A2. Từ đó, ta có nghiệm: x'1 = , x'2 = . y = 1/2 ã ã ã A0 B2 B1 B3 B4 B5 y x O p -p 3p 2p 1 p/2 -1 -p/2 4p 1/2 y = -1 ã A1 ã A2 ã ã ã Đồ thị hàm số y = cosx được cho bởi hình vẽ sau: Nghiệm của phương trình cosx = trên khoảng (-p ; 4p) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cosx với đường thẳng y = trên khoảng đó, cụ thể là các điểm B1, B2, B3, B4, B5. Từ đó, ta có nghiệm: x1 = -, x2 = , x3 = , x4 = , x5 = . Nghiệm của phương trình cosx = -1 trên khoảng (-p ; 4p) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cosx với đường thẳng y = -1 trên khoảng đó, cụ thể là các điểm A1, A2. Từ đó, ta có nghiệm: x'1 = p, x'2 = 3p. F Nhận xét: Như vậy, ví dụ trên đã minh hoạ việc sử dụng đồ thị để tìm nghiệm thuộc khoảng (a; b) của phương trình sinx = m. Tuy nhiên, trong thực té phương pháp đó quá cồng kềnh so với phương pháp so sánh. Ví dụ sau sẽ minh hoạ cho nhận xét này. Biện luận theo m số nghiệm thuộc [; ] của phương trình: sinx = m. G Hướng dẫn: Thiết lập đồ thị cho hàm số sinx. ? Giải y= sinx y x O 8p/3 p 2p -1 1 y= m x2 x1 1/2 p/6 /2 sin cosin 8p/3 A B - 1 O 1 m x2 x1 p/6 1/2 Ta lựa chọn một trong hai cách biểu diễn Kết luận: đặt D = (, ), ta có: Với |m| > 1, phương trình vô nghiệm. Với m = - 1, phương trình có 1 nghiệm thuộc D. Với - 1 < m < hoặc m = 1, phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc D. Với Êm < , phương trình có 3 nghiệm phân biệt thuộc D. Với Êm < 1, phương trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc D. Biện luận theo m số nghiệm thuộc (-; p) của phương trình (m + 1)sinx = (m - 1)cosx. (1) G Hướng dẫn: Chuyển phương trình ban đầu về dạng tanx = f(m). ? Giải Biến đổi phương trình về dạng: -5p/4 O y=tan(x+) p 1 y x y=tanx y = m sinx + cosx = m(cosx - sinx) Û sin(x + ) = mcos(x + ) Û tan(x + ) = m. Ta có kết luận: Với m ³ 1 hoặc m Ê 0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc D. Với 0 < m < 1, phương trình có 3 nghiệm phân biệt thuộc D. Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho: sin2x = - với 0 < x < p. cos(x - 5) = với -p < x < p. G Hướng dẫn: ? Giải Trước tiên, ta đi giải phương trình bằng phép biến đổi: sin2x = sin(-) Û Û , k ẻ Z. Với điều kiện 0 < x < p, ta lần lượt có: 0 < - + kp < p Û < kp < + p Û < k < k = 1 ị nghiệm x1 = - + p = . 0 < + kp < p Û - < kp < - + p Û - < k < k = 0 ị nghiệm x2 = + 0.p = . Vậy, phương trình có hai nghiệm x1 = và x2 = . Trước tiên, ta đi giải phương trình bằng phép biến đổi: cos(x - 5) = cos Û Û , k ẻ Z. Với điều kiện -p < x < p, ta lần lượt có: -p < 5 + + 2kp < p Û -p - 5 - < 2kp < p - 5 - Û - - - ằ -1,3 < k < - - ằ -0,3 k = -1 ị nghiệm x1 = 5 + - 2p = 5 - . -p < 5 - + 2kp < p Û -p - 5 + < 2kp < p - 5 + Û - - + ằ -1,1 < k < - + ằ -0,4 k = -1 ị nghiệm x1 = 5 - - 2p = 5 - . Vậy, phương trình có hai nghiệm x1 = 5 - và x2 = 5 - . Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho: tan(2x - 150) = 1 với -1800 < x < 900. cot3x = - với - < x < 0. ? Giải Trước tiên, ta đi giải phương trình bằng phép biến đổi: tan(2x - 150) = tan450 Û 2x - 150 = 450 + k1800 Û x = 300 + k900 với k ẻ Z. Với điều kiện -1800 < x < 900, ta lần lượt có: -1800 < 300 + k900 < 900 Û -2100 < k900 < 600 Û - < k < ị . Vậy, phương trình có ba nghiệm x1 = -1500, x2 = -600 và x3 = 300. Trước tiên, ta đi giải phương trình bằng phép biến đổi: cot3x = cot(-) Û 3x = - + kp Û x = - + , k ẻ Z. Với điều kiện - < x < 0, ta lần lượt có: - < - + < 0 Û - < k < ị x1 = - và x2 = -. Vậy, phương trình có hai nghiệm x1 = - và x2 = -. Mùa xuân ở Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động qua lại vị trí cân bằng. Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (tính bằng mét) người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (t ³ 0, được tính bằng giây) bởi hệ thức h = ẵdẵ với d = 3cos, trong đó ta quy ước rằng d > 0 khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu d < 0 trong trường hợp trái lại. Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất. Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2m. G Hướng dẫn: ? Giải Trong 2 giây đầu tiên (0 Ê t Ê 2), người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất khi h đạt giá trị lớn nhất, tức là: cos = ±1 Û sin = 0 Û (2t - 1) = kp Û t = + , k ẻ N. Với điều kiện 0 Ê t Ê 2, ta được: 0 Ê + Ê 2 ị t1 = 0,5 (s) hoặc t2 = 2 (s). Vậy, ở vào thời điểm t = 0,5 (s) hoặc t = 2 (s) trong 2 giây đầu tiên, người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất. Trong 2 giây đầu tiên (0 Ê t Ê 2), người chơi đu cách vị trí cân bằng 2m, tức là: 3cos = ±2 Û cos2 = Û + cos = Û cos = - ằ cos(0,535p) Û Û , k ẻ N. Với điều kiện 0 Ê t Ê 2, ta lần lượt có: 0 Ê 0,9 + Ê 2 k = 0 ị t1 = 0,9 (s). 0 Ê 0,1 + Ê 2 ị t2 = 0,1 (s) hoặc t2 = 1,6 (s). Vậy, ở vào thời điểm t = 0,1 (s) hoặc t = 0,9 (s) hoặc t = 1,6 (s) trong 2 giây đầu tiên, người chơi đu cách vị trí cân bằng 2m. C. bài tập rèn luyện Giải các phương trình sau: a. sin4x = sin. b. sin = -. Giải các phương trình sau: a. sin = cos2x. b. sin(p.sin4x) = 1. Tìm tập xác định của hàm số y = . Giải các phương trình sau: a. cos = cos. b. cos = . Tìm tập xác định của các hàm số sau: a. y = . b. . Giải các phương trình sau: a. cos2x - sin2x = 0. b. cos2(x + ) = y2 - y + . Giải các phương trình sau: a. tan3x = tan. b. tan(2x - 1) = . Giải các phương trình sau: a. tan(x - 150) = 5. b. tan(2x + 450).tan(1800 - ) = 1. Tìm tập xác định của hàm số y = . Giải phương trình tan[(sinx - cosx)] = 1. Giải các phương trình sau: a. cot2x = cot. b. cot = -. Giải các phương trình sau: a. cot3x = tan. b. cot2x = sin. Tìm tập xác định của hàm số y = . Giải phương trình cot[(cosx + sinx)] = 1. Tìm nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho: sin2x = - với 0 < x < p. Vẽ đồ thị hàm số y = cosx rồi chỉ ra trên đồ thị đó những điểm hoành độ thuộc khoảng (-p ; 4p) là nghiệm của mỗi phương trình sau: a. cosx = -1. b. cosx = . Tìm nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho: cos(x - 5) = với -p < x < p. Vẽ đồ thị hàm số y = tanx rồi chỉ ra trên các đồ thị đó những điểm có hoành độ thuộc khoảng (-p; p) là nghiệm của mỗi phương trình sau: a. tanx = -1. b. tanx = 0. Vẽ đồ thị hàm số y = cotx rồi chỉ ra trên các đồ thị đó những điểm có hoành độ thuộc khoảng (-p; p) là nghiệm của mỗi phương trình sau: a. cotx = . b. cotx = 1. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho: cot3x = - với - < x < 0. Giải các phương trình sau: a. sinx + cosx = 0. b. sin2x + sin2x = . Giải các phương trình sau: a. cot2 = . b. sin22x = . Giải các phương trình sau: a. tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1. b. tanx + tan = 1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: sin(2x - ) = m, với x ẻ [-; ]. cos(x - ) = m, với x ẻ [; ]. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: tan(2x - ) = m, với x ẻ (-; p). cot(x - ) = m, với x ẻ (-; p). D. hướng dẫn - đáp số Ta có biến đổi: Û , k ẻ . Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Ta có biến đổi: sin = sin(-) ÛÛ, kẻ. Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Biến đổi phương trình về dạng: Û Û , k ẻ . Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Ta có: sin(p.sin4x) = 1 Û p.sin4x = + 2kp Û sin4x = + 2k, k ẻ . (1) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: ẵ + 2kẵ Ê 1 Û - Ê k Ê k = 0. Khi đó (1) có dạng: sin4x = Û Û , l ẻ . Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Điều kiện để hàm số xác định là: 2sinx + ạ 0 Û sinx ạ - = sin(-) Û , k ẻ . Vậy, hàm số xác định trên D = \{- + 2kp, + 2kp}, với k ẻ . Ta có biến đổi: = ± + 2kp Û x = ±2 + 4kp, k ẻ . Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Đặt = cosa, ta có biến đổi: cos = cosa Û x + = ±a + 2kp Û x = ±a - + 2kp, k ẻ . Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. F Chú ý: Với câu b) ta còn có thể trình bày như sau: x + = ±arccos + 2kp Û x = ± arccos - + 2kp, với k ẻ . Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Điều kiện để hàm số xác định là: cos2x - cosx ạ 0 Û cos2x ạ cosx Û Û Û x ạ , k ẻ . Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = \{}, với k ẻ . Điều kiện để hàm số xác định là: Û Û , k ẻ . Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = \{, } với k ẻ . F Nhận xét: Như vậy, trong ví dụ trên: ở câu a), biểu thức điều kiện được chuyển ngay về phương dạng cơ bản cos[f(x)] = cos[g(x)]. Tuy nhiên, cũng có thể thực hiện bằng cách biến đổi: cos2x - cosx ạ 0 Û 2cos2x - cosx - 1 ạ 0 Û Û Û x ạ , k ẻ Z. ở câu b), chúng ta cần sử dụng công thức của hai góc bù nhau để chuyển phương trình ban đầu về dạng cơ bản cos[f(x)] = cos[g(x)]. Tuy nhiên, cũng có thể thực hiện bằng cách biến đổi: , k ẻ . Biến đổi phương trình về dạng: cos2x - (1 - cos2x) = 0 Û cos2x = = cos2a Û 2x = ±2a + 2kp Û x = ±a + kp, k ẻ . Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Nhận xét rằng: y2 - y + (*) do đó, phương trình được chuyển thành hệ: Û Û , k ẻ . Vậy, phương trình có cặp nghiệm là với k ẻ . F Chú ý: Nếu các em học sinh không biết cách đánh giá như (*) thì chỉ cần thực hiện thiết lập điều kiện có nghiệm của phương trình cos[f(x)] = m là ẵmẵ Ê 1, cụ thể: . Ta có biến đổi: 3x = + kp Û x = + , k ẻ . Vậy, phương trình có một họ nghiệm. Ta có biến đổi: tan(2x - 1) = tan Û 2x - 1 = + kp Û x = + + , k ẻ . Vậy, phương trình có một họ nghiệm. Đặt 5 = tana, ta có biến đổi: tan(x - 150) = tana Û x - 150 = a + k1800 Û x = 150 + a + k1800, với k ẻ . Vậy, phương trình có một họ nghiệm. Biến đổi phương trình về dạng: tan(2x + 450) = cot(1800 - ) Û tan(2x + 450) = tan(900 - 1800 + ) Û tan(2x + 450) = tan( - 900) Û 2x + 450 = - 900 + k1800 Û x = -900 + k1200, k ẻ . F Chú ý: Với câu a) ta còn có thể trình bày như sau: tan(x - 150) = 5 Û x - 150 = arctan5 + k1800 Û x = 150 + arctan5 + k1800, với k ẻ . Vậy, phương trình có một họ nghiệm. Điều kiện để hàm số xác định là: Û Û , k ẻ . Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = \{ + kp, - + kp}, với k ẻ . Điều kiện cos[(sinx - cosx)] ạ 0. (*) Phương trình tương đương với: (sinx - cosx) = + kp Û sinx - cosx = 1 + 4k, k ẻ (1) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: Û - Ê k Ê k = 0. Khi đó (1) có dạng: Û Û , l ẻ thoả (*). Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Ta có biến đổi: 2x = - + kp Û x = - + , k ẻ . Vậy, phương trình có một họ nghiệm. Ta có biến đổi: cot = cot(-300) Û + 200 = -300 + k1800 Û x = -2000 + k7200, k ẻ . Vậy, phương trình có một họ nghiệm. Ta có biến đổi: cot3x = tan = cot( - ) = cot Û 3x = + kp Û x = + , k ẻ . Vậy, phương trình có một họ nghiệm. Ta có biến đổi: , k ẻ . Vậy, phương trình có một họ nghiệm. Điều kiện để hàm số xác định là: Û Û , k ẻ . Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = \{, - + }, với k ẻ . Điều kiện sin[(cosx + sinx)] ạ 0. (*) Phương trình tương đương với: (cosx + sinx) = + kp Û cosx + sinx = 1 + 4k, k ẻ Z (1) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: Û - Ê k Ê k = 0. Khi đó (1) có dạng: sin(x + ) = Û Û , l ẻ Z thoả (*). Vậy, phương trình có hai họ nghiệm. Trước tiên, ta đi giải phương trình bằng phép biến đổi: sin2x = sin(-) Û Û , k ẻ . Với điều kiện 0 < x < p, ta lần lượt có: 0 < - + kp < p Û < kp < + p Û < k < k = 1 ị nghiệm x1 = - + p = . 0 < + kp < p Û - < kp < - + p Û - < k < k = 0 ị nghiệm x2 = + 0.p = . Vậy, phương trình có hai nghiệm x1 = và x2 = . F Nhận xét: Như vậy, việc sử dụng phương pháp so sánh trong lời giải trên khá dễ hiểu. Tuy nhiên, với phương trình chứa tham số thì do đặc tính tuần hoàn của hàm số lượng giác phương pháp này sẽ không thể thực hiện được. Đồ thị hàm số y = cosx được cho bởi hình vẽ (trang bên). Nghiệm của phương trình cosx = -1 trên khoảng (-p ; 4p) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cosx với đường thẳng y = -1 trên khoảng đó, cụ thể là các điểm A1, A2. Từ đó, ta có nghiệm: y = 1/2 ã ã ã A0 B2 B1 B3 B4 B5 y x O p -p 3p 2p 1 p/2 -1 -p/2 4p 1/2 y = -1 ã A1 ã A2 ã ã ã x'1 = p, x'2 = 3p. Nghiệm của phương trình cosx = trên khoảng (-p ; 4p) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cosx với đường thẳng y = trên khoảng đó, cụ thể là các điểm B1, B2, B3, B4, B5. Từ đó, ta có nghiệm: x1 = -, x2 = , x3 = , x4 = , x5 = . Trước tiên, ta đi giải phương trình bằng phép biến đổi: cos(x - 5) = cos Û Û , k ẻ . Với điều kiện -p < x < p, ta lần lượt có: -p < 5 + + 2kp < p Û -p - 5 - < 2kp < p - 5 - Û - - - ằ -1,3 < k < - - ằ -0,3 k = -1 ị nghiệm x1 = 5 + - 2p = 5 - . -p < 5 - + 2kp < p Û -p - 5 + < 2kp < p - 5 + Û - - + ằ -1,1 < k < - + ằ -0,4 k = -1 ị nghiệm x1 = 5 - - 2p = 5 - . Vậy, phương trình có hai nghiệm x1 = 5 - và x2 = 5 - . x y O p -p -3p/2 p/2 -p/2 3p/2 -1 y = -1 y = 0 A0 A1 A2 ã ã ã B1 B2 Đồ thị hàm số y = tanx được cho bởi hình vẽ sau: Nghiệm của phương trình tanx = -1 trên khoảng (-p; p) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = tanx với đường thẳng y = -1 trên khoảng đó, cụ thể là các điểm B1, B2. Từ đó, ta có nghiệm x1 = -, x2 = . Nghiệm của phương trình tanx = 0 trên khoảng (-p; p) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = tanx với trục hoành trên khoảng đó, cụ thể là A1. Từ đó, ta có nghiệm x'1 = 0. y = 1 A1 A2 ã B1 B2 x y O p -p p/2 -p/2 ã y = /3 ã ã Đồ thị hàm số y = cotx được cho bởi hình vẽ sau: Nghiệm của phương trình cotx = trên khoảng (-p; p) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cotx với đường thẳng y = trên khoảng đó, cụ thể là các điểm A1, A2. Từ đó, ta có nghiệm x1 = -, x2 = . Nghiệm của phương trình cotx = 1 trên khoảng (-p; p) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cotx với đường thẳng y = 1 trên khoảng đó, cụ thể là các điểm B1, B2. Từ đó, ta có nghiệm x'1 = -, x'2 = . Trước tiên, ta đi giải phương trình bằng ph