Bài giảng Toán lớp 10 - Bài 3: Đường elip

§ 3ĐƯỜNG ELIP1Quan sát hình sau2Quan sát hình sau:Hành tinhMặt trờiF1F2Các hành tinh chuyển động xung quanh mặt trời theo quỹ đạo là hình elip3Đấu trường Colisee ở Rôma (Italia)Khởi công vào năm 72 sau công nguyên Mặt bằng của công trình có dạng hình elip41. Định nghĩa elipCách vẽ elip:F1F2M?Khi M thay đổi , em có nhận xét gì về:+ Chu vi tam giác MF1F2+ Tổng MF1 + MF2Chu vi tam giác MF1F2 luôn bằng chiều dài sợi dây nên không đổi.Do F1 F2 cố định nên tổng MF1 + MF2 cũng không đổi5Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 và F2 , với F1F2 = 2c (c > 0). Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF1 + MF2 = 2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c. Hai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip.6màMF1 và MF2 được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M2. Phương trình chính tắc của elip1. Tìm tọa độ F1, F22. Chứng minh:?F 1(-c; 0)F 2(c; 0)M(x,y)0F1F2xy1.2.Ta có:Do đóCho elip (E) như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm F1F2. Trục Oy là đường trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia OxF1F2 = 2cMF1 + MF2 = 2a7* Lập phương trình của elipTa có:hayRút gọn ta được:MF1=HayVìa2 – c2 > 0nên ta đặta2 – c2 = b2 (b>0) Vậy(a > b > 0)(1)Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip8F1F2Phương trình a > b > 0?vớicó phải là phương trình của elip không?xyolà phương trình của elip Tuy nhiên đây không phải là phương trình chính tắc của elip.-bb-aa9Theo giả thiết:Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:b) Qua điểm , một tiêu điểm là Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:a) Độ dài trục lớn bằng 6, tiêu cự bằng Phương trình chính tắc của (E) với a > b > 010b) Qua điểm , một tiêu điểm là Phương trình chính tắc của (E) với a > b > 0Theo giả thiếtVậy phương trình chính tắc của elip (E) là11M2 (xo,-yo)M3 (-xo,-yo)Cho điểm M(xo,yo) thuộc elip. Trong các điểm sau điểm nào thuộc elip?3. Hình dạng của elipa) Tính đối xứng của elipM1 (-xo,yo)M(xo,yo)0F1F2xyM1(-xo,yo)M2(xo,-yo)M3(-xo,-yo)Thay tọa độ M1 vào vế trái của (1), ta được:Vì M(xo,yo) thuộc elip nên: Vậy M1 nằm trên elipTương tự M2, M3 cũng nằm trên elip120Em có nhận xét gì về tính đối xứng của elip?Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.xy13b) Hình chữ nhật cơ sởx0yA2A1B2B1-aa-bbGọi (E) là elip có phương trình (1). Tìm tọa độ các giao điểm của (E) với các trục tọa độ?Khi đó ta gọiA1, A2, B1, B2: 4 đỉnh của elipOx: trục lớn Oy: trục bé (hay trục nhỏ)Ta cũng gọi:A1A2: trục lớnB1B2: trục béVàA1A2=2aB1B2=2bVới A1(-a; 0), A2(a; 0)Với B1(0; -b), B2(0; b)14SRQP0xyA2A1B2B1Vẽ qua A1, A2 hai đường thẳng // OyVẽ qua B1, B2 hai đường thẳng // OxBốn đường thẳng tạo thành hình chữ nhật PQRSTa gọi hình chữ nhật đó là hình chữ nhật cơ sở của elip15Mọi điểm của elip nếu không phải là đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật cơ sở của nó. Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở.Min y = -bMax y = bMin x = -aSRQP0xyA2A1B2B1MyxTìm:Max x = ?Max y = ?Min y = ?Min x = ?Ta có:HayXét điểm M(x;y) (E) VậyMax x = a16Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai của elip.Kí hiệu:eVậyNhận xét:+ 0 < e < 1+c. Tâm sai của elip17Nếu e càng bé (càng gần 0) thì b càng gần a và hình chữ nhật cơ sở càng gần với hình vuông, do đó đường elip càng “béo”.Nếu e càng lớn (càng gần 1) thì tỉ số càng gần tới 0 và hình chữ nhật cơ sở càng dẹt, do đó đường elip càng “gầy”.F2F1o 0 < e < 118Ví dụ24 moyx?Tính chiều cao của hầm19d. Elip và phép co đường tròn* Phép co về trục hoànhM(x,y)xyOTrong mp tọa độ Oxy, cho điểm M(x, y)Cho một số k với 0 < k < 1Khi đó ta xác định được một điểm M’(x’,y’) với x’ = x ; y’ = kyM’(x’,y’)Phép biến đổi trên được gọi là phép co về trục hoành với hệ số co là k (0 < k < 1)20Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 =a2 và một số k (0 < k < 1). Với mỗi điểm M(x;y) trên (C), lấy điểm M’(x’;y’) sao cho x’ = x và y’ = ky. Tìm tập hợp các điểm M’.Theo giả thiết:tức làĐặt b=ka, ta được phương trìnhVậy tập hợp các điểm M’ là elip (E) có phương trình chính tắc:21Ta nói:Phép co về trục hoành theo hệ số k biến đường tròn (C) thành elip (E)(E)(C)xyM(x;y)Ví dụ:Phép co về trục hoành theo hệ số k = biến đường tròn (C) thành elip (E)22Như vậy, đường tròn là một elip đặc biệtGiả sử có đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 =0. Hãy xác định:Tiêu cự?Tâm sai?Độ dài trục lớn?Độ dài trục bé?Tiêu điểm?A1A2B2B1O(C)Độ dài trục lớn: A1A2 = 2aĐộ dài trục bé: B1B2 = 2aTiêu cự = 0Tiêu điểm: O(0,0)Tâm sai: e = 023