Bài giảng số 9 - Đường hypebol

Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn:Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668 Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295; fanpage: www.facebook.com/Trinh PhuongLien.vn 1 BÀI GIẢNG SỐ 9. ĐƯỜNG HYPEBOL Bài toán 1: Tìm các yếu tố của hybebol Phương pháp: Phương trình chính tắc của hypebol     2 2 2 2 2 2 2 : 1 , x y H c a b a b     . Ta có các thành phần của (H) gồm : - O là tâm đối xứng. Ox, Oy là trục đối xứng - Trục thực 1 2 2A A a nằm trên Ox - Trục ảo 1 2 2B B b nằm trên Oy - Hai đỉnh    1 2;0 , ;0A a A a - Hai tiêu điểm    1 2;0 , ;0F c F c - Tâm sai c e a  - Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở ,x a y b    - Phương trình hai đường tiệm cận b y x a   - Bán kính qua tiêu của điểm    ;M MM x y H 1 2,M M M M c c MF a ex a x MF a ex a x a a         Ví dụ 1: Xác định độ dài trục thực, trục ảo, tiêu cự, tâm sai, tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hypebol sau a. 2 2 1 16 4 x y   b. 2 24 4x y  Giải a. 2 2 2 2 216 4; 4 2; 20 2 5a a b b c a b c           Độ dài trục thực 2 8a  Độ dài trục ảo 2 4b  Tiêu cự 2 4 5c  , tâm sai 5 2 c e a   Các tiêu điểm    1 22 5;0 , 2 5;0F F . Các đỉnh    1 24;0 , 4;0A A Các tiệm cận 1 2 b y x x a     b. Hypebol đã cho được viết lại là 2 2 1 1 4 x y   2 2 2 2 21 1; 4 2; 5 5a a b b c a b c           Độ dài trục thực 2 2a  Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn:Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668 Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295; fanpage: www.facebook.com/Trinh PhuongLien.vn 2 Độ dài trục ảo 2 4b  Tiêu cự 2 2 5c  , tâm sai 5 c e a   Các tiêu điểm    1 25;0 , 5;0F F . Các đỉnh    1 21;0 , 1;0A A Các tiệm cận 2 b y x x a     Ví dụ 2: Cho Hypebol   2 2 : 1 2 4 x y H   và  4;1A . Tìm điểm M thuộc (H) sao cho đoạn AM ngắn nhất. Giải Điểm    0 0;M x y H , với 0 0y  ta có 2 2 2 2 20 0 0 0 0 01 2 4 2 4 2 4 x y x y y x                    2 2 2 22 2 0 0 0 0 2 2 2 0 0 4 1 4 2 4 1 1 2 2 2 4 2 5 5 2 AM x y x x x x                 Vậy min 5AM  . Đạt được khi 2 0 0 0 2 4 2 0 2 2 0 x x x         Thay vào (1) ta có  2;2M Bài tập Bài 1. Tìm độ dài trục thực, trục ảo, tâm sai, tiêu điểm của hypebol 2 2 1 16 9 x y   Đáp số: Trục thực 8, trục ảo: 6, tâm sai 5 4 , tiêu điểm  5;0 Bài 2. Cho hypebol có Ox là trục thực, tổng hai bán trục là 7, phương trình tiệm cận là 3 4 y x  . Tính độ dài các bán trục. Đáp số: 4 và 3 Bài 3. Cho A(4;1) và hypebol (H) có phương trìh 2 2 2 2 1 x y a b   . Tìm tọa độ điểm M thuộc (H) sao cho độ dài F1M ngắn nhất. Đáp số: M(-a;0) Bài 4. Tìm độ dài trục thực, trục ảo, tiêu cự, tiêu điểm của hypebol 2 2 1mx ny  Đáp số: Trục thực 2 m , trục ảo: 2 n , tiêu cự 2 m n mn  , tiêu điểm ;0 m n mn        Bài toán 2: Phương trình chính tắc của hybebol Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn:Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668 Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295; fanpage: www.facebook.com/Trinh PhuongLien.vn 3 Phương pháp: - Xác định các yếu tố của hyperbol qua các dữ kiện, từ đó xây dựng phương trình chính tắc của hypebol dựa vào định nghĩa   2 2 2 2 : 1 x y H a b   Ví dụ 1 : Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết a. Một tiêu điểm là (5;0) và một đỉnh là (-4;0) b. Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là 1 ; 1 2 x y    c. Một tiêu điểm là (-10;0) và phương trình các đường tiệm cận là 4 3 x y   Giải Phương trình chính tắc của hypebol là     2 2 2 2 : 1, , 0 x y H a b a b    a. (5;0) là một tiêu điểm  0; 4;0c   là một đỉnh 4a  Phương trình hypebol là   2 2 : 1 16 9 x y H   b. 1 ; 1 2 a b   Phương trình hypebol là   2 2 : 1 1 1 4 x y H   c. 10c  . Các tiệm cận có phương trình 4 3 x y   nên 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 3 10 25 3 3 9 b a b a a a        Vậy 2 236, 64a b  . Phương trình hypebol là   2 2 : 1 36 64 x y H   Ví dụ 2: Cho parabol (P) có phương trình   2: 2 , 0P y px p  . Điểm M khác O chạy trên (P). Gọi A, B theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M lên Ox, Oy. Chứng minh rằng a. Đường thẳng qua B vuông góc với OM luôn đi qua một điểm cố định b. Đường thẳng qua B vuông góc với AB luôn đi qua một điểm cố định c. Đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một Prabol cố định Giải Do     2 2 0 0 0 0; ; ;0 , 0; 2 2 y y M P M y A B y p p               2 2 2 25 16 9b c a     Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn:Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668 Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295; fanpage: www.facebook.com/Trinh PhuongLien.vn 4 a. Đường thẳng d1 qua B vuông gó với OM được cho bởi           0 2 1 0 0 2 2 20 1 0 0 1 0 0 0 0; : ; 2 : . 0 : 2 2 0 2 qua B y d y vtcpOM y p y d x y y y d y x py y py p                 Ta thấy đường thẳng  1d luôn đi qua điểm cố dịnh là  2 ;0p b. Đường thẳng  2d qua B và vuông góc với AB nên           0 2 2 0 0 2 2 20 2 0 0 2 0 0 0 0; : ; 2 : . 0 : 2 2 0 2 qua B y d y vtcpBA y p y d x y y y d y x py y py p                 Ta thấy đường thẳng  2d luôn đi qua điểm cố dịnh là  2 ;0p c. đường thẳng AB được cho bởi  0 2 0 0 20 0 02 0 0 0; : ; 2 : : 2 0 2 qua B y AB y vtcpBA y p y yx AB AB px y y y y y p                 Gọi N(x;y) là điểm mà AB không đi qua với mọi 0y . Khi đó phương trình 2 0 02 0px y y y   vô nghiệm 0y  phương trình 2 0 0 2 0y y y px   vô nghiệm 0y 20 8 0y px    Chứng minh AB luôn tiếp xúc với   2: 8P y px  . Thật vậy :  2 2 20 02 2.2 4 . 0AC pB p y p y      Vậy AB luôn tiếp xúc với   2: 8P y px  Bài tập Bài 1. Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết rằng tiêu điểm trên Ox, độ dài tiêu cự là 10 và một đường tiệm cận có phương trình 3x-4y=0 Đáp số:   2 2 : 1 16 9 x y H   Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn:Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668 Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295; fanpage: www.facebook.com/Trinh PhuongLien.vn 5 Bài 2. Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết rằng (H) đi qua hai điểm P(6;-1) và  8;2 2Q  Đáp số:   2 2 : 1 32 8 x y H   Bài 3. Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết rằng (H) đi qua hai điểm P(6;-1) và góc giữa hai tiệm cận là 600 Đáp số:     2 2 2 2 1 2: 1; : 1 9 3 33 99 x y x y H H    Bài 4. Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) có các tiêu điểm trên Oy, độ dài trục ảo bằng 6 và hai tiệm cận vuông góc với nhau Đáp số: 2 2 1 9 9 x y   Bài 5. Cho đường tròn (C) 2 2 4 3 4 0x y x    . Xét đường tròn (C’) di động nhưng luôn did qua tiêu điểm ngoài F2 và tiếp xúc với đường tròn (C). Chứng tỏ rằng các tâm N của đường tròn (C’) nằm trên một hypebol cố định. Viết phương trình Hypebol Đáp số: 2 2 1 4 8 x y   Bài 6: Cho họ đường cong 2 2 2 2 1 25 x y m m    . Với giá trị nào của m thì đó là một hypebol? Đáp số: 0< |m|<5 Bài toán 3: Tập hợp điểm là hybebol Phương pháp - Chứng minh tập hợp điểm có phương trình thuộc dạng chính tắc của hypebol - Chứng minh tập hợp điểm thỏa mãn định nghĩa của hypebol: Cho 2 điểm cố định 1 2,F F và hằng số 2a, hypebol là tập hợp những điểm M thỏa mãn 1 2 2MF MF a  Ví dụ: Tìm tập hợp tâm các đường tròn chắn trên hai trục tọ độ Ox và Oy hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 10 và 6. Giải Gọi I là tâm của đường tròn chắn trên trục Ox đoạn 10AB  và chắn trên Oy đoạn 6CD  Giả sử        ;0 , ;0 , 0; , 0;A a B b C c D d . Ta có 2 2 2 2 A B I C D I x x a b x y y c d y                   2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 10 4 6 4 16 4 4 4 I I a b c d a b ab c d cd ab cd x y                  Vậy tập hợp điểm I là đường hypebol   2 2: 16.H x y  Bài tập Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn:Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668 Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295; fanpage: www.facebook.com/Trinh PhuongLien.vn 6 Bài 1. Cho hai đường tròn (C1) và (C2) nằm ngoài nhau và có bán kính không bằng nhau. Chứng minh rằng tâm của các đường tròn tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong với (C1) và (C2) nằm trên một hypebol với các tiêu điểm là tâm đường tròn (C1) và (C2). Bài 2. Chứng minh rằng đường cong có phương trình là 2 2 m xy  cũng là một hypebol Bài 3. Chứng minh rằng đường cong có phương trình 2 2 4 6 2 0y x x y     cũng là một hypebol. Bài 4. Cho  ; tan , 2 1 cos 2 a M b t t k t        , t là tham số . Tìm quỹ tích điểm M. Đáp số: hybebol   2 2 2 2 : 1. x y H a b   PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hypebol 2 2 1 16 9 x y   . Độ dài trục thực, trục ảo lần lượt là . 8; 6A . 16; 9B . 4; 3C . 6; 8D Câu 2. Cho Hypebol 2 2 2 2 1 x y a b   . Tính độ dài đường tiệm cận chắn bởi hai đường chuẩn . 2A b . 2B a .C a .D b Câu 3. Cho Hypebol 2 2 2 2 1 x y a b   . Tính khoảng cách từ tiêu điểm đến các tiệm cận . 2A b . 2B a .C a .D b Câu 4. Cho Hypebol 2 2 2 2 1 x y a b   .Viết phương trình đường thẳng đi qua M(6;1) cắt hypebol tại A,B sao cho M là trung điểm của AB . 2 52 0A x y   . 9 2 52 0B x y   . 9 2 52 0C x y   . 9 2 52 0D x y   Câu 5. Lập phương trình chính tắc của Hypebol với Ox là trục thực, tổng hai bán trục là 7. Phương trình tiệm cận là 3 4 y x  . 2 2 . 1 16 4 x y A   2 2 . 1 9 16 x y B   2 2 . 1 9 4 x y C   2 2 . 1 16 9 x y D   Câu 6. Cho Hypebol   2 2 2 2 : 1 x y H a b   . Tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc (H) là Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn:Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668 Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295; fanpage: www.facebook.com/Trinh PhuongLien.vn 7 2 2 2 2 . a b A a b 2 2 2 2 . a b B a b 2 2 2 2 . a b C a b  2 2 2 2 . a b D a b   Câu 7. Cho elip   2 2 : 1 9 1 x y E   và Hypebol   2 2 : 1 1 4 x y H   . Phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H) là 2 2 7. 37 A x y  2 2 77 . 37 B x y  2 2 1. 7 C x y  2 2 7 . 3 D x y  Câu 8. Cho Hypebol   2 2 2 2 : 1 x y H a b   . Tìm giá trị của a để đường thẳng 2y ax  có điểm chung với (H) 6 . 3 A a   6 . 3 B a  6 6 . 3 3 C a    6 . 3 D a  Câu 9. Cho hipebol có phương trình   2 2:9 16 144H x y  . Tìm tọa độ tiêu điểm của (H)    1 2. 5;0 , 5;0A F F    1 2. 4;0 , 4;0B F F    1 2. 3;0 , 3;0C F F    1 2. 6;0 , 6;0D F F Câu 10. Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết một đỉnh là (3;0) và phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là x2+y2=16 2 2 . 1 3 7 x y A   2 2 . 1 9 7 x y B   2 2 . 1 9 7 x y C   2 2 . 1 7 9 x y D   Đáp số A B D B D A B C A B