Bài giảng số 8 - Biến ngẫu nhiên rời rạc

Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 1 BÀI GIẢNG SỐ 8. BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC Bài giảng số 8 giúp chúng ta hiểu được khái niệm về biến ngẫu nhiên, bảng phân bố xác suất, kì vọng, phương sai , độ lệch chuẩn. Đây là các khái niệm rất cơ bản của xác suất. Bài toán 1: Lập bảng phân bố xác suất Phương pháp: Để lập bảng phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc X ta thực hiện các bước sau:  Bước 1: Liệt kê các giá trị của X theo thứ tự tăng dần 1 2, ,.... nx x x .  Bước 2: Tính xác suất  i ip P X x  với 1,i n .  Bước 3: Trình bày bảng phân bố xác suất theo dạng sau X 1x 2x 3x ... nx P 1p 2p 3p ... np 1 n i i p   Chú ý: 1 1 n i i p   . Ví dụ 1: Một hộp đựng viên bi đỏ và viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên ba viên bi. Gọi là số viên bi đỏ có trong mỗi lần chọn. Hãy lập bảng phân bố xác suất của . Giải Ta có số phần tử không gian mẫu là . Tập giá trị của là: . Ta có: . Do đó ta có bảng phân bố xác suất của như sau: Ví dụ 2: Xác suất bắn trúng vòng của xạ thủ Bình là . Bình bắn ba lần. Gọi là số lần trúng vòng trong ba lần bắn. Lập bảng phân bố xác suất của . Giải Gọi là biến cố “Lần bắn thứ bắn trúng vòng ”  Gọi là biến cố “Không có lần bắn trúng vòng ”. 4 3 X X 3 7 35C   X {0;1;2;3} 2 2 3 3 4 4 41 12 .3 18 4 ( 0) , ( 1) ; ( 2) ; ( 3) 35 35 35 35 35 35 35 C C C P X P X P X P X           X X 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 10 0,3 X 10 X kA k 10 ( 1;2;3).k  0B 10 Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 2 Ta có: .  Gọi là biến cố “Có đúng một lần bắn trúng vòng ”. Ta có: .  Gọi là biến cố “Có đúng hai lần bắn trúng vòng ”. Ta có: .  Gọi là biến cố “Có đúng ba lần bắn trúng vòng ”. Ta có . Ta có bảng phân bố xác suất như sau: Bài tập 1. Một hộp đựng bi xanh và bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên viên bi. Gọi là số bi xanh trong viên bi lấy ra. có phải là biến ngẫu nhiên rời rạc không ? nếu có hãy lập bảng phân bố xác suất của . Hướng dẫn và đáp số: Tập các giá trị của là và giá trị của là ngẫu nhiên, không đoán trước được nên là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Để lập bảng phân bố xác suất của , ta lần lượt tính các xác suất . Ta có: là xác suất trong viên bi được chọn không có bi xanh tức là cả viên bi đều là bi đỏ . Ta có: là xác suất trong viên bi được chọn có một viên bi xanh và ba viên bi đỏ . Tương tự: . Bảng phân bố xác suất của : 2. Số xe máy trong một gia đình tại một khu phố là một biến ngẫu nhiên rời rạc . Cho biết: 0 1 2 3 0( 0) ( ) 0,7.0,7.0,7 0,343B A A A P X P B      1B 10 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3B A A A A A A A A A   1( 1) ( ) 0,3.0,7.0,7 0,7.0,3.0,7 0,7.0,7.0,3 0, 441P X P B       2B 10 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3B A A A A A A A A A   2( 2) ( ) 0,3.0,3.0,7 0,7.0,3.0,3 0,3.0,7.0,3 0,189P X P B       3B 10 3 1 2 3 3( 3) ( ) 0,3.0,3.0,3 0,027B A A A P X P B      X 0 1 2 3 P 0343 0,441 0,189 0,027 8 7 4 X 4 X X X {0;1;2;3;4} X X X ( 0), ( 1), ( 2), ( 3), ( 4)P X P X P X P X P X     ( 0)P X  4 4 4 7 4 15 1 ( 0) 39 C P X C     ( 1)P X  4 1 3 8 7 4 15 8 ( 1) 39 C C P X C     2 2 3 1 4 8 7 8 7 8 4 4 4 15 15 15 28 56 2 ( 2) , ( 3) , ( 4) 65 195 39 C C C C C P X P X P X C C C          X X 0 1 2 3 4 P 1 39 8 39 28 65 56 195 2 39 F A X Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 3 . a) Hãy lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên . b) Tính xác suất để trong gia đình có không quá ba xe máy. Hướng dẫn và đáp số: a) Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên : 3. Chọn ngẫu nhiên 3 đứa trẻ từ một nhóm gồm 6 bé trai và 4 bé gái. Gọi X là số bé gái trong nhóm. Lập bảng phân bố xác suất của X. Hướng dẫn và đáp số: X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3 ta có:   3 6 3 10 5 0 30 C P X C    ;   1 2 4 6 3 10 15 1 30 C C P X C    ;   2 1 4 6 3 10 9 2 30 C C P X C    ;   3 4 3 10 1 3 30 C P X C    . Vậy bảng phân bố xác suất của X là: X 0 1 2 3 P 5 30 15 30 9 30 1 30 Bài toán 2: Tìm kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên. Phương pháp:    1 n i i i E X x p   .      2 1 n i i i V X x p    với  .E X     2 2 1 n i i i V X x p     .     .X V X  Ví dụ 1: Xác suất bắn trúng vòng của xạ thủ Bình là . Bình bắn ba lần. Gọi là số lần trúng vòng trong ba lần bắn. a) Lập bảng phân bố xác suất của . b) Tính và . {0;1;2;3;4}, ( 0) 0,1; ( 1) 0,4; ( 2) 0,3; ( 3) 0,1X P X P X P X P X         ; ( 4) 0,1P X   X F X X 0 1 2 3 4 P 0,1 0,4 0,3 0,1 0,1 10 0,3 X 10 X ( )E X ( )V X Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 4 Giải a) Gọi là biến cố “Lần bắn thứ bắn trúng vòng ”  Gọi là biến cố “Không có lần bắn trúng vòng ”. Ta có: .  Gọi là biến cố “Có đúng một lần bắn trúng vòng ”. Ta có: .  Gọi là biến cố “Có đúng hai lần bắn trúng vòng ”. Ta có: .  Gọi là biến cố “Có đúng ba lần bắn trúng vòng ”. Ta có . Ta có bảng phân bố xác suất như sau: b) . . Ví dụ 2: Một hộp đựng 10 tấm thẻ, trong đó có 4 thẻ ghi số 1, ba thẻ ghi số 2, hai thẻ ghi số 3 và một thẻ gi số 4. Chọn ngẫu nhiên hai tấm thẻ rồi cộng hai số trên hai tấm thẻ với nhau. Gọi X là kết quả thu được. a) Lập bảng phân bố xác suất của X ; b) Tìm kì vọng và phương sai của X. Giải a) Ta có bảng phân bố xác suất của X là: X 2 3 4 5 6 7 P 6 45 12 45 11 45 10 45 4 45 2 45 kA k 10 ( 1;2;3).k  0B 10 0 1 2 3 0( 0) ( ) 0,7.0,7.0,7 0,343B A A A P X P B      1B 10 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3B A A A A A A A A A   1( 1) ( ) 0,3.0,7.0,7 0,7.0,3.0,7 0,7.0,7.0,3 0, 441P X P B       2B 10 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3B A A A A A A A A A   2( 2) ( ) 0,3.0,3.0,7 0,7.0,3.0,3 0,3.0,7.0,3 0,189P X P B       3B 10 3 1 2 3 3( 3) ( ) 0,3.0,3.0,3 0,027B A A A P X P B      X 0 1 2 3 P 0343 0,441 0,189 0,027   0.0,343 1.0,441 2.0,189 3.0,027 0,9E X                2 2 2 2 0 0,9 .0,343 1 0,9 .0,441 2 0,9 .0,189 3 0,9 .0,027 0,63V X          Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 5   6 12 11 10 4 2 2. 3. 4. 5. 6. 7. 4 45 45 45 45 45 45 E X        ;   2 2 2 2 2 2 2 6 12 11 10 4 2 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 4 1,78. 45 45 45 45 45 45 V X         Bài tập 1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân bố xác suất như sau: Tính . Hướng dẫn và đáp số: . 2. Nhà toán học Pearson đã làm thí nghiệm gieo đồng tiên ngẫu nhiên lần và đếm được số lần xuất hiện mặt ngửa là lần. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố mặt ngửa xuất hiện trong thí nghiệm trên. Hướng dẫn và đáp số: . 3. Một nhà toán học lì xì tiền cho một học sinh như sau. Cho học sinh đó gieo một con súc sắc, lấy số chấm xuất hiện nhân với đồng thì được số tiền mà ông ta sẽ lì xì cho học sinh đó. a) Hãy lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên . b) Tính xác suất để học sinh đó nhận được không quá đồng. c) Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên . Hướng dẫn và đáp số: a) Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên : b) Xác suất để học sinh đó nhận được không quá đồng là . c) . 4. Số lon nước ngọt mà một du khách mua tại một máy bán tự động là một biến ngẫu nhiên có bảng phân bố xác suất như sau: X X 1 2 3 4 5 6 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 ( ), ( ), ( )E X V X X ( ) 3,5; ( ) 2,917; ( ) 1,708E X V X X   24000 11988 0,4995p  10.000 X X 50.000 X X X 10000 20000 30000 40000 50000 60000 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 50.000 5 ( 5) 6 P x   ( ) 35000; ( ) 291666666,7; ( ) 17078,251E X V X X   X Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com . Mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. 6 a) Tính xác suất để . b) Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc . Hướng dẫn và đáp số: a) . b) . X 0 1 2 3 4 5 6 P 0,1 0,3 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 3X  X ( 3) 0,1 0,3 0,2 0,1 0,7P X       ( ) 2,5; ( ) 3,45; ( ) 1,857E X V X X  