Bài giảng số 4: các bài toán về góc

Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng độc quyền bởi Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Bài giảng số 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM  Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a , b là góc giữa hai đường thẳng a , b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b . Chú ý: a. Để xác định góc  ,a b ta có thể lấy điểm O nằm ngay trên một trong hai đường thẳng đó. b. Nếu u  , v  theo thứ tự là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng a , b và  ,u v    thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng  hoặc 0180  tùy theo 090  hoặc 090  .  Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P là góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a của nó trên  P , kí hiệu là   ,a P hay   ,P a . Đặc biệt: o Khi a thuộc  P hoặc a song song với  P thì    0, 0a P  . o Khi a vuông góc với  P thì    0, 90a P  . Như vậy, ta luôn có   0 00 , 90a P  .  Góc giữa hai mặt phẳng Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Đặc biệt: Khi  P và  Q trùng nhau hoặc song song với nhau thì   0, 0a b  . Nhận xét: Với hai mặt phẳng  P và  Q cắt nhau theo giao tuyến  d , để tính góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng  R vuông góc với  d lần lượt cắt  P và  Q theo các giao tuyến a và b . Lúc đó góc giữa  P và  Q bằng góc giữa hai đường thẳng a và b . O a b b' a' a' a O P b a P Q Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng độc quyền bởi Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang B. CÁC VÍ DỤ MẪU  Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp: Để tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b , ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Tìm góc bằng việc lấy một điểm O nào đó (thông thường O a hoặc O b ). Qua O dựng a , b theo thứ tự song song với a và b . Khi đó góc giữa a và b là góc giữa a và b . + Bước 2: Tính góc. Sử dụng tỷ số lượng giác của góc trong tam giác vuông hoặc dùng định lý hàm số cos in trong tam giác thường để xác định số đo góc giữa a và b . Cách 2: Ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Tìm hai vectơ u  , v  theo thứ tự là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng a , b . + Bước 2: Tính số đo của  ,u v    sử dụng tích vô hướng. + Bước 3: Khi đó, góc giữa hai đường thẳng a và b bằng  hoặc 0180  tùy theo 090  hoặc 090  . Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , AD . a) Hãy tính cosin của góc giữa AB và DM , biết ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng a . b) Hãy tính góc giữa AB và CD , biết 2AB CD a  và 3MN a . Giải: a) Gọi E là trung điểm của AC , ta có: EM AB và 2 aEM  . Do đó    , ,AB DM MD ME . Xét DEM , ta có: 3 2 aDM DE  , áp dụng định lý hàm số cosin:  2 2 2 1 3cos 2 . 62 3 DM EM DEDME DM EM      . Vậy ta được   3cos , 6 AB DM  . b) Gọi O là trung điểm của BD , ta có: ON AB và ON a , OM CD và OM a . Do đó    , ,AB CD OM ON . Gọi I là trung điểm MN , trong IME vuông tại I , ta có:  3sin 2 IMMOI OM    060MOI    02 120MON MOI     0 0 0, 180 120 60OM ON    . Vậy   0, 60AB CD  . B C A D N M O I E Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng độc quyền bởi Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Ví dụ 2: Cho hình chóp .S ABC có SA SB SC AB AC a     và 2BC a . Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB . Giải: Cách 1: Gọi M , N , P theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , AC . Khi đó, ta nhận thấy: MP SC MN AB          , ,SC AB MP MN  . Trong MNP , ta có:  2 2 2 cos 2 . MN MP NPNMP MN MP    . Ta lần lượt có: 1 2 2 aMN AB  (vì MN là đường trung bình), 1 2 2 aMP SC  (vì MP là đường trung bình). Trong SBP , theo định lý đường trung tuyến ta có: 2 2 2 22 2 SBPB PS NP   . Nhận xét rằng: - Vì ABC vuông tại A  2 2 2óc AB AC BC  nên: 2 2 2 2 2 2 5 4 4 a aPB AB AP a     . - Vì SAC đểu  óc SA SC AC a   nên 3 2 aPS  . Do đó 3 2 aNP   1cos 2 NMP    0120NMP  . Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 0 0 0180 120 60  . Cách 2: Ta đi tính góc giữa hai vectơ SC  và AB  , ta có:     .. . .cos , . .. SA AC ABSC AB SA AB AB ABSC AB SC AB SC ABSC AB                 . Trong đó: - Vì SAB đều  óc SA SB AB a   nên:   2 0 0. . .cos 180 . .cos120 2 aSA AB SA AB SAB a a       . - Vì ABC vuông tại A  2 2 2óc AB AC BC  nên . 0AC AB    . Từ đó ta được:   2 2 0 12cos , 2 a SC AB a          0, 120SC AB    . Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 0 0 0180 120 60  . Cách 3: Ta đi tính góc giữa hai vectơ SC  và AB  , ta có: B C A S M N P Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng độc quyền bởi Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang     .. . .cos , . .. SC SB SASC AB SC SB SC SASC AB SC AB SC ABSC AB                 . Trong đó: - Vì SBC vuông tại S  2 2 2óc SB SC BC  nên . 0SC SB    . - Vì SAC đểu  óc SA SC AC a   nên  2 0. . .cos . .cos 60 2 aSC SA SC SA ASC a a     . Từ đó ta được:   2 2 0 12cos , 2 a SC AB a         0, 120SC AB    . Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 0 0 0180 120 60  . Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm M , N lần lượt thuộc các đường thẳng BC và AD sao cho MB kMC   và NA k ND   với k là số thực khác 0 cho trước. Đặt  là góc giữa hai vectơ MN  và BA  ,  là góc giữa hai vectơ MN  và CD  . Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để 045   . Giải: Kẻ MP AB , ta có: PA MB MB NA NAk PC MC NDMC ND             PN CD  Suy ra     , ,MN BA MN MP NMP        ,     , ,MN CD MN PN MNP        . Trong MNP , ta có: 045    090 PM PN MPN     . - Ta có: .PM CP CPPM AB AB CA CA    , .PN AP APPN CD CD CA CA    . Với điều kiện PM PN , suy ra: . .CP APAB CD CA CA  AB PA MB MB k CD PC MC MC          AB k CD  . - Với điều kiện  090MPN  , ta có ngay AB CD . Vậy với AB CD và AB k CD thỏa mãn điều kiện đề bài.  Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp: Để tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P , ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Tìm giao điểm O của a với  P . D B C A P N M a' a O P H A Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng độc quyền bởi Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang + Bước 2: Chọn điểm A a và dựng  AH P , với  H P . Khi đó    ,AOH a P . + Bước 3: Tính số đo của AOH dựa trên các hệ thức lượng giác. Ví dụ 4: Cho hình tứ diện ABCD có AB , BC , CD đôi một vuông góc và AB a , BC b , CD c . a) Tính độ dài AD . b) Chỉ ra điểm cách đều A , B , C , D . c) Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng  BCD , góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng  ABC . Giải: a) Ta có:   CD AB CD ABC CD AC CD BC       ACD vuông tại C 2 2 2 2 2 2 2 2 2AD AC CD AB BC CD a b c         2 2 2AD a b c    . b) Gọi O là trung điểm của AD . Vì ACD vuông tại C nên OA OC OD   . Ta có: CD AB BC AB     AB BCD  AB BD  ABD vuông tại B OA OB OD   . Vậy điểm O cách đều A , B , C , D . c) Ta lần lượt có: - Với góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng  BCD , ta có:  AB BCD    ,AD BCD ADB  . Trong ABD , ta có:  2 2 2 sin AB aADB AD a b c     . - Với góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng  ABC , ta có:  CD ABC    ,AD ABC DAC  . Trong ACD , ta có:  2 2 2 sin CD cDAC AD a b c     . Ví dụ 5: Cho hình chóp .S ABC , đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC a , 3 2 aSA SB SC   . a) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng  ABC . b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC . Giải: a) Gọi O là trung điểm của BC , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . D C B A O B A C S O Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng độc quyền bởi Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Ngoài ra, theo giả thiết ta có SA SB SC  nên SO là trục đường tròn của ABC , suy ra  SO ABC và   ,SO d S ABC . Trong SAO vuông tại O , ta có: 1 2 2 aOA BC  (trung tuyến thuộc cạnh huyền) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 a a aSO SA OA                2 2 aSO  . b) Vì  SO ABC nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên  ABC , do đó    ,SA ABC SAO . Trong SAO vuông tại O , ta có:  32cos 33 2 a OASAO SA a    . Vậy ta được    3cos , 3 SA ABC  . Ví dụ 6: Một tứ diện được gọi là gần đều nếu các cạnh đối bằng nhau từng đôi một. Với tứ diện ABCD , chứng tỏ các tính chất sau là tương đương: a) Tứ diện ABCD là gần đều. b) Các đoạn thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối diện đôi một vuông góc với nhau. c) Các trọng tuyến (đoạn nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện) bằng nhau. d) Tổng các góc tại mỗi đỉnh bằng 0180 . Giải: Gọi I , J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . a) Chứng minh  a và  b tương đương. Từ giả thiết AC BD , AD BC suy ra: ABC BAD IC ID IJ CD      ACD BDC JA JB IJ AB      Vậy IJ chính là đoạn vuông góc chung của AB và CD . Điều ngược lại vẫn đúng. b) Chứng minh  a và  c tương đương. Từ giả thiết AC BD , AD BC suy ra:   1 1. .ACD BDC c c c JA JB JA JB       1 1 1 1. .AA J BB J c g c AA BB     . Điều ngược lại vẫn đúng. C D B A I J C D B A I J B A 1 1 Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng độc quyền bởi Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang c) Chứng minh  a và  d tương đương. Từ giả thiết AC BD , AD BC , AB CD suy ra: ABC CDA BAD DCB      Suy ra:  BAC CDB ,  CAD DBC ,  DAB BCD       0180BAC CAD DAB CDB DBC BCD       . Điều ngược lại vẫn đúng, bởi ta trải các mặt ABC , ACD , ADB lên mặt phẳng  BCD ta được hình khai triển của tứ diện ABCD nhận BC , CD , DB là ba đường trung bình của tam giác đó. Từ đó, suy ra AC BD , AD BC , AB CD .  Góc giữa hai mặt phẳng Phương pháp: Để tính góc giữa hai mặt phẳng  P và  Q , ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Sử dụng định nghĩa, ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Chọn điểm O , từ đó hạ OE , OF theo thứ tự vuông góc với  P và  Q . + Bước 2: Tính số đo góc EOF . + Bước 3: Khi đó,      ,P Q EOF nếu  090EOF  và      0, 180P Q EOF  nếu  090EOF  . Cách 2: Ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Tìm giao tuyến  d của  P và  Q . + Bước 2: Chọn điểm O trên  d , từ đó dựng  Ox d trong  P , và  Oy d trong  Q . + Bước 3: Tính số đo của góc xOy . + Bước 4: Khi đó,      ,P Q xOy nếu  090xOy  và      0, 180P Q xOy  nếu  090xOy  . C D B A P Q O F E Q d P x y O Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng độc quyền bởi Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Ví dụ 7: Cho ABC vuông tại A có cạnh huyền BC thuộc mặt phẳng  P . Gọi  ,  là góc hợp bởi hai đường thẳng AB , AC với  P . Gọi  là góc hợp bởi  ABC với  P . Chứng minh rằng: 2 2 2sin sin sin    . Giải: Kẻ  AH P , ta được: ABH  , ACH  . Kẻ HI BC trong  P , suy ra BC AI (theo định lý ba đường vuông góc) AHI   . Trong ABC vuông tại A , ta có: 2 2 2 1 1 1 IA AB AC   2 2 2 2 2 2 AH AH AH IA AB AC    2 2 2sin sin sin     . Ví dụ 8: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính 2AB a , 3SA a và vuông góc với mặt phẳng  ABCD . a) Tính góc giữa hai mặt phẳng  SAD và  SBC . b) Tính góc giữa hai mặt phẳng  SBC và  SCD . Giải: a) Ta có thể lựa chọn theo một trong hai cách trình bày sau: Cách 1: Dựng góc dựa trên giao tuyến. Giả sử AD BC E     SAD SBC SE   . Nhận xét rằng: AD BD vì ABCD là nửa lục giác đều, SA BD Suy ra  BD SAD BD SE  . Hạ DF SE F  , suy ra  BDF SE . Như vậy, ta được một góc phẳng giữa hai mặt phẳng  SAD và  SBC là BFD . Vì ABE đều nên 2AE AB a  và vì CDE đều nên DE CD a  . Trong SAE vuông tại A , ta có:    2 22 2 2 23 2 7SE SA AE a a a     7SE a  . Hai tam giác vuông SAE và DEF có chung góc E nên chúng đồng dạng, suy ra: DF DE SA SE  . 3. 21 77 SA DE a a aDF SE a     . C B H A I   B E A S D C F O Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng độc quyền bởi Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Trong ABD vuông tại A , ta có:  0.sin 2 .cos60 3BD AB BAD a a   . Trong BDF vuông tại D , ta có:  3tan 7 21 7 BD aBFD DE a    BFD nhọn. Vậy ta được     tan , 7SAD SBC  . Cách 2: Nhận xét rằng: AD BD vì ABCD là nửa lục giác đều, SA BD Suy ra  BD SAD . Trong  SAC , hạ AJ SC tại J , ta có: BC AC vì ABCD là nửa lục giác đều, BC SA Suy ra  BC SAC BC AJ   AJ SBC  . Trong  SAC hạ OK SC tại K , suy ra OK AJ . Do đó          , , ,SAD SBC BD AJ BD OK KOB   . Trong nửa lục giác đều ABCD , ta có: 2 3 3. 3 2 3 a aOC   , 3 1 3 2 3. 2 3 2 3 a a aOB    . Trong SAC vuông tại A , ta có:      22 2 2 2 2 2 2 2 23 4 6SC SA AC SA AB BC a a a a         6SC a  . Hai tam giác vuông SAC và OKC có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng, suy ra: OK OC SA SC  33.. 63 66 aaSA OC aOK SC a     . Trong KOB vuông tại K , ta có:  6 26cos 42 3 3 a OKKOB OB a    . Vậy ta được      2cos , 4 SAD SBC  . b) Trong  SAC , hạ AJ SC tại J , ta có: BC AC vì ABCD là nửa lục giác đều, BC SA Suy ra  BC SAC BC AJ   AJ SBC  . BA S D C K O J BA S D C O J H I Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng độc quyền bởi Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Hạ AH CD tại H , suy ra: CD AH CD SA     CD SAH     SCD SAH  và    SCD SAH SH  . Hạ AI SH tại I , suy ra  AI SCD . Do đó      ,SCD SBC IAJ . Trong SAH vuông tại A , ta có: 3 2 aAH  và  2 22 2 2 2 1 1 1 1 1 5 333 2 AI SA AH aaa            15 5 aAI  . Trong SAC vuông tại A , ta có: 3AC SA a  1 2 6 2 2 2 SA aAJ SC    . Trong AIJ vuông tại I , ta có:  15 105cos 56 2 a AIIAJ AJ a    . Vậy ta được      10cos , 5 SCD SBC  . Ví dụ 9: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,  SA ABCD . Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên hai cạnh CB và CD , đặt CM x , CN y . Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để: a) Hai mặt phẳng  SAM và  SAN tạo với nhau góc 045 . b) Hai mặt phẳng  SAM và  SAN vuông góc với nhau. Giải: Ta có ngay:     AM SA AN SA SAM SAN SA             ,SAM SAN MAN  . Trong AMN , ta có:  22 2 2 2 22AM AB BM a a x ax x       ,  22 2 2 2 22AN AD DN a a y ay y       , 2 2 2 2 2MN CM CN x y    ,         2 22 2 2 2 2 cos 2 . 2 2 a x y x yAM AN MNMAN AM AN ax x ay y         . D C A B S N M Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng độc quyền bởi Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang a) Để  SAM và  SAN tạo với nhau góc 045 điều kiện là:        2 2 2 2 2 22 2 a x y x y a ax x ay y        22 2a a x y xy    . b) Để  SAM và  SAN vuông góc với nhau điều kiện là:        2 2 2 2 0 2 2 a x y x y ax x ay y         2 2a x y x y    . C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AD = 3a ; SA đáy và SA =a. Tính các góc: a. (SB; (SAB) ĐS: 450 b. (SD; (SAB) ĐS: 600 c. ((SCD), (ABCD)) ĐS: 300 Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA  (ABCD) và SA = a 3 . Tính số đo của các nhị diện su: a)  C,AB,S ĐS: 900 b)  A,BD,S ĐS: arctan 6 c)  SCD,SAB ĐS: 300 Bài 3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo thành bởi hai cạnh bên và mặt đáy bằng 600 và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm cạnh B’C’ a) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy. ĐS: 2 a3 b)Tính tang của góc giữa hai đường thẳng BC và AC’. ĐS: 3tg  c. Tính tang của góc giữa mặt phẳng (ABB’A’) và mặt đáy. ĐS: 32tg  Bài 4: Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC nằm trên mặt phẳng (P). Gọi , lần lượt là góc hợp bởi hai đường thẳng AB, AC và mặt phẳng (P). Gọi  là góc hợp bởi (ABC) và (P).Chứng minh rằng:  222 sinsinsin . Bài 5: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Đặt OA = a, OB = b, OC = c. Gọi  ,, lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC), mặt phẳng (OCA), mặt phẳng (OAB) vói mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: cos2 + cos2 + cos2 =1 Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng độc quyền bởi Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Bài 6: Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. a. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy. b. Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy. Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AD = 3a ; SA đáy và SA =a. Tính các góc: a) (SB; (SAB) b) (SD; (SAB) c) ((SCD), (ABCD)) Bài 8: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 600 và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’. a. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy b. Tính góc giữa BC và AC’ c. Tính góc giữa (ABB’A’) và mặt đáy. Bài 9: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; các cạnh bên bằng 3 2 a . Gọi (P) là mặt phẳng qua A, song song với BC và vuông góc với mặt phẳng (SBC). I là trung điểm của BC. a. Xác định thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp. b. Tính khoảng cách từ I đến (P). c. Tính sin của góc tạo bởi AB và (P). Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2a; BC = a. Trên hai tia Ax và Cy vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cùng phía đối với (ABC), lần lượt lấy hai điểm A’ và C’ sao cho AA’ = 2a, CC’ = x. a. Xác định x sao cho góc A’BC’ = 900. b. Xác định x sao cho góc BA’C’ = 900. c. Cho x = 4a, tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC’). Bài 11: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 600, cách cạnh SA, SB và SD bằng 3 2 a . a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài SC. b. Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) và SB vuông góc với BC. c. Tính góc giữa (SBD) và (ABCD). Bài 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Gọi E, F và M lần lượt là trung điểm của AD, AB và CC’. a. Dựng thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng (EFM). b. Tính góc tạo bởi (ABCD) và (EFM). c. Tính diện tích thiết diện ở câu a. Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng độc quyền bởi Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Bài 13: Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC nằm trên mặt phẳng (P). Gọi , lần lượt là góc hợp bởi hai đường thẳng AB, AC và mặt phẳng (P). Gọi  là góc hợp bởi (ABC) và (P).Chứng minh rằng:  222 sinsinsin . Bài 14: Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. Trên hai tia Bx và Dy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và cùng chiều lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho: BM.DN= 2 2 a . Đặt góc BOM =  , góc DON =  a) Chứng minh tg . tg = 1. Kết luận được gì về hai góc và  ? b) Chứng minh mp(ACM) vuông góc với mp (CAN) c) Gọi H là hình chiếu của O trên MN. Tính OH. Từ đó chứng minh rằng AH vuông góc với HC và mp (AMN) vuông góc với mp (CMN).