Bài giảng qua mạng Đại số và giải tích 11 §1 Các hàm số lượng giác

Bản quyền thuộc Nhúm Cự Mụn của Lờ Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều cỏc em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu - Nhúm Cự Mụn luụn cố gắng thực hiện điều này. Một điểm tựa để trả lời cỏc thắc mắc - Đăng kớ “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC Đ1 Cỏc hàm số lượng giỏc F Cỏc em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương phỏp tự học tập hiệu quả” Học Toỏn theo nhúm (từ 1 đến 6 học sinh) cỏc lớp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dạy: Lấ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 - Ngừ 86 - Đường Tụ Ngọc Võn - Hà Nội Phụ huynh đăng kớ học cho con liờn hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trỡnh chuẩn Đọc lần 1 chậm và kĩ cú thể bỏ quả nội dung cỏc HOẠT ĐỘNG Đỏnh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần 2 toàn bộ: Ghi nhớ bước đầu cỏc định nghĩa, định lớ. Định hướng thực hiện cỏc hoạt động Đỏnh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy vở ghi tờn bài học rồi thực hiện cú thứ tự: Đọc - Hiểu - Ghi nhớ cỏc định nghĩa, định lớ Chộp lại cỏc chỳ ý, nhận xột Thực hiện cỏc hoạt động vào vở Thực hiện bài tập lần 1 Viết thu hoạch sỏng tạo Phần: Bài giảng nõng cao Đọc lần 1 chậm và kĩ Đỏnh dấu nội dung chưa hiểu Lấy vở ghi tờn bài học rồi thực hiện cỏc vớ dụ Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với cõu hỏi “Vỡ sao họ lại nghĩ được cỏch giải như vậy” Thực hiện bài tập lần 2 Viết thu hoạch sỏng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trỡnh “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng em hóy viết yờu cầu theo mẫu: Nụi dung chưa hiểu Hoạt động chưa làm được Bài tập lần 1 chưa làm được Bài tập lần 2 chưa làm được Thảo luận xõy dựng bài giảng gửi về Nhúm Cự Mụn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận được giải đỏp. Chương I - hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương này sẽ cung cấp những kiến thức cơ bản về các hàm số lượng giác và cách giải các phương trình lượng giác đơn giản. Sau khi học chương này, các em học sinh cần: Nắm vững tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác và phương pháp sử dụng đường tròn lượng giác để tìm nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản. Rèn luyện kĩ năng biến đổi lượng giác và kĩ năng giải các phương trình lượng giác được quy định trong chương trình. Chương này gồm ba bài học: 1. Các hàm số lượng giác. 2. Phương trình lượng giác cơ bản. 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản. Đ1 các hàm số lượng giác bài giảng theo chương trình chuẩn Hàm tuần hoàn Hàm số f(x) xác định trên tập hợp D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số dương T sao cho với mọi x ẻ D ta có: x - T ẻ D và x + T ẻ D (1) f(x + T) = f(x) (2) Số nhỏ nhất (nếu có) trong các số T có các tính chất trên gọi là chu kì cơ sở của hàm tuần hoàn f(x). F Chú ý: (Các đấu hiệu để biết hàm số f(x) không phải là hàm tuần hoàn): Hàm số f(x) không phải là hàm tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau bị vi phạm: Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn. Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với x > a hoặc x < a. Phương trình f(x) = k có nghiệm nhưng số nghiệm hữu hạn. Phương trình f(x) = k có vô số nghiệm sắp thứ tự ..< xn < xn + 1 <.. mà |xn - xn + 1| đ 0 hay Ơ. Hoạt động Hãy cho ví dụ về một hàm số không tuần hoàn. Hướng dẫn: Hãy lựa chọn bốn hàm số vi phạm một trong bốn điều kiện trên. hàm số lượng giác biến số thực Hàm số y = sinx Ta có: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ trên R. Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2p. Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = sinx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [0, p], sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc O, ta được đồ thị trên đoạn [-p, p], cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài 2p, 4p,... Hoạt động Nhắc lại định nghĩa về hàm số lẻ. Chứng minh rằng "Hàm số y = sinx là hàm số lẻ trên R". Xét hàm số y = sinx trên [0, p]. Chiều biến thiên: Dựa vào đường tròn lượng giác ta được: x 0 p/2 p x -p -p/2 0 p/2 p y 0 1 0 y 0 -1 0 1 0 Đồ thị: x y O p -p -3p 3p -2p 2p 1 p/2 -1 -p/2 Từ đây, ta có nhận xét quan trọng là ẵsinxẵ Ê 1 với mọi x. Hoạt động Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = sinx trên đoạn [0, 2p]. Hàm số y = cosx Ta có: Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên R. Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2p. Do đó. muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [0, p], sau đó lấy đối xứng đồ thị qua trục Oy, ta được đồ thị trên đoạn [-p, p], cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài 2p, 4p,... Hoạt động Nhắc lại định nghĩa về hàm số chẵn. Chứng minh rằng "Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên R". Xét hàm số y = cosx trên [0, p]. Chiều biến thiên: Dựa vào đường tròn lượng giác ta được: x 0 p/2 p x -p -p/2 0 p/2 p y x O p -p -3p 3p -2p 2p 1 p/2 -1 -p/2 y 1 0 -1 y -1 0 1 0 -1 Đồ thị: Từ đây ta có nhận xét quan trọng là ẵcosxẵ Ê 1 với mọi x. Hoạt động Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = cosx trên đoạn [0, 2p]. Hàm số y = tanx Ta có: Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên R\{ + kp, k ẻ Z}. Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì p. Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [0, ), sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc O, ta được đồ thị trên đoạn (-, ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài p, 2p,... Hoạt động Chứng minh rằng "Hàm số y = tanx là hàm số lẻ". Chứng minh rằng "Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì p". Xét hàm số y = tanx trên [0, ). Chiều biến thiên: Dựa vào đường tròn lượng giác ta được: x 0 p/2 x -p/2 0 p/2 y 0 +Ơ y -Ơ 0 +Ơ x y O p -p -3p/2 p/2 -p/2 3p/2 Đồ thị: F Chú ý: Trong hệ trục toạ độ Oxy các đường thẳng có phương trình x = + kp, k ẻ Z được gọi là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = tanx. Hoạt động Tại sao có thể khẳng định hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng (- + kp, + kp), k ẻ Z. Hàm số y = cotx Ta có: Hàm số y = cotx là hàm số lẻ trên R\{kp, k ẻ Z}. Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì p. Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = cotx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn (0, ], sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc O, ta được đồ thị trên đoạn [-, ], cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài p, 2p,... Hoạt động Chứng minh rằng "Hàm số y = cotx là hàm số lẻ". Chứng minh rằng "Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì p". Xét hàm số y = cotx trên (0, ]. Chiều biến thiên: Dựa vào đường tròn lượng giác ta được: x 0 p/2 x -p/2 0 p/2 y +Ơ x y O p -p -3p/2 p/2 -p/2 3p/2 0 y 0 +Ơ -Ơ 0 Đồ thị: F Chú ý: Trong hệ trục toạ độ Oxy các đường thẳng có phương trình x = kp, k ẻ Z được gọi là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = cotx. Hoạt động Tại sao có thể khẳng định hàm số y = cotx đồng biến trên mỗi khoảng (kp, p + kp), k ẻ Z. bài tập lần 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau: y = cot(3x - ). (Bài 1d/tr 14 - Sgk): y = tan(2x + ). Tìm tập xác định của các hàm số sau: y = . b. y = . Tìm tập xác định của các hàm số sau: (Bài 1.a/tr 14 - Sgk): y = . y = . y = . Xét tính chất chẵn - lẻ của các hàm số sau: a. y = -2sinx. b. y = 3sinx - 2. Xét tính chất chẵn - lẻ của các hàm số sau: a. y = sinx - cosx. b. y = sinx.cos2x + tanx. Xét tính chất chẵn - lẻ của các hàm số sau: y = cos (x - ). b. y = tan. Xét tính chất chẵn - lẻ của các hàm số sau: y = |x|.sinx. b. y = , với n ẻ Z. Chứng minh rằng mỗi hàm số đều tuần hoàn với chu kì p: a. y = sinx.cosx. b. y = sinx.cosx + cos2x. Cho hàm số y = f(x) = A.sin(wx + a), (A, w và a là các hằng số; A và w khác 0). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, ta có f(x + k.) = f(x) với mọi x. Hãy xem những hàm số nào trong các hàm số cho dưới đây là hàm tuần hoàn và xác định chu kì nhỏ nhất (nếu có) của chúng: a. y = tan(3x - ). b. y = 2cos2(2x + ). Hãy xem những hàm số nào trong các hàm số cho dưới đây là hàm tuần hoàn và xác định chu kỳ nhỏ nhất (nếu có) của chúng: a. y = = cosx + cos(x). b. y = sin(x2). Cho các hàm số f(x) = sinx, g(x) = cosx, h(x) = tanx và các khoảng: J1 = (p ; ), J2 = (-; ), J3 = (; ), J4 = (-; -). Hỏi hàm số nào trong ba hàm số đó đồng biến trên khoảng J1 ? Trên khoảng J2 ? Trên khoảng J3 ? Trên khoảng J4 ? (Trả lời bằng cách lập bảng). Cho hàm số y = f(x) = 2sin2x. Chứng minh rằng với k nguyên tuỳ ý luôn có f(x + kp) = f(x) với mọi x. Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin2x trên đoạn [-; ]. Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin2x. Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình y = với đồ thị của hàm số y = sinx đều cách gốc toạ độ một khoảng nhỏ hơn . Từ đồ thị của hàm số y = sinx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó: a. y = -sinx. b. y = . c. y = sin. Xét hàm số y = f(x) = cos. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, f(x + k4p) = f(x) với mọi x. Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-2p; 2p]. Vẽ đồ thị của hàm số. Tìm mối liên quan giữa đồ thị của hàm số y = f(x) với đồ thị của hàm số y = cosx. Từ đồ thị của hàm số y = cosx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó: y = cosx + 2; y = cos(x - ). Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không ? bài giảng nâng cao A. Tóm tắt lí thuyết B. phương pháp giải Các dạng toán thường gặp Tập xác định của hàm số lượng giác. Phương pháp thực hiện Muốn tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau: Phương pháp 1. Tìm tập D của x để f(x) có nghĩa, tức là tìm: D = {x ẻ R | f(x) có nghĩa}. Phương pháp 2. Tìm tập E của x để f(x) không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là: D = R\E. F Chú ý: Với các hàm số lượng giác chúng ta cần biết thêm: Hàm số y = sinx xác định trên R và ẵsinxẵ Ê 1 với mọi x. Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2p và nó là hàm số lẻ nên nếu có sinx = sina Û x = a + 2kp hoặc x = p - a + 2kp, k ẻ Z. sinx = 0 Û x = kp, k ẻ Z. sinx = 1 Û x = + 2kp, k ẻ Z; sinx = -1 Û x = - + 2kp, k ẻ Z. Hàm số y = cosx xác định trên R và ẵcosxẵ Ê 1 với mọi x. Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2p và nó là hàm số chẵn nên nếu có: cosx = cosa Û x = a + 2kp hoặc x = -a + 2kp, k ẻ Z. cosx = 0 Û x = + kp. cosx = 1 Û x = 2kp, k ẻ Z; cosx = -1 Û x = p + 2kp, k ẻ Z. Hàm số y = tanx xác định trên R\{ + kp, k ẻ Z }. Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì p nên nếu có: tanx = tana Û x = a + kp, k ẻ Z. Hàm số y = cotx xác định trên R\{kp, k ẻ Z }. Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì p nên nếu có: cotx = cota Û x = a + kp, k ẻ Z. Tìm tập xác định của các hàm số sau: y = . y = . y = . G Hướng dẫn: Thiết lập biểu thức về điều kiện có nghĩa cho hàm số dưới dấu căn. ? Giải Điều kiện: 2 - cosx ³ 0. Vì ẵcosxẵ Ê 1 nên 2 - cosx ³ 0 với mọi x. Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R. Trước tiên, ta cần có x ạ + kp, k ẻ Z. Điều kiện: tan2x - 4tanx + 5 ³ 0 Û (tanx - 2)2 + 1 ³ 0, luôn đúng. Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R\{ + kp, k ẻ Z}. Điều kiện: 1 - cosx > 0 Û cosx < 1 Û cosx ạ 1 Û x ạ 2kp, k ẻ Z. Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R\{2kp, k ẻ Z}. Tìm tập xác định của các hàm số sau: y = tan(2x + ). y = cot(4x - ). G Hướng dẫn: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho hàm số tang và cotang. ? Giải Điều kiện: 2x + ạ + kp Û x ạ + k, k ẻ Z. Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R\{ + k, k ẻ Z}. Điều kiện: 4x - ạ kp Û x ạ + k, k ẻ Z. Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R\{ + k, k ẻ Z}. Tìm tập xác định của các hàm số sau: y = . y = . G Hướng dẫn: Sử dụng các phép biến đổi lượng giác để biến đổi biểu thức điều kiện về dạng tích. ? Giải Điều kiện: sinx.cosx - sinx - cosx + 1 ạ 0 Û (cosx - 1)sinx - (cosx - 1) ạ 0 Û (cosx - 1)(sinx - 1) ạ 0 Û Û , k ẻ Z. Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R\{2kp, + 2kp, k ẻ Z}. Điều kiện: sinx.cosx + 2sinx - cosx - 2 ³ 0 Û (cosx + 2)sinx - (cosx + 2) ³ 0 Û (cosx + 2)(sinx - 1) ³ 0 Û sinx - 1 ³ 0 Û sinx ³ 1 Û sinx = 1 Û x = + 2kp, k ẻ Z. Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = { + 2kp, k ẻ Z}. Xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác. Phương pháp thực hiện Để chứng minh hàm số y = f(x) tuần hoàn, ta thực hiện theo các bước: Xét hàm số y = f(x), tập xác định là D, ta cần dự đoán số thực dương T0 sao cho: Với mọi x ẻ D, ta có: x - T0 ẻ D và x + T0 ẻ D (1) f(x + T0) = f(x) (2) Vậy hàm số y = f(x) là tuần hoàn. Chứng minh rằng T0 là chu kì của hàm số, tức là chứng minh T0 là số nhỏ nhất (1), (2), ta thực hiện phép chứng minh bằng phản chứng theo các bước: Giả sử có số T sao cho 0 < T < T0 thoả mãn tính chất (2): "xẻD, f(x + T) = f(x) Û ... ị mâu thuẫn với giả thiết 0 < T < T0. Mâu thuẫn này chứng tỏ T0 là số dương nhỏ nhất thoả mãn (2). Vậy hàm số y = f(x) là tuần hoàn với chu kì cơ sở T0. Xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác, chúng ta sử dụng các kết quả: Hàm số y = sinx và y = cosx, tuần hoàn với chu kì 2p. Mở rộng: Hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) với a ạ 0 tuần hoàn với chu kì . Hàm số y = tanx và y = cotx, tuần hoàn với chu kì p. Mở rộng: Hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) với a ạ 0 tuần hoàn với chu kì . Cùng với kết quả của định lý: Định lí: Cho cặp hàm số f(x), g(x) tuần hoàn trên tập M có các chu kì lần lượt là a và b với ẻ Q. Khi đó, các hàm số: F(x) = f(x) + g(x), G(x) = f(x).g(x), cũng tuần hoàn trên M. Mở rộng: Hàm số F(x) = mf(x) + ng(x) tuần hoàn với chu kì T là bội số chung nhỏ nhất của a, b. Chứng minh rằng mỗi hàm số đều tuần hoàn với chu kì p: y = -sin2x. y = 3tan2x + 1. y = sinx.cosx. y = sinx.cosx + cos2x. G Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phương pháp giải toán. ? Giải Để chứng minh hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì p, ta đi chứng minh: f(x + kp) = f(x) với k ẻ Z , x thuộc tập xác định của hàm số. Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số cosin (cụ thể cos(a + 2kp) = cosa), ta có ngay: f(x + kp) = -sin2(x + kp) = -[1 - cos(2x + 2kp)] = -(1 - cos2x) = -sin2x = f(x) với mọi x. Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số tang (cụ thể tan(a + kp) = tana), ta có ngay: f(x + kp) = 3tan2(x + kp) + 1 = 3tan2x + 1 = f(x) với mọi x. Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số sin (cụ thể sin(a + 2kp) = sina), ta có ngay: f(x + kp) = sin(x + kp).cos(x + kp) = sin(2x + 2kp) = sin2x = sinx.cosx = f(x) với mọi x. Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số sin và hàm số cos, ta có ngay: f(x + kp) = sin(x + kp).cos(x + kp) + cos2(x + kp) = sin(2x + 2kp) + cos(2x + 2kp) = sin2x + cos2x = sinx.cosx + cos2x = f(x) với mọi x. F Nhận xét: Như vậy, để xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác chúng ta cần nhớ tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác cơ bản. Ngoài ra, các em học sinh cần linh hoạt sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa hàm số về dạng thuận đánh giá. Cho hàm số y = f(x) = A.sin(wx + a), (A, w và a là các hằng số; A và w khác 0). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, ta có: f(x + k.) = f(x) với mọi x. ? Giải Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số sin, ta có ngay: f(x + k.) = A.sin[w(x + k.) + a] = A.sin(wx + 2kp + a) = A.sin(wx + a) = f(x) với mọi x. Hãy xem những hàm số nào trong các hàm số cho dưới đây là hàm tuần hoàn và xác định chu kì nhỏ nhất (nếu có) của chúng: f(x) = tan(3x - ). f(x) = 2cos2(2x + ). G Hướng dẫn: Cần chú ý tới hệ số của góc. ? Giải Hàm số tuần hoàn với chu kì T = . Viết lại hàm số dưới dạng: f(x) = 2cos2(2x + ) = 1 + cos(4x + ). Do đó f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì = . F Chú ý: Rất nhiều học sinh khi thực hiện câu b) đã vội vàng đưa ra kết luận rằng "Hàm số tuần hoàn với chu kì T = p". Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác. Phương pháp thực hiện Ta thực hiện theo các bước sau: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó: Nếu D là tập đối xứng (tức là "x ẻ D ị -x ẻ D), ta thực hiện tiếp bước 2. Nếu D không phải là tập đối xứng (tức là $x ẻ D mà -x ẽ D), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ. Xác định f(-x) , khi đó: Nếu f(-x) = f(x) kết luận hàm số là hàm chẵn. Nếu f(-x) = -f(x) kết luận hàm số là hàm lẻ. Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ. F Chú ý: Với các hàm số lượng giác cơ bản, ta có: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ. Hàm số y = cosx là hàm số chẵn Hàm số y = tanx là hàm số lẻ. Hàm số y = cotx là hàm số lẻ. Xét tính chất chẵn - lẻ của các hàm số sau: y = sinx - cosx. y = sinx.cos2x + tanx. G Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phương pháp giải toán. ? Giải Hàm số xác định trên R là tập đối xứng. Ta có: f(-x) = sin(-x) - cos(-x) = -sinx - cosx ạ ±f(x). Vậy, hàm số y = sinx - cosx không lẻ, không chẵn. Hàm số xác định trên R\{ + kp, k ẻ Z} là tập đối xứng. Ta có: f(-x) = sin(-x).cos2(-x) + tan(-x) = -sinx.cos2x - tanx = -(sinx.cos2x + tanx) = -f(x). Vậy, hàm số y = sinx.cos2x + tanx là hàm số lẻ. F Nhận xét: Trong ví dụ trên: ở câu a), chúng ta có thể khẳng định được ngay đó là hàm số không chẵn, không lẻ bởi nó là hiệu của một hàm số lẻ với một hàm số chẵn. ở câu b), chúng ta có thể khẳng định được ngay đó là hàm số lẻ bởi nó là tổng của hai hàm số lẻ. Những nhận xét này sẽ giúp các em học sinh nhanh chóng đưa ra được đáp án đúng đối với các dạng câu hỏi trắc nghiệm. Xét tính chất chẵn - lẻ của các hàm số sau: y = sin (x - ). y = cot. y = tanx - sin2x. ? Giải Hàm số xác định trên R là tập đối xứng. Ta có: f(-x) = sin(-x - ) = -sin(x + ) ạ ±f(x). Vậy, hàm số sin(x - ) không lẻ, không chẵn. Hàm số xác định trên R\{kp, k ẻ Z} là tập đối xứng. Ta có: f(-x) = cotẵ-xẵ = cotẵxẵ = f(x). Vậy, hàm số y = cotẵxẵ là hàm số chẵn. Hàm số xác định trên R\{ + kp, k ẻ Z} là tập đối xứng. Ta có: f(-x) = tan(-x) - sin(-2x) = -tanx + sin2x = -(tanx - sin2x) = -f(x). Vậy, hàm số y = tanx - sin2x là hàm số lẻ. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lượng giác. Phương pháp thực hiện Với các hàm số lượng giác cơ bản, ta có: Hàm số y = sinx Đồng biến trên khoảng (- + 2kp, + 2kp) với k ẻ Z. Nghịch biến trên khoảng ( + 2kp, + 2kp) với k ẻ Z. Hàm số y = cosx Đồng biến trên khoảng (-p + 2kp, 2kp) với k ẻ Z. Nghịch biến trên khoảng (2kp, p + 2kp) với k ẻ Z. Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng (- + kp, + kp) với k ẻ Z. Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kp, p + kp) với k ẻ Z. Với các hàm số lượng giác phức hợp, để xét sự biến thiên của nó ta sử dụng định nghĩa. Các phép biến đổi đồ thị cơ bản được tổng kết theo sơ đồ sau: Đối xứng qua Oy Đối xứng qua Ox Đối xứng qua gốc O Đối xứng qua Oy Đối xứng qua Ox Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị Tịnh tiến theo vectơ (a, b) y=-f(x) y = f(x + a) y=-f(-x) y = f(x) y = f(x + a) + b y=f(- x) y = f(x) + b Với các hàm số chứa dấu trị tuyệt đối, ta có các kết quả: Từ đồ thị hàm số y = f(x): Đồ thị y = |f(x)| gồm: Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x). Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của y = f(x) qua trục hoành. Đồ thị y = f(|x|) gồm: Phần bên phải Oy của đồ thị y = f(x). Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy. Để suy ra đồ thị y = |f(|x|)| chúng ta thực hiện liên tiếp hai qui tắc, cụ thể có thể lựa chọn một trong hai lược đồ sau : Từ y = f(x) suy ra y = |f(x)| = g(x) và lại từ y = g(x) cuối cùng suy ra y = g(|x|) = |f(|x|)|. Từ y = f(x) suy ra y = f(|x|) = h(x) và lại từ y = h(x) cuối cùng suy ra y = |h(x)| = |f(|x|)|. Đồ thị hàm số y = |u(x)|.v(x) với f(x) = u(x).v(x) gồm: Phần của đồ thị y = f(x) trên miền u(x) ³ 0. Đối xứng phần đồ thị y = f(x) trên miền u(x) < 0 qua trục hoành. Đường cong |y| = f(x) gồm: Phần đồ thị từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x). Đối xứng phần đồ thị trên qua trục hoành được nửa đường cong còn lại. Cho các hàm số f(x) = sinx, g(x) = cosx, h(x) = tanx và các khoảng: J1 = (p ; ), J2 = (-; ), J3 = (; ), J4 = (-; -). Hỏi hàm số nào trong ba hàm số đó đồng biến trên khoảng J1 ? Trên khoảng J2 ? Trên khoảng J3 ? Trên khoảng J4 ? (Trả lời bằng cách lập bảng). G Hướng dẫn: Sử dụng tính chất của các hàm số cosx và tanx. ? Giải Hàm số f(x) = sinx đồng biến trên khoảng J2, và ta có bảng: x -p/4 p/4 y -/2 /2 Ta có nhận xét: J3 = (; ) = (8p - ; 8p + ) mà trong khoảng (-; ) hàm số f(x) = sinx đồng biến. Do đó, hàm số f(x) = sinx cũng đồng biến trên khoảng J3 - Bảng tương tự như trên. Hàm số g(x) = cosx đồng biến trên khoảng J1, và ta có bảng: x p 3p/2 y -1 0 Ta có nhận xét: J4 = (-; -) = (-150p - ; -150p - ) mà trong khoảng (-; -) hàm số f(x) = cosx đồng biến. Do đó, hàm số g(x) = cosx cũng đồng biến trên khoảng J4, và ta có bảng: x -2p/3 -p/4 y -/2 /2 Hàm số h(x) = tanx đồng biến trên khoảng J1, và ta có bảng: x p 3p/2 y 0 +Ơ Hàm số h(x) = tanx đồng biến trên khoảng J2, và ta có bảng: x -p/4 p/4 y -1 1 Ta có nhận xét: J3 = (; ) = (8p - ; 8p + ) mà trong khoảng (-; ) hàm số h(x) = tanx đồng biến. Do đó, hàm số h(x) = tanx cũng đồng biến trên khoảng J3 - Bảng tương tự như trên. F Chú ý: Chúng ta cũng có thể trình bày về tính đồng biến của các hàm số dựa trên bảng ghi nhớ như sau: Vì hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng: Đk = (- + 2kp; + 2kp) với k ẻ Z và vì: J2 = (-; ) è Đ0 = (-; ) (ứng với k = 0) nên hàm số y = sinx đồng biến trên J2. J3 = (; ) è Đ4 = (-; ) (ứng với k = 4) nên hàm số y = sinx đồng biến trên J3. Vì hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng Đk = (-p + 2kp; 2kp) với k ẻ Z và: J1 = (p; ) è Đ1 = (p; 2p) (ứng với k = 1) nên hàm số y = cosx đồng biến trên J1. J4 = (-; -) è Đ-75 = (-151p; -150p) nên hàm số y = cosx đồng biến trên J4. Vì hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng Đk = (- + kp; + kp) với k ẻ Z và: J1 = (p; ) è Đ2 = (; ) (ứng với k = 2) nên hàm số y = tanx đồng biến trên J1. J2 = (-; ) è Đ0 = (-; ) (ứng với k = 0) nên hàm số y = tanx đồng biến trên J2. J3 = (; ) è Đ8 = (-; ) (ứng với k = 8) nên hàm số y = sinx đồng biến trên J3. Từ đồ thị của hàm số y = cosx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số y = cosx + 2, y = cos(x - )và vẽ đồ thị của các hàm số đó: Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không ? ? Giải Ta lần lượt có: x y O p 1 p/2 -1 -p/2 y = cosx + 2 y = cosx 3 Hình a Tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx theo trục Oy lên trên 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = cosx + 2, ta có hình vẽ a). x y O p 1 p/2 -1 -p/2 y = cos(x - ) y = cosx Hình b Tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx theo trục Ox sang phải một đoạn ta được đồ thị hàm số y = cos(x - ), ta có hình vẽ b). Mỗi hàm số đó đều là hàm số tuần hoàn. Từ đồ thị của hàm số y = sinx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó: y = -sinx. y = . y = sin. ? Giải x y O p -p 1 p/2 -1 -p/2 y = -sinx y = sinx Lấy đối xứng đồ thị của hàm số y = sinx qua gốc toạ độ O ta được đồ thị hàm số y = -sinx, ta có hình vẽ: Từ đồ thị của hàm số y = sinx, ta thực hiện: Giữa nguyên phần đồ thị ở phía trên trục Ox. Lấy đối xứng phần đồ thị ở phía dưới trục Ox qua trục Ox. x y O p -p 1 p/2 -1 -p/2 y = ẵsinxẵ y = sinx Hai phần đồ thị trên chính là đồ thị của hàm số y = ẵsinxẵ, ta có hình vẽ: Từ đồ thị của hàm số y = sinx, ta thực hiện: Giữa nguyên phần đồ thị ở bên phải trục Oy. Lấy đối xứng phần đồ thị trên qua trục Oy. Hai phần đồ thị trên chính là đồ thị của hàm số y = sinẵxẵ, ta có hình vẽ: x y O p -p 1 p/2 -1 -p/2 y = sinẵxẵ y = sinx F Nhận xét: Như vậy, để có được đồ thị của các hàm số theo yêu cầu của đầu bài chúng ta cần sử dụng các phép đối xứng, và để không phải học thuộc các dạng đồ thị đó các em học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức về dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ tiếp theo sẽ minh hoạ phép co đồ thị. Xét hàm số y = f(x) = cos. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, f(x + k4p) = f(x) với mọi x. Lập bảng biến thiên của hàm số y = cos trên đoạn [-2p ; 2p]. Vẽ đồ thị của hàm số y = cos. Tìm mối liên quan giữa đồ thị của hàm số y = cos với đồ thị của hàm số y = cosx. ? Giải Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số cosin, ta có ngay: f(x + k4p) = cos = cos( + 2kp) = cos = f(x) với mọi x. Ta có bảng biến thiên như sau: x -2p -p 0 p 2p x/2 -p -p/2 0 p/2 p y = cos -1 0 1 0 -1 x y O 2p 1 p -1 -p y = cos y = cosx -2p Đồ thị của hàm số y = cos được minh hoạ trong hình sau: Đồ thị của hàm số y = cos được suy ra từ đồ thị của hàm số y = cosx bằng phép co với hệ số k = . bài tập lần 2 Tìm tập xác định của các hàm số sau: a. y = cot(3x - ). b. y = tan(2x + ). Tìm tập xác định của các hàm số sau: a. y = . b. y = . Tìm tập xác định của các hàm số sau: y = . y = . y = . Xét tính chất chẵn - lẻ của các hàm số sau: a. y = -2sinx. b. y = 3sinx - 2. Xét tính chất chẵn - lẻ của các hàm số sau: a. y = cos (x - ). b. y = tan. Xét tính chất chẵn - lẻ của các hàm số sau: a. y = |x|.sinx. b. y = , với n ẻ Z. Hãy xem những hàm số nào trong các hàm số cho dưới đây là hàm tuần hoàn và xác định chu kỳ nhỏ nhất (nếu có) của