Bài giảng qua mạng Đại số 10 - Chương I: Mệnh đề, Tập hợp - Bài 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu - Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc - Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP §2 Tập hợp và các phép toán trên tập hợp F Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần 2 toàn bộ: Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí. Định hướng thực hiện các hoạt động Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự: Đọc - Hiểu - Ghi nhớ các định nghĩa, định lí Chép lại các chú ý, nhận xét Thực hiện các hoạt động vào vở Thực hiện bài tập lần 1 Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần 1 chậm và kĩ Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy” Thực hiện bài tập lần 2 Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu: Nôi dung chưa hiểu Hoạt động chưa làm được Bài tập lần 1 chưa làm được Bài tập lần 2 chưa làm được Thảo luận xây dựng bài giảng gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận được giải đáp. §2 tËp hîp vµ c¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp Trong phÇn nµy, chóng ta sÏ nghiªn cøu mét cÊu tróc c¬ b¶n tõ ®ã x©y dùng lªn c¸c cÊu tróc kh¸c, ®ã lµ tËp hîp. LÝ thuyÕt tËp hîp ®­îc nhµ to¸n häc ng­êi §øc Can–to (Georg Cantor, 1845 - 1918) s¸ng lËp vµo n¨m 1872. Ngµy nay, lÝ thuyÕt tËp hîp lµ c¬ së ®Ó x©y dùng nªn bé m«n to¸n häc rêi r¹c. bµi gi¶ng theo ch­¬ng tr×nh chuÈn TËp hîp TËp hîp lµ mét kh¸i niÖm c¬ b¶n cña to¸n häc. C¸c tËp hîp ®­îc dïng ®Ó nhãm c¸c ®èi t­îng l¹i víi nhau. Th«ng th­êng, c¸c phÇn tö trong mét tËp hîp cã c¸c tÝnh chÊt t­¬ng tù nhau. VÝ dô , tÊt c¶ c¸c häc sinh võa míi nhËp tr­êng lËp nªn mét tËp hîp, tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña mét ph­¬ng tr×nh t¹o nªn mét tËp hîp, ... Ho¹t ®éng: H·y cho vÝ dô vÒ tËp hîp. Ng­êi ta th­êng dïng c¸c ch÷ hoa ®Ó kÝ hiÖu c¸c tËp hîp. C¸c ch÷ N, Z, Q, I, R in ®Ëm ®· ®­îc sö dông ®Ó kÝ hiÖu cho c¸c tËp hîp sè . §Ó chØ r»ng a lµ mét phÇn tö cña tËp hîp A (hay gäi t¾t lµ: tËp A), ta kÝ hiÖu aÎA (®äc lµ: a thuéc tËp A). Cßn nÕu b kh«ng ph¶i lµ phÇn tö cña tËp hîp A ta kÝ hiÖu bÏA (®äc lµ: b kh«ng thuéc tËp A). C¸ch m« t¶ tËp hîp Cã nhiÒu c¸ch m« t¶ mét tËp hîp, tuy nhiªn ta th­êng sö dông hai c¸ch sau: LiÖt kª c¸c phÇn tö cña tËp hîp TËp hîp X gåm c¸c sè nguyªn, d­¬ng, ch½n nhá h¬n 11, ®­îc viÕt: X = {2, 4, 6, 8, 10}. Ho¹t ®éng: ViÕt tËp hîp Y gåm c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x2 – 3x + 2 = 0. F Chó ý: Khi m« t¶ tËp hîp b»ng c¸ch liÖt kª c¸c phÇn tö, ta quy ­íc: Mçi phÇn tö cña tËp hîp chØ ®­îc liÖt kª mét lÇn, vÝ dô tËp hîp c¸c ch÷ c¸i cña dßng ch÷ " Hiªn ngang " lµ A = {h, i, ª, n, g, a}. Kh«ng cÇn quan t©m tíi thø tù c¸c phÇn tö liÖt kª, vÝ dô tËp A còng cã thÓ ®­îc viÕt A = {a, g, h, i, n, ª}. NÕu qui luËt liÖt kª râ rµng, ta chØ cÇn liÖt kª mét sè phÇn tö ®Çu tiªn vµ sau ®ã sÏ dïng c¸c dÊu chÊm chÊm "...", vÝ dô tËp hîp c¸c sè nguyªn d­¬ng bÐ h¬n 82 cã thÓ ®­îc kÝ hiÖu bëi {1, 2, 3, ..., 81}. ChØ ra tÝnh chÊt ®Æc tr­ng cho c¸c phÇn tö cña tËp hîp : ®Ó chØ r»ng tËp hîp X gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö cã tÝnh chÊt P, ta viÕt: X ={x | x cã tÝnh chÊt P}. TËp hîp X gåm c¸c sè nguyªn, d­¬ng, nhá h¬n 10, ®­îc viÕt : X = {x | x lµ sè nguyªn, d­¬ng, nhá h¬n 10} hoÆc X = {xÎZ | 0 < x < 10} hoÆc X = {xÎZ | 1 £ x £ 9}. Trong tr­êng hîp nµy, nÕu sö dông ph­¬ng ph¸p liÖt kª ta ®­îc: X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Ho¹t ®éng: ViÕt tËp hîp Y gåm c¸c sè nguyªn lín h¬n 1 vµ nhá h¬n 9 b»ng c¸ch liÖt kª c¸c phÇn tö cña nã vµ b»ng c¸ch chØ ra tÝnh chÊt ®Æc tr­ng cho c¸c phÇn tö cña nã. F Chó ý: Ta th­êng sö dông c¸ch m« t¶ tÝnh chÊt ®Æc tr­ng ®Ó m« t¶ c¸c tËp hîp khi kh«ng thÓ liÖt kª hÕt tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña tËp hîp ®ã. TËp hîp A c¸c sè thùc lín h¬n 1 vµ nhá h¬n 8, ®­îc viÕt A = {xÎR | 1 < x < 8}. TËp rçng Ta ®· thÊy, mét tËp hîp cÇn cã phÇn tö t¹o nªn tËp hîp Êy. Tuy nhiªn, tËp hîp gåm c¸c nghiÖm thùc cña ph­¬ng tr×nh x2 + 1 = 0 kh«ng chøa phÇn tö nµo. TËp hîp nh­ vËy ®­îc gäi lµ tËp rçng, kÝ hiÖu Æ. Ho¹t ®éng: §Þnh nghÜa tËp rçng vµ cho vÝ dô. TËp con vµ tËp hîp b»ng nahu Víi hai tËp hîp A = {1, 2, 3} vµ B = {0, 1, 2, 3, 5}. C©u hái Tr¶ lêi NhËn xÐt g× vÒ c¸c phÇn tö cña tËp A víi c¸c phÇn tö cña tËp B ? Mäi mäi phÇn tö cña tËp A ®Òu lµ phÇn tö cña tËp B. Khi ®ã, ta gäi A lµ mét tËp hîp con (hay gäi t¾t lµ tËp con) cña B, vµ kÝ hiÖu AÌ B hoÆc B ÉA ( ®äc lµ tËp B chøa tËp A). VËy: AÌB Û "xÎA Þ xÎB. Ho¹t ®éng: §Þnh nghÜa tËp con vµ chØ ra mét tËp con cña tËp c¸c häc sinh líp 10. F NhËn xÐt quan träng: Tõ ®Þnh nghÜa trªn, ta thÊy AÌA, tøc lµ mçi tËp hîp lµ tËp con cña chÝnh nã. Ta quy ­íc Æ lµ tËp con cña mäi tËp hîp, tøc lµ ÆÌA víi mäi tËp A. TËp hîp gåm c¸c tËp con cña A kÝ hiÖu lµ P(A). Ho¹t ®éng: LiÖt kª tÊt c¶ c¸c tËp con cña tËp X = {a, b, c}, tõ ®ã h·y nªu ra mét thuËt to¸n ®Ó cã thÓ liÖt kª hÕt ®­îc c¸c tËp con cña mét tËp hîp cho tr­íc. NÕu AÌB vµ BÌC cã thÓ suy ra ®­îc AÌC kh«ng ? Vµ nÕu ®­îc th× ®ã ®­îc gäi lµ tÝnh chÊt g× ? TËp A kh¸c rçng cã Ýt nhÊt bao nhiªu tËp con ? B A AÌB B A AËB H×nh 1 TËp A gåm n phÇn tö cã bao nhiªu tËp con ? §Ó minh ho¹ trùc quan kh¸i niÖm tËp con, ng­êi ta sö dông h×nh vÏ nh­ trªn H×nh 1. H×nh 1 ®­îc gäi lµ biÓu ®å Ven øng víi kh¸i niÖm tËp con. Hai tËp hîp A vµ B ®­îc gäi lµ b»ng nhau vµ kÝ hiÖu lµ A = B nÕu mçi phÇn tö cña A ®Òu lµ phÇn tö cña B vµ mçi phÇn tö cña B ®Òu lµ phÇn tö cña A. Nh­ vËy, A = B khi vµ chØ khi mäi phÇn tö cña A ®Òu lµ phÇn tö cña B (tøc lµ AÌB), vµ mäi phÇn tö cña B ®Òu lµ phÇn tö cña A ((tøc lµ BÌA)). VËy: A = B Û AÌB vµ BÌA. NÕu hai tËp A vµ B kh«ng b»ng nhau ®­îc gäi lµ kh¸c nhau, kÝ hiÖu A ¹ B. Ho¹t ®éng: ChØ ra c¸c tËp hîp b»ng nhau trong c¸c tËp hîp: A = {1, 2, 4}, B = {4, 1, 2}, C = {1, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4}. NÕu A = B vµ B = C cã thÓ suy ra ®­îc A = C kh«ng ? Vµ nÕu ®­îc th× ®ã ®­îc gäi lµ tÝnh chÊt g× ? C¸c phÐp to¸n tËp hîp §Þnh nghÜa: Hîp cña hai tËp A vµ B ®­îc kÝ hiÖu AÈB, lµ tËp chøa tÊt c¶ c¸c phÇn tö thuéc A hoÆc thuéc B. H×nh 2 B A Nh­ vËy: AÈB = {x | xÎA hoÆc xÎB}. BiÓu ®å Ven cho trªn H×nh 2, phÇn g¹ch th¼ng biÓu diÔn hîp cña hai tËp A vµ B. Víi hai tËp hîp A = {1, 3, 5} vµ B = {1, 2, 3}, ta ®­îc: AÈB = {1, 2, 3, 5}. Ho¹t ®éng: Nªu thuËt to¸n ®­îc sö dông ®Ó x¸c ®Þnh tËp AÈB. TËp A, B cã ph¶i lµ tËp con cña tËp AÈB kh«ng ? T×m c¸c tËp C sao cho AÈC = A. Hai tËp AÈB vµ BÈA cã b»ng nhau kh«ng ? Vµ nÕu cã th× ®ã ®­îc gäi lµ tÝnh chÊt g× ? Nªu ®Þnh nghÜa cña tËp AÈBÈC. §Þnh nghÜa: Giao cña hai tËp A vµ B ®­îc kÝ hiÖu AÇB, lµ tËp chøa tÊt c¶ c¸c phÇn tö thuéc c¶ A vµ B. B A AÇB H×nh 3 Nh­ vËy: AÇB = {x | xÎA vµ xÎB}. BiÓu ®å Ven cho trªn H×nh 3, phÇn g¹ch th¼ng biÓu diÔn giao cña hai tËp A vµ B. Hai tËp hîp ®­îc gäi lµ rêi nhau nÕu giao cña chóng lµ tËp rçng. Ho¹t ®éng: H·y vÏ biÓu ®å Ven minh ho¹ hai tËp rêi nhau. TËp X gåm c¸c häc sinh häc thi khèi A vµ tËp Y gåm c¸c häc sinh häc thi khèi D, ta ®­îc XÇY gåm c¸c häc sinh häc thi m«n to¸n. Ho¹t ®éng: Nªu thuËt to¸n ®­îc sö dông ®Ó x¸c ®Þnh tËp XÇY. Trong c¸c tËp X, Y, XÇY, h·y xem tËp nµo lµ tËp con cña tËp nµo. T×m c¸c tËp T sao cho XÇT = X. Hai tËp XÇY vµ YÇX cã b»ng nhau kh«ng ? Vµ nÕu cã th× ®ã ®­îc gäi lµ tÝnh chÊt g× ? Nªu ®Þnh nghÜa cña XÇYÇT. §Þnh nghÜa: HiÖu cña A vµ B ®­îc kÝ hiÖu A - B, lµ tËp chøa tÊt c¶ c¸c phÇn tö thuéc A nh­ng kh«ng thuéc B. B A H×nh 4 Nh­ vËy: A - B = {x | xÎA vµ xÏB}. BiÓu ®å Ven cho trªn H×nh 4, phÇn g¹ch th¼ng biÓu diÔn hiÖu cña A vµ B. Víi hai tËp hîp A = {1, 3, 5} vµ B = {1, 2, 3}, ta ®­îc: A - B = {5} vµ B – A = {2}. Ho¹t ®éng: Nªu thuËt to¸n ®­îc sö dông ®Ó x¸c ®Þnh tËp A – B. PhÐp hiÖu hai tËp hîp cã tÝnh chÊt giao ho¸n kh«ng ? TËp A – B lµ tËp con cña A hay B ? T×m c¸c tËp C sao cho A – C = Æ. F Chó ý: Trong tr­êng hîp B Ì A, hiÖu A\B ®­îc gäi lµ phÇn bï cña B trong A, kÝ hiÖu lµ CAB. Ho¹t ®éng: H·y vÏ biÓu ®å Ven minh ho¹ kh¸i niÖm phÇn bï. C¸c h»ng ®¼ng thøc tËp hîp B¶ng sau liÖt kª c¸c h»ng ®¼ng thøc tËp hîp quan träng nhÊt: H»ng ®¼ng thøc Tªn gäi AÈÆ = A AÇA = A, víi AÌ A LuËt ®ång nhÊt AÇÆ = Æ AÈA = A, víi AÌ A LuËt nuèt AÈA = A AÇA = A LuËt luü ®¼ng AÈB = BÈA AÇB = BÇA LuËt giao ho¸n AÈ(BÈC) = (AÈB)ÈC AÇ(BÇC) = (AÇB) ÇC LuËt kÕt hîp AÈ(BÇC) = (AÈB) Ç(AÈC) AÇ(BÈC) = (AÇB) È(AÇC) LuËt ph©n phèi C¸c tËp sè th­êng dïng Ta cã: N R Q Z H×nh 5 TËp hîp c¸c sè tù nhiªn N = {0, 1, 2, ..., n, ...}. TËp hîp c¸c sè nguyªn Z = {0, ±1, ±2, ..., ±n, ...}. TËp hîp c¸c sè h÷u tØ Q = {| m, n Î Z, n ¹ 0}. TËp hîp c¸c sè thùc R = {x| x h÷u tØ hoÆc v« tØ}. Víi quy ­íc R = (-¥, +¥), ta còng cã: R+ = [0, + ¥), R- = (-¥, 0], R* = R\{0}. Trªn trôc sè, ta cã: TËp hîp C¸ch viÕt x 0 | BiÓu diÔn trªn trôc sè TËp R {xÎR} Kho¶ng (a; b) {xÎR | a < x < b} x a ////////( )//////// b §o¹n [a; b] {xÎR | a £ x £ b } x a ////////[ ]//////// b Nöa kho¶ng [a; b) {xÎR | a £ x < b } x a ////////( ]//////// b x a ////////[ )//////// b Nöa kho¶ng (a; b] {xÎR | a < x £ b } Kho¶ng (-¥; a) {xÎR | x < a } x a ////////( x )//////// a x a ////////[ x ]//////// a Nöa kho¶ng (-¥; a] {xÎR | x £ a } Kho¶ng (a; +¥) {xÎR | x > a } Nöa kho¶ng [a; + ¥) {xÎR | x ³ a } bµi tËp lÇn 1 ViÕt mçi tËp hîp sau b»ng c¸ch liÖt kª c¸c phÇn tö cña nã: A = {x Î ½(2x - x2)(2x2 - 3x - 2) = 0}. B = {n Î ½3 < n2 < 30}. ViÕt mçi tËp hîp sau b»ng c¸ch chØ râ c¸c tÝnh chÊt ®Æc tr­ng cho c¸c ph©n tö cña nã: A = {2, 3, 5, 7}. b. B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. C = {-5, 0, 5, 10, 15}. Cho A lµ tËp hîp c¸c häc sinh líp 10 ®ang häc ë tr­êng em vµ B lµ tËp hîp c¸c häc sinh ®ang häc m«n TiÕng anh cña tr­êng em. H·y diÔn ®¹t b»ng lêi c¸c tËp hîp sau: AÇB. b. A\ B. c. AÈB. d. B \ A. a. Cho A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3}. T×m hai tËp hîp (A \ B) È (B \ A) vµ (A È B) \ (A Ç B). Hai tËp hîp nhËn ®­îc lµ b»ng nhau hay kh¸c nhau? b. Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}, B = {1, 2, 4, 6, 8, 9} vµ C = {3, 4, 5, 6, 7}. H·y t×m A Ç (B \ C) vµ (A Ç B) \ C. Hai tËp hîp nhËn ®­îc b»ng nhau hay kh¸c nhau? Cho hai nöa kho¶ng A = (0; 2], B = [1; 4). T×m CR(A È B) vµ CR(A Ç B). Cho tËp hîp A = {a, b, c, d}. LiÖt kª tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña A cã: Ba phÇn tö. b. Hai phÇn tö. c. Kh«ng qu¸ mét phÇn tö. T×m tËp hîp A vµ B, biÕt: . Cho hai ®o¹n A = [a; a + 2] vµ B = [b; b + 1]. C¸c sè a, b cÇn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn g× ®Ó A Ç B ¹ Æ? XÐt xem hai tËp hîp sau cã b»ng nhau kh«ng? A = {x Î ½(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0} vµ B = {5, 3, 1} Chøng minh r»ng A\ (BÈC) = (A\B)Ç(A\C). Chøng minh r»ng P(AÇB) = P(A)ÇP(B). Cho hai tËp: A = {x Î | x lµ béi cña 3 vµ 4}, B = {x Î | x lµ béi cña 12}, Chøng minh r»ng A = B. Cho c¸c tËp hîp: A = {n Î ½ n = 2k, k Î } B lµ tËp hîp c¸c sè nguyªn cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1, 2, 4, 6, 8. C = {n Î ½ n = 2k - 2, k Î } D = {n Î ½ n = 3k + 1, k Î } Chøng minh r»ng A = B, A = C vµ A ¹ D. bµi gi¶ng n©ng cao A. Tãm t¾t lÝ thuyÕt 1. tËp hîp TËp hîp lµ mét kh¸i niÖm c¬ b¶n cña to¸n häc §Ó chØ r»ng a lµ mét phÇn tö cña tËp hîp A, ta kÝ hiÖu a Î A Cßn nÕu b kh«ng ph¶i lµ phÇn tö cña tËp hîp A ta kÝ hiÖu b Ï A Cã hai c¸ch x¸c ®Þnh tËp hîp: LiÖt kª c¸c phÇn tö cña nã: tËp hîp X gåm c¸c phÇn tö x, y, z... ta viÕt: X ={x; y; z; ...} ChØ ra tÝnh chÊt ®Æc tr­ng cho c¸c phÇn tö cña nã: ®Ó chØ r»ng tËp hîp X gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö cã tÝnh chÊt P, ta viÕt: X ={x | x cã thuéc tÝnh P} TËp rçng lµ tËp kh«ng cã phÇn tö nµo, ký hiÖu lµ Æ. 2. TËp con vµ tËp hîp b»ng nhau TËp con B A AÌB B A AËB TËp A ®­îc gäi lµ tËp con cña tËp B vµ kÝ hiÖu lµ AÌ B nÕu mäi phÇn tö cña A ®Òu lµ phÇn tö cña B. Tõ ®Þnh nghÜa. ta cã: A Ì B Û "x Î A Þ x Î B. Víi tËp A bÊt kú lu«n cã Æ Ì A vµ A Ì A. TËp hîp b»ng nhau: Hai tËp hîp A vµ B ®­îc gäi lµ b»ng nhau vµ kÝ hiÖu lµ A = B nÕu mçi phÇn tö cña A ®Òu lµ phÇn tö cña B vµ mçi phÇn tö cña B ®Òu lµ phÇn tö cña A. Tõ ®Þnh nghÜa. ta cã: A = B Û A Ì B vµ B Ì A. Ta cã c¸c quan hÖ . Mét sè c¸c tËp con cña tËp hîp sè thùc Víi quy ­íc = (-¥; +¥), ta cã: + = [0; +¥), - = (-¥; 0], x a ////////[ ]//////// b * = \{0}, = (0; +¥), = (-¥; 0) §o¹n [a; b] = {x Î | a £ x £ b}}, ®­îc biÓu diÔn: x a ////////( )//////// b Kho¶ng (a; b) = {x Î | a < x < b}, ®­îc biÓu diÔn: x a ////////[ )//////// b Nöa kho¶ng [a; b) = {x Î | a £ x < b}, ®­îc biÓu diÔn: x a ////////( ]//////// b x )//////// a Nöa kho¶ng (a; b] = {x Î | a < x £ b}, ®­îc biÓu diÔn: Kho¶ng (-¥; a) = {x Î | x < a}, ®­îc biÓu diÔn: x a ////////( Kho¶ng (a; +¥) = {x Î | x > a}, ®­îc biÓu diÔn: x ]//////// a Nöa kho¶ng (-¥; a] = {x Î | x £ a}, ®­îc biÓu diÔn: x a ////////[ Nöa kho¶ng [a; +¥)={x Î | x ³ a}, ®­îc biÓu diÔn: 3. C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp PhÐp hîp B A AÈB Hîp cña hai tËp hîp A vµ B kÝ hiÖu lµ A È B, lµ tËp hîp bao gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö thuéc A hoÆc thuéc B. Tõ ®Þnh nghÜa, ta cã: AÈB = {x| x Î A Ú x Î B}. PhÐp giao B A AÇB Giao cña hai tËp hîp kÝ hiÖu lµ A Ç B, lµ tËp hîp bao gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö thuéc c¶ A vµ B. Tõ ®Þnh nghÜa, ta cã: AÇB = {x| x Î A Ù x Î B}. PhÐp lÊy phÇn bï E A CAE Cho A lµ tËp con cña tËp E. PhÇn bï cña A trong E kÝ hiÖu lµ CEA lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña E mµ kh«ng lµ phÇn tö cña A. A BA A\B HiÖu cña hai tËp hîp A vµ B kÝ hiÖu lµ A\B, lµ tËp hîp tÊt bao gåm c¸c phÇn tö thuéc A nh­ng kh«ng thuéc B. Tõ ®Þnh nghÜa, ta cã: A\B = {x| x Î A Ù x Ï B}. B. ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n X¸c ®Þnh tËp hîp Ph­¬ng ph¸p thùc hiÖn Víi tËp hîp A ta cã hai c¸ch: LiÖt kª c¸c phÇn tö cña A. ChØ ra tÝnh chÊt ®Æc tr­ng cho c¸c phÇn tö c¶ A. Sö dông ®Þnh nghÜa vÒ c¸c phÐp to¸n cña tËp hîp: Ta cã AÈB = {x| x Î A hoÆc x Î B}. NÕu dïng trôc sè ®Ó biÓu diÔn ta thùc hiÖn c¸c b­íc: BiÓu diÔn A trªn trôc sè. BiÓu diÔn B trªn trôc sè. G¹ch bá phÇn \(AÈB), phÇn cßn l¹i trªn trôc sè chÝnh lµ AÈB. Ta cã AÇB = {x| x Î A vµ x Î B}. NÕu dïng trôc sè ®Ó biÓu diÔn ta thùc hiÖn c¸c b­íc: BiÓu diÔn A trªn trôc sè vµ g¹ch bá phÇn \A. BiÓu diÔn B trªn trôc sè vµ g¹ch bá phÇn \B. PhÇn cßn l¹i trªn trôc sè chÝnh lµ AÇB Ta cã A\B = {x| x Î A vµ x Ï B}. Ta cã P(A) = {X| XÌA}. T×m c¸c tËp con cña tËp A, ta thùc hiªn theo c¸c b­íc: X¸c ®Þnh sè phÇn tö cña A, gi¶ sö b»ng k. LiÖt kª c¸c tËp hîp gåm tËp Æ, A vµ c¸c tËp con cã 1, 2, ..., k - 1 phÇn tö cña A. ViÕt mçi tËp hîp sau b»ng c¸ch liÖt kª c¸c phÇn tö cña nã: A = {x Î ½(2x - x2)(2x2 - 3x - 2) = 0}. B = {n Î ½3 < n2 < 30}. ? Gi¶i Ta cã: (2x - x2)(2x2 - 3x - 2) = 0 . Tõ ®ã, suy ra A = . Ta cã: Tõ ®ã, suy ra B = {2; 3; 4; 5}. ViÕt mçi tËp hîp sau b»ng c¸ch chØ râ c¸c tÝnh chÊt ®Æc tr­ng cho c¸c ph©n tö cña nã: a. A = {2; 3; 5; 7}. b. B = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. C = {-5; 0; 5; 10; 15}. ? Gi¶i A lµ tËp hîp c¸c sè nguyªn tè nhá h¬n 10. B lµ tËp hîp c¸c sè nguyªn cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi kh«ng v­ît qu¸ 3. C lµ tËp hîp c¸c sè nguyªn n kh«ng nhá h¬n -5, kh«ng lín h¬n 15 vµ chia hÕt cho 5. Cho A lµ tËp hîp c¸c häc sinh líp 10 ®ang häc ë tr­êng em vµ B lµ tËp hîp c¸c häc sinh ®ang häc m«n TiÕng anh cña tr­êng em. H·y diÔn ®¹t b»ng lêi c¸c tËp hîp sau: AÇB. b. A\ B. c. AÈB. d. B \ A. ? Gi¶i A Ç B lµ tËp hîp c¸c häc sinh líp 10 häc m«n TiÕng Anh cña tr­êng em. A \ B lµ tËp hîp c¸c häc sinh líp 10 nh­ng kh«ng häc m«n TiÕng Anh cña tr­êng em. A È B lµ tËp hîp c¸c häc sinh hoÆc häc líp 10 hoÆc häc m«n TiÕng Anh cña tr­êng em. B \ A lµ tËp hîp c¸c häc sinh häc m«n TiÕng Anh nh­ng kh«ng häc líp 10 cña tr­êng em. a. Cho A = {1; 3; 5}, B = {1; 2; 3}. T×m hai tËp hîp (A \ B) È (B \ A) vµ (A È B) \ (A Ç B). Hai tËp hîp nhËn ®­îc lµ b»ng nhau hay kh¸c nhau? b. Cho A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9}, B = {1; 2; 4; 6; 8; 9} vµ C = {3; 4; 5; 6; 7}. H·y t×m A Ç (B \ C) vµ (A Ç B) \ C. Hai tËp hîp nhËn ®­îc b»ng nhau hay kh¸c nhau? ? Gi¶i Ta cã: (A \ B) = {5}; (B \ A) = {2} Þ (A \ B) È (B \ A) = {2; 5} (A È B) = {1; 2; 3; 5}; (A Ç B) = {1; 3} Þ (A È B) \ (A Ç B) = {2; 5} Do ®ã (A \ B) È (B \ A) = (A È B) \ (A Ç B) Ta cã: A Ç B = {2; 4; 6; 9} vµ B \ C = {0; 2; 8 ; 9} Suy ra: A Ç (B \ C) = {2; 9}, (A Ç B) \ C = {2; 9} Do ®ã A Ç (B \ C) = (A Ç B) \ C. Cho hai nöa kho¶ng A = (0; 2], B = [1; 4). T×m CR(A È B) vµ CR(A Ç B). ? Gi¶i Ta cã: A È B = (0; 4), suy ra CR(A È B) = (-¥; 0] È [4; -¥). A Ç B = [1; 2], suy ra CR(A Ç B) = (-¥; 1) È (2; -¥). Cho tËp hîp A = {a; b; c; d}. LiÖt kª tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña A cã: Ba phÇn tö. b. Hai phÇn tö. c. Kh«ng qu¸ mét phÇn tö. ? Gi¶i C¸c tËp hîp con cã ba phÇn tö cña A lµ: {a; b; c}, {a; b; d}, {b; c; d}, {a; c; d}. C¸c tËp hîp con cã hai phÇn tö cña A lµ: {a; b}, {a; c}, {a; d}, {b; c}, {b; d}, {c; d}. C¸c tËp hîp con cã kh«ng qu¸ mét phÇn tö cña A lµ: {a}, {b}, {c}, {d}, Æ. T×m tËp hîp A vµ B, biÕt: . (I) ? Gi¶i Tõ hÖ (I), ta ®­îc: Þ Þ . Cho hai ®o¹n A = [a; a + 2] vµ B = [b; b + 1]. C¸c sè a, b cÇn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn g× ®Ó A Ç B ¹ Æ? ? Gi¶i §iÒu kiÖn ®Ó A Ç B ¹ Æ lµ: a + 2 b + 1. Tõ ®ã, suy ra ®iÒu kiÖn ®Ó A Ç B ¹ Æ lµ b - 2 £ a £ b + 1. Chøng minh A Ì B - Chøng minh A = B Ph­¬ng ph¸p thùc hiÖn §Ó chøng minh AÌB, ta lùa chän mét trong c¸c c¸ch sau: Thùc hiÖn c¸c b­íc: LÊy phÇn tö bÊt kú xÎA, råi chøng minh r»ng xÎB. VËy, ta ®­îc AÌB. Sö dông tÝnh chÊt chÊt b¾c cÇu: Þ AÌB. B»ng c¸ch liÖt kª A, B, tõ ®ã suy ra AÌB. §Ó chøng minh A = B, ta lùa chän mét trong c¸c c¸ch sau: Thùc hiÖn c¸c b­íc: Chøng minh AÌB. Chøng minh BÌA. VËy, ta ®­îc A = B. L­u ý: NÕu c¸c phÐp biÕn ®æi lµ t­¬ng ®­¬ng, tøc lµ: xÎA Û ... Û xÎB Ta kh¼ng ®Þnh ngay A = B. Sö dông tÝnh chÊt chÊt b¾c cÇu: Þ A = B. B»ng c¸ch liÖt kª A, B, tõ ®ã suy ra A = B. XÐt xem hai tËp hîp sau cã b»ng nhau kh«ng? A = {x Î ½(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0} vµ B = {5; 3; 1} ? Gi¶i Hai tËp hîp trªn kh«ng b»ng nhau v× A = {1; 2; 3} vµ B = {5; 3; 1}. Chøng minh r»ng A\ (BÈC) = (A\B)Ç(A\C). ? Gi¶i Víi x bÊt kú ta cã: xÎA\ (BÈC) Û Û Û Û xÎ(A\B)Ç(A\C). VËy, ta ®­îc A\ (BÈC) = (A\B)Ç(A\C). Chøng minh r»ng P(AÇB) = P(A)ÇP(B). ? Gi¶i Víi X bÊt kú ta cã: XÎP(AÇB) Û XÌAÇB Û Û Û XÎP(A)ÇP(B). VËy, ta ®­îc P(AÇB) = P(A)ÇP(B). Cho hai tËp: A = {x Î | x lµ béi cña 3 vµ 4}, B = {x Î | x lµ béi cña 12}, Chøng minh r»ng A = B. ? Gi¶i Chøng minh AÌB, ta cã: xÎA Þ x lµ béi cña 3 vµ 4 Þ x = 3k = 4l, víi k, lÎ Þ l chia hÕt cho 3 Þ l = 3l1, víi k1ÎZ Þ x = 12l1 Þ x lµ béi cña 12 Þ xÎB Do ®ã, ta ®­îc AÌB. (1) Chøng minh BÌA, ta cã: xÎB Þ x lµ béi cña 12 Þ x = 12n = 3.(4n) = 4.(3n), víi nÎ Þ x lµ béi cña 3 vµ 4 Þ xÎA Do ®ã, ta ®­îc BÌA. (2) Tõ (1) vµ (2), suy ra A = B. Cho c¸c tËp hîp: A = {n Î ½ n = 2k, k Î } B lµ tËp hîp c¸c sè nguyªn cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1, 2, 4, 6, 8. C = {n Î ½ n = 2k - 2, k Î } D = {n Î ½ n = 3k + 1, k Î } Chøng minh r»ng A = B, A = C vµ A ¹ D. ? Gi¶i Gi¶ sö n Î A, suy ra n = 2k, k Î . Râ rµng n cã ch÷ sè tËn cïng thuéc tËp hîp {0; 2; 4; 6; 8} nªn n Î B Ng­îc l¹i, gi¶ sö n Î B, suy ra n = 10h + r, trong ®ã r Î {0; 2; 4; 6; 8}. VËy, ta ®­îc r = 2t víi t Î {0; 1; 2; 3; 4}. Khi ®ã n = 10h + 2t = 2(5h + t) = 2k víi k = 5h + t Î . Do ®ã n Î A. Gi¶ sö n Î A, suy ra n = 2k, k Î Z. §Æt k' = k - 1 Î Z, khi ®ã: n = 2(k' - 1) = 2k' - 2 Þ nÎ C. Ng­îc l¹i, gi¶ sö n Î C, suy ra n = 2k - 2 = 2(k - 1). §Æt k' = k - 1 Î Z, khi ®ã: n = 2k', k' Î Z Þ n Î A. Ta cã 2 Î A, nh­ng 2 Ï D v× nÕu 2 Î D th× ta ph¶i cã 2 = 3k + 1 víi k Î . Nh­ng k = Ï . VËy, ta thÊy 2 Ï D nªn A ¹ D. bµi tËp lÇn 2 Cho A lµ tËp hîp häc sinh líp 12 cña tr­êng Chu V¨n An vµ B lµ tËp hîp häc sinh cña tr­êng Chu V¨n An dù kiÕn sÏ lùa chän thi khèi A vµo c¸c tr­êng ®¹i häc. H·y m« t¶ c¸c häc sinh thuéc mét trong c¸c tËp hîp sau: AÇB. AÈB. A\B. B\A. X¸c ®Þnh c¸c tËp hîp sau b»ng c¸ch liÖt kª phÇn tö: A = {x Î | 6x2 - 5x + 1 = 0}. B = {x Î | (2x + x2)(x2 + x - 2)(x2 - x - 12) = 0}. C = {x Î | (2x + 1)(x2 + x - 1)(2x2 - 3x + 1) = 0}. X¸c ®Þnh c¸c tËp hîp sau b»ng c¸ch liÖt kª phÇn tö: A = {x Î | x2 > 2 Ù x < 4}. B = {x Î | £ 2 Ù x > -2}. Cho tËp hîp A = {x Î | £ < 3}. H·y liÖt c¸c phÇn tö cña tËp A. b. LiÖt kª tÊt c¶ c¸c tËp con cña A. B»ng c¸ch biÓu diÔn trªn trôc sè. X¸c ®Þnh AÇB víi A = {x Î | x ³ 1}, B = {x Î | x £ 5}. A = {x Î | x ³ 1}, B = {x Î | x ³ 5}. A = {x Î | x £ 1}, B = {x Î | x £ 5}. A = {x Î | x £ 1}, B = {x Î | x ³ 5}. T×m tËp hîp X sao cho {a; b}ÌXÌ{a; b; c; d}. Cho hai tËp A = {a; b; c; d; e}, B = {a; c; e; f}. T×m tËp hîp X sao cho XÌA vµ XÌB. Cho hai tËp A = {a; b}, B = {a; b; c; d}. T×m tËp hîp X sao cho AÈX = B. Cho c¸c tËp hîp A, B, C tho¶ m·n AÈB = AÇC. Chøng minh r»ng BÌAÌC. Cho c¸c tËp hîp A, B, C tho¶ m·n: . Chøng minh r»ng AÌB. Cho c¸c tËp hîp A, B, C tho¶ m·n: . Chøng minh r»ng B = C. Chøng minh r»ng: AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC). AÈ(BÇC) = (AÈB)Ç(AÈC). Chøng minh r»ng: AÈ(BÇC) = (AÈB)Ç(AÈC). b. AÇ(B\A) = Æ. c. (A\C)Ç(C\B) = Æ. Chøng minh r»ng: A\ (A\B) = AÇB. b. AÈ(B\A) = AÈB. c. A\ (BÇC) = (A\B)È(A\C). d. (B\A)È(C\A) = (BÈC)\A. Chøng minh r»ng: (AÇB)ÌA. b. (A\B)ÌA. c. (A\B)\CÌA\C . (AÈB)Ì(AÈBÈC). d. (AÇBÇC)Ì(AÇB). e. P(A)ÈP(B)ÌP(AÈB). Đóng góp có trách nhiệm khi sử dụng hiệu quả bài giảng này: Học sinh: 5.000đ. Học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: 15.000đ. Giáo viên: 20.000đ. Tích tổng số tiền trên 100.000đ bạn gửi về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ