Bài giảng qua mạng Đại số 10 - Chương I: Mệnh đề, tập hợp - Bài 1: Mệnh đề

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu - Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc - Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP §1 Mệnh đề F Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp Tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần 2 toàn bộ: Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí. Định hướng thực hiện các hoạt động Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự: Đọc - Hiểu - Ghi nhớ các định nghĩa, định lí Chép lại các chú ý, nhận xét Thực hiện các hoạt động vào vở Thực hiện bài tập lần 1 Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần 1 chậm và kĩ Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy” Thực hiện bài tập lần 2 Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu: Nôi dung chưa hiểu Hoạt động chưa làm được Bài tập lần 1 chưa làm được Bài tập lần 2 chưa làm được Thảo luận xây dựng bài giảng gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận được giải đáp. Ch­¬ng I - mÖnh ®Ò - tËp hîp Ch­¬ng nµy sÏ cung cÊp nh÷ng kiÕn thøc më ®Çu vÒ l«gic to¸n vµ tËp hîp. C¸c kh¸i niÖm vµ c¸c phÐp to¸n vÒ mÖnh ®Ò vµ tËp hîp sÏ gióp chóng ta diÔn ®¹t c¸c kiÕn thøc to¸n häc trªm râ rµng vµ chÝnh x¸c, ®ång thêi gióp chóng ta hiÓu ®Çy ®ñ h¬n vÒ suy luËn vµ chøng minh trong to¸n häc. Bëi v©y, ch­¬ng nµy cã ý nghÜa quan träng ®èi víi viÖc häc tËp m«n To¸n. Ch­¬ng nµy gåm hai bµi häc: 1. MÖnh ®Ò vµ mÖnh ®Ò chøa biÕn. 2. TËp hîp vµ c¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp. 3. Sai sè gÇn ®óng vµ sai sè §1 mÖnh ®Ò bµi gi¶ng theo ch­¬ng tr×nh chuÈn mÖnh ®Ò lµ g× ? §Þnh nghÜa 1 (MÖnh ®Ò): MÖnh ®Ò lµ mét c©u kh¼ng ®Þnh ®óng (khi ®ã nã ®­îc gäi lµ mét mÖnh ®Ò ®óng) hoÆc mét c©u kh¼ng ®Þnh sai (khi ®ã nã ®­îc gäi lµ mét mÖnh ®Ò sai). Víi c¸c c©u sau: Hµ Néi ®· ®­îc c«ng nhËn lµ thµnh phè v× hoµ b×nh; 2 + 9 = 11 - Lµ nh÷ng mÖnh ®Ò ®óng. 9 - 6 = 4; Tr¸i ®Êt h×nh lËp ph­¬ng - Lµ nh÷ng mÖnh ®Ò sai. 8 cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? - Kh«ng lµ mét mÖnh ®Ò v× nã kh«ng ph¶i c©u kh¼ng ®Þnh. C¸c em häc sinh h·y g¾ng häc tËp ch¨m chØ! - Kh«ng lµ mét mÖnh ®Ò v× cho dï nã lµ c©u kh¼ng ®Þnh nh÷ng kh«ng cã tÝnh ®óng sai. F NhËn xÐt: Nh­ v©y, c©u kh«ng ph¶i lµ c©u kh¼ng ®Þnh hoÆc c©u kh¼ng ®Þnh nh÷ng kh«ng cã tÝnh ®óng sai th× kh«ng ph¶i lµ mÖnh ®Ò. Ho¹t ®éng: H·y cho vÝ dô vÒ mÖnh ®Ò vµ kh«ng ph¶i mÖnh ®Ò. mÖnh ®Ò phñ ®Þnh Quay l¹i víi thÝ dô 1, ta phñ nhËn: Hµ Néi ch­a ®­îc c«ng nhËn lµ thµnh phè v× hoµ b×nh; 2 + 9 ¹ 11 - Lµ nh÷ng mÖnh ®Ò sai vµ nã phñ nhËn nh÷ng mÖnh ®Ò trong c©u a) thÝ dô 1. 9 - 6 ¹ 4; Tr¸i ®Êt kh«ng cã h×nh lËp ph­¬ng - Lµ nh÷ng mÖnh ®Ò ®óng vµ nã phñ nhËn nh÷ng mÖnh ®Ò trong c©u b) thÝ dô 1. Tõ ®ã, chóng ta cã ®Þnh nghÜa sau: §Þnh nghÜa 2 (MÖnh ®Ò phñ ®Þnh): Cho mÖnh ®Ò P. MÖnh ®Ò "kh«ng ph¶i P" gäi lµ mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña P vµ kÝ hiÖu lµ . F Chó ý: Nh­ v©y, mÖnh ®Ò P vµ mÖnh ®Ò lµ hai c©u kh¼ng ®Þnh tr¸i ng­îc nhau. NÕu P ®óng th× sai, nÕu P sai th× ®óng. Ho¹t ®éng: H·y nªu mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mçi mÖnh ®Ò sau vµ x¸c ®Þnh xem mÖnh ®Ò phñ ®Þnh ®ã ®óng hay sai: 2006 lµ sè nguyªn tè. NÕu DABC vu«ng t¹i A th× BC2 = AB2 + AC2. mÖnh ®Ò kÐo theo Quay l¹i víi mÖnh ®Ò trong c©u b) cña ho¹t ®éng trªn, ta nhËn thÊy nã cã d¹ng "NÕu P th× Q", trong ®ã: P lµ mÖnh ®Ò "DABC vu«ng t¹i A". Q lµ mÖnh ®Ò " BC2 = AB2 + AC2". Khi ®ã, ta gäi mÖnh ®Ò trong c©u b) cña ho¹t ®éng trªn lµ mÖnh ®Ò kÐo theo. §Þnh nghÜa 3 (MÖnh ®Ò kÐo theo): Cho hai mÖnh ®Ò P vµ Q. MÖnh ®Ò d¹ng "NÕu P th× Q" ®­îc gäi lµ mÖnh ®Ò kÐo theo vµ kÝ hiÖu lµ P Þ Q. Ho¹t ®éng: H·y kh¼ng ®Þnh v× sao c¸c mÖnh ®Ò sau lµ nh÷ng mÖnh ®Ò kÐo theo vµ x¸c ®Þnh xem mÖnh ®Ò ®ã ®óng hay sai: NÕu sè a chia hÕt cho 2 th× sè a + 1 kh«ng chia hÕt cho 2. NÕu DABC c©n t¹i A th× BC2 = AB2 + AC2. Cho hai mÖnh ®Ò P vµ Q nh­ sau: P = "ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt" vµ Q = "AC = BD". P = "ABCD lµ h×nh vu«ng" vµ Q = "5 chia hÕt cho 2". P = "4 - 2 = 3" vµ Q = "2.2 = 4". P = "4 - 2 = 3" vµ Q = "2.2 = 3". Hái "NÕu P th× Q" cã ®­îc gäi lµ mÖnh ®Ò kÐo theo hay kh«ng ? V× sao ? F Chó ý: MÖnh ®Ò P Þ Q chØ sai khi P ®óng vµ Q sai. Chóng ta th­êng gÆp c¸c tÝnh huèng sau: C¶ hai mÖnh ®Ò P vµ Q ®Òu ®óng. Khi ®ã P Þ Q lµ mÖnh ®Ò ®óng. MÖnh ®Ò P ®óng vµ mÖng ®Ò Q sai. Khi ®ã P Þ Q lµ mÖnh ®Ò sai. Ho¹t ®éng: H·y cho vÝ dô vÒ mÖnh ®Ò kÐo theo lµ mÖnh ®Ò ®óng, lµ mÖnh ®Ò sai. mÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng Quay l¹i thÝ dô 3 ta thÊy c¸c mÖnh ®Ò P Þ Q vµ Q Þ P ®Òu lµ nh÷ng lµ mÖnh ®Ò ®óng. Trong tr­êng hîp nµy ta viÕt P Û Q ®äc lµ "P nÕu vµ chØ nÕu Q" vµ ®ã lµ mét mÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng. §Þnh nghÜa 4 (MÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng): Cho hai mÖnh ®Ò P vµ Q. MÖnh ®Ò d¹ng " P nÕu vµ chØ nÕu Q" ®­îc gäi lµ mÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng vµ kÝ hiÖu lµ P Û Q. F Chó ý: MÖnh ®Ò P Û Q ®«i khi cßn ®­îc ®äc lµ "P khi vµ chØ khi Q" MÖnh ®Ò P Û Q ®óng nÕu cña hai mÖnh ®Ò P vµ Q cïng ®óng hoÆc cïng sai. MÖnh ®Ò P Û Q ®óng cã nghÜa lµ c¶ hai mÖnh ®Ò P Þ Q vµ Q Þ P ®Òu ®óng. Ho¹t ®éng: H·y cho vÝ dô vÒ mÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng. Kh¸i niÖm mÖnh ®Ò chøa biÕn XÐt c¸c c©u cã tÝnh kh¼ng ®Þnh nh­ng ch­a ph¶i lµ mét mÖnh ®Ò (v× ta ch­a thÓ x¸c ®Þnh ®­îc tÝnh ®óng sai cña chóng) sau: "x > 3", víi x lµ sè thùc - KÝ hiÖu lµ P(x). "x + y = 8", víi x vµ y lµ hai sè thùc - KÝ hiÖu lµ Q(x, y). Tuy nhiªn, nÕu cho c¸c biÕn nh÷ng gi¸ trÞ cô thÓ th× chóng ta sÏ nhËn ®­îc c¸c mÖnh ®Ò. Ch¼ng h¹n: P(4) lµ mÖnh ®Ò "4 > 3" - ®ã lµ mÖnh ®Ò ®óng. Q(1, 6) lµ mÖnh ®Ò "1 + 6 > 3" - ®ã lµ mÖnh ®Ò sai. C¸c c©u kiÓu (a) vµ c©u (b) ®­îc gäi lµ mÖnh ®Ò chøa biÕn. Ho¹t ®éng: H·y cho vÝ dô vÒ mÖnh chøa 1 biÕn, 2 biÕn, 3 biÕn. Mét mÖnh ®Ò chøa biÕn cã thÓ chøa Ýt nhÊt vµ nhiÒu nhÊt bao nhiªu biÕn ? C¸c kÝ hiÖu " vµ $ - MÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò cã chøa kÝ hiÖu ", $ KÝ hiÖu " Víi mÖnh ®Ò chøa biÕn P(x): "x2 ³ 0" víi x lµ sè thùc. G¾n kÝ hiÖu " vµo P(x) ta ®­îc mÖnh ®Ò: ""x Î R, P(x)" - §äc lµ "Víi mäi sè thùc x th× x2 ³ 0" vµ thÊy ngay r»ng ®©y lµ mÖnh ®Ò ®óng. Ho¹t ®éng: Cho mÖnh ®Ò chøa biÕn P(x): "4x2 - 4x + 1 ³ 0" víi x lµ sè thùc. Ph¸t biÓu mÖnh ®Ò ""x Î R, P(x)". MÖnh ®Ò nµy ®óng hay sai ? Cho mÖnh ®Ò chøa biÕn P(n): "n2 ³ 4" víi n lµ sè nguyªn. Ph¸t biÓu mÖnh ®Ò ""n Î Z, P(n)". MÖnh ®Ò nµy ®óng hay sai ? KÝ hiÖu $ Víi mÖnh ®Ò chøa biÕn P(x): "x2 - 3x + 2 = 0" víi x lµ sè thùc. G¾n kÝ hiÖu $ vµo P(x) ta ®­îc mÖnh ®Ò: "$x Î R, P(x)" - §äc lµ "Tån l¹i sè thùc x ®Ó x2 - 3x + 2 = 0" vµ thÊy ngay r»ng ®©y lµ mÖnh ®Ò ®óng thÝ dô víi x = 1. Ho¹t ®éng: Cho mÖnh ®Ò chøa biÕn P(n): "n2 ³ 80" víi n lµ sè nguyªn. Ph¸t biÓu mÖnh ®Ò "$n Î Z, P(n)". MÖnh ®Ò nµy ®óng hay sai ? Cho mÖnh ®Ò chøa biÕn P(x): "x2 - x + 2 = 0" víi x lµ sè thùc. Ph¸t biÓu mÖnh ®Ò "$x Î R, P(x)". MÖnh ®Ò nµy ®óng hay sai ? MÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò cã chøa kÝ hiÖu " MÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò ""x Î R, P(x)" lµ "$x Î R, ". MÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò ""x Î R, x2 + 1 > 0" lµ: "$x Î R, x2 + 1 £ 0" Ho¹t ®éng: Nªu mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò "Mäi häc sinh líp 10 ®Òu biÕt c¸ch céng hai ph©n sè". MÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò cã chøa kÝ hiÖu $ MÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò "$x Î R, P(x)" lµ ""x Î R, ". MÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò "$n Î N, 2n2 + 1 chia hÕt cho 2" lµ: ""n Î N, 2n2 + 1 kh«ng chia hÕt cho 2". Ho¹t ®éng: Nªu mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò "Tån t¹i nh÷ng sè thùc kh«ng ph¶i lµ sè h÷u tØ". bµi tËp lÇn 1 Trong c¸c c©u d­íi ®©y, c©u nµo lµ mÖnh ®Ò, c©u nµo kh«ng ph¶i lµ mÖnh ®Ò ? NÕu lµ mÖnh ®Ò th× h·y nãi nã ®óng hay sai: a. H·y ®i nhanh lªn ! b. 5 + 7 + 4 = 15. c. N¨m 2002 lµ n¨m nhuËn. Trong c¸c c©u d­íi ®©y, c©u nµo lµ mÖnh ®Ò, c©u nµo kh«ng ph¶i lµ mÖnh ®Ò ? NÕu lµ mÖnh ®Ò th× h·y nãi nã ®óng hay sai: a. x2 + 2y > 8. b. x + y vµ xy. Trong c¸c c©u d­íi ®©y, c©u nµo lµ mÖnh ®Ò, c©u nµo kh«ng ph¶i lµ mÖnh ®Ò. NÕu lµ mÖnh ®Ò th× nã thuéc lo¹i mÖnh ®Ò g× vµ h·y nãi nã ®óng hay sai: NÕu sè a chia hÕt cho 6 th× a chia hÕt cho 3. NÕu DABC ®Òu th× DABC cã AB = BC = CA. 36 chia hÕt cho 24 nÕu vµ chØ nÕu 36 chia hÕt cho 4 vµ chia hÕt cho 6. Cho tø gi¸c ABCD. XÐt xem hai mÖnh ®Ò: P: "Tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng". Q: "Tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc". Ph¸t biÓu mÖnh ®Ò P Û Q b»ng hai c¸ch vµ cho biÕt mÖnh ®Ò ®ã ®óng hay sai. Nªu mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mçi mÖnh ®Ò sau vµ x¸c ®Þnh xem mÖnh ®Ò phñ ®Þnh ®ã ®óng hay sai: Ph­¬ng tr×nh x2 - 3x + 2 = 0 cã nghiÖm. 210 - 1 chia hÕt cho 11. Cã v« sè sè nguyªn tè. Nªu mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mçi mÖnh ®Ò sau: "n Î *, n2 - 1 lµ béi cña 3. b. "x Î , x2 - x + 1 > 0. c. $x Î , x2 = 3. d. $nÎ, 2n + 1 lµ sè nguyªn tè. d. "n Î , 2n ³ n + 2. XÐt ch©n trÞ c¸c mÖnh ®Ò sau: a. (2 > 1) Þ (1 3) Þ (3 + 1 < 3). c. (3 - 2 = 1) Û (1 + 1 = 3). d. (2 = 1) Û (3 = 2). X¸c ®Þnh x ®Ó mÖnh ®Ò (x2 = 4 Þ x = 2) lµ ®óng. Cho (P Þ Q) ®óng. Chøng minh r»ng: [(Q Þ R) Þ (P Þ R)] ®óng. Sö dông thuËt ng÷: "§iÒu kiÖn ®ñ" ®Ó ph¸t biÓu ®Þnh lÝ "NÕu a vµ b lµ hai sè h÷u tØ th× tæng a + b còng lµ sè h÷u tØ". "§iÒu kiÖn cÇn" ®Ó ph¸t biÓu ®Þnh lÝ "NÕu mét sè tù nhiªn chia hÕt cho 15 th× nã chia hÕt cho 5". "§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ" ®Ó ph¸t biÓu ®Þnh lÝ "Mét tø gi¸c néi tiÕp ®­îc trong mét ®­êng trßn khi vµ chØ khi tæng hai gãc ®èi diÖn cña nã lµ 1800". Chøng minh r»ng a + b ³ 2 víi a, b lµ hai sè d­¬ng. Chøng minh ®Þnh lÝ sau b»ng ph¶n chøng: "NÕu n lµ sè tù nhiªn vµ n2 chia hÕt cho 5 th× n chia hÕt cho 5". Chøng minh r»ng víi mäi n nguyªn d­¬ng th× 13n - 1 chia hÕt cho 12. bµi gi¶ng n©ng cao A. Tãm t¾t lÝ thuyÕt mÖnh ®Ò §Þnh nghÜa 1 (MÖnh ®Ò): MÖnh ®Ò lµ mét c©u kh¼ng ®Þnh ®óng (khi ®ã nã ®­îc gäi lµ mét mÖnh ®Ò ®óng) hoÆc mét c©u kh¼ng ®Þnh sai (khi ®ã nã ®­îc gäi lµ mét mÖnh ®Ò sai). §Þnh nghÜa 2 (MÖnh ®Ò phñ ®Þnh): Cho mÖnh ®Ò P. MÖnh ®Ò "kh«ng ph¶i P" gäi lµ mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña P vµ kÝ hiÖu lµ . F Chó ý: Nh­ v©y, mÖnh ®Ò P vµ mÖnh ®Ò lµ hai c©u kh¼ng ®Þnh tr¸i ng­îc nhau. NÕu P ®óng th× sai, nÕu P sai th× ®óng. §Þnh nghÜa 3 (MÖnh ®Ò kÐo theo): Cho hai mÖnh ®Ò P vµ Q. MÖnh ®Ò d¹ng "NÕu P th× Q" ®­îc gäi lµ mÖnh ®Ò kÐo theo vµ kÝ hiÖu lµ P Þ Q. F Chó ý: MÖnh ®Ò P Þ Q chØ sai khi P ®óng vµ Q sai. Chóng ta th­êng gÆp c¸c tÝnh huèng sau: C¶ hai mÖnh ®Ò P vµ Q ®Òu ®óng. Khi ®ã P Þ Q lµ mÖnh ®Ò ®óng. MÖnh ®Ò P ®óng vµ mÖng ®Ò Q sai. Khi ®ã P Þ Q lµ mÖnh ®Ò sai. §Þnh nghÜa 4 (MÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng): Cho hai mÖnh ®Ò P vµ Q. MÖnh ®Ò d¹ng "P nÕu vµ chØ nÕu Q" ®­îc gäi lµ mÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng vµ kÝ hiÖu lµ P Û Q. F Chó ý: MÖnh ®Ò P Û Q ®«i khi cßn ®­îc ®äc lµ "P khi vµ chØ khi Q" MÖnh ®Ò P Û Q ®óng nÕu cña hai mÖnh ®Ò P vµ Q cïng ®óng hoÆc cïng sai. MÖnh ®Ò P Û Q ®óng cã nghÜa lµ c¶ hai mÖnh ®Ò P Þ Q vµ Q Þ P ®Òu ®óng. C¸c kÝ hiÖu " vµ $ - MÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò cã chøa kÝ hiÖu ", $ KÝ hiÖu ": Víi mÖnh ®Ò chøa biÕn P(x): "x2 ³ 0" víi x lµ sè thùc. G¾n kÝ hiÖu " vµo P(x) ta ®­îc mÖnh ®Ò: ""x Î , P(x)" - §äc lµ "Víi mäi sè thùc x th× x2 ³ 0" vµ thÊy ngay r»ng ®©y lµ mÖnh ®Ò ®óng. KÝ hiÖu $: Víi mÖnh ®Ò chøa biÕn P(x): "x2 - 3x + 2 = 0" víi x lµ sè thùc. G¾n kÝ hiÖu $ vµo P(x) ta ®­îc mÖnh ®Ò: "$x Î , P(x)" - §äc lµ "Tån l¹i sè thùc x ®Ó x2 - 3x + 2 = 0" vµ thÊy ngay r»ng ®©y lµ mÖnh ®Ò ®óng thÝ dô víi x = 1. MÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò ""x Î , P(x)" lµ "$x Î , ". MÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò "$x Î , P(x)" lµ ""x Î , ". B. ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n X©y dùng mÖnh ®Ò. Ph­¬ng ph¸p thùc hiÖn Dùa vµo ®Þnh nghÜa c¸c mÖnh ®Ò , P Þ Q, P Û Q. Trong c¸c c©u d­íi ®©y, c©u nµo lµ mÖnh ®Ò, c©u nµo kh«ng ph¶i lµ mÖnh ®Ò ? NÕu lµ mÖnh ®Ò th× h·y nãi nã ®óng hay sai: a. H·y ®i nhanh lªn ! b. 5 + 7 + 4 = 15. c. N¨m 2002 lµ n¨m nhuËn. ? Gi¶i Kh«ng lµ mÖnh ®Ò. b. MÖnh ®Ò sai. c. MÖnh ®Ò sai. Trong c¸c c©u d­íi ®©y, c©u nµo lµ mÖnh ®Ò, c©u nµo kh«ng ph¶i lµ mÖnh ®Ò ? NÕu lµ mÖnh ®Ò th× h·y nãi nã ®óng hay sai: a. x2 + 2y > 8. b. x + y vµ xy. ? Gi¶i §ã lµ c©u kh¼ng ®Þnh nh­ng ch­a ph¶i lµ mét mÖnh ®Ò v× ta ch­a thÓ x¸c ®Þnh ®­îc tÝnh ®óng sai cña chóng nã (mÖnh ®Ò chøa biÕn). §ã kh«ng lµ c©u kh¼ng ®Þnh nªn kh«ng ph¶i lµ mét mÖnh. Trong c¸c c©u d­íi ®©y, c©u nµo lµ mÖnh ®Ò, c©u nµo kh«ng ph¶i lµ mÖnh ®Ò. NÕu lµ mÖnh ®Ò th× nã thuéc lo¹i mÖnh ®Ò g× vµ h·y nãi nã ®óng hay sai: NÕu sè a chia hÕt cho 6 th× a chia hÕt cho 3. NÕu DABC ®Òu th× DABC cã AB = BC = CA. 36 chia hÕt cho 24 nÕu vµ chØ nÕu 36 chia hÕt cho 4 vµ chia hÕt cho 6. ? Gi¶i Lµ mÖnh ®Ò kÐo theo (P Þ Q) vµ lµ mÖnh ®Ò ®óng, trong ®ã: P: " a chia hÕt cho 6" vµ Q:" a chia hÕt cho 3". Lµ mÖnh ®Ò kÐo theo (P Þ Q) vµ lµ mÖnh ®Ò ®óng, trong ®ã: P: "DABC ®Òu " vµ Q:" DABC cã AB = BC = CA". F NhËn xÐt: MÖnh ®Ò nµy cã thÓ viÕt d­íi d¹ng t­¬ng ®­¬ng "DABC ®Òu khi vµ chØ khi AB = BC = CA". Lµ mÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng (P Û Q) vµ lµ mÖnh ®Ò sai, bëi trong ®ã: P: "36 chia hÕt cho 24" lµ mÖnh ®Ò sai Q:" 36 chia hÕt cho 4 vµ chia hÕt cho 6". Cho tø gi¸c ABCD. XÐt xem hai mÖnh ®Ò: P: "Tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng". Q: "Tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc". Ph¸t biÓu mÖnh ®Ò P Û Q b»ng hai c¸ch vµ cho biÕt mÖnh ®Ò ®ã ®óng hay sai. ? Gi¶i MÖnh ®Ò P Û Q: "Tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng khi vµ chØ khi tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc". "Tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng nÕu vµ chØ nÕu tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc". MÖnh ®Ò P Û Q ®óng. Nªu mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mçi mÖnh ®Ò sau vµ x¸c ®Þnh xem mÖnh ®Ò phñ ®Þnh ®ã ®óng hay sai: Ph­¬ng tr×nh x2 - 3x + 2 = 0 cã nghiÖm. 210 - 1 chia hÕt cho 11. Cã v« sè sè nguyªn tè. ? Gi¶i Ph­¬ng tr×nh x2 - 3x + 2 = 0 v« nghiÖm. MÖnh ®Ò phñ ®Þnh sai. 210 - 1 kh«ng chia hÕt cho 11. MÖnh ®Ò phñ ®Þnh sai. MÖnh ®Ò phñ ®Þnh "Cã h÷u h¹n sè nguyªn tè " - lµ mÖnh ®Ò sai. F NhËn xÐt: Th«ng qua c©u c) cña vÝ dô trªn c¸c em häc sinh cÇn ghi nhËn nguyªn t¾c: chÝnh lµ P Û . Nªu mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mçi mÖnh ®Ò sau: "n Î *, n2 - 1 lµ béi cña 3. b. "x Î , x2 - x + 1 > 0. c. $x Î , x2 = 3. d. $nÎ, 2n + 1 lµ sè nguyªn tè. d. "n Î , 2n ³ n + 2. ? Gi¶i MÖnh ®Ò phñ ®Þnh lµ "$n Î *, n2 - 1 kh«ng lµ béi cña 3". MÖnh ®Ò phñ ®Þnh lµ "$x Î , x2 - x + 1 £ 0". MÖnh ®Ò phñ ®Þnh lµ ""x Î , x2 ¹ 3". MÖnh ®Ò phñ ®Þnh lµ ""n Î , 2n + 1 lµ hîp sè". MÖnh ®Ò phñ ®Þnh lµ ""n Î , 2n < n + 2n". XÐt ch©n trÞ cña mÖnh ®Ò. Ph­¬ng ph¸p thùc hiÖn Dùa vµo ch©n trÞ cña c¸c mÖnh ®Ò , P Þ Q, P Û Q, cô thÓ: NÕu P ®óng th× sai, nÕu P sai th× ®óng. P Þ Q chØ sai khi P ®óng Q sai. P Û Q ®óng nÕu cña hai mÖnh ®Ò P vµ Q cïng ch©n trÞ. Ngoµi ra, chóng ta cÇn biÕn thªm hai mÖnh ®Ò P Ú Q, P Ù Q, cô thÓ: P Ú Q chØ sai khi P, Q cïng sai. P Ù Q chØ ®óng khi P, Q cïng ®óng. XÐt ch©n trÞ c¸c mÖnh ®Ò sau: a. (2 > 1) Þ (1 3) Þ (3 + 1 < 3). c. (3 - 2 = 1) Û (1 + 1 = 3). d. (2 = 1) Û (3 = 2). ? Gi¶i V× mÖnh ®Ò (2 > 1) ®óng vµ mÖnh ®Ò (1 1) Þ (1 < 3) lµ mÖnh ®Ò sai. V× mÖnh ®Ò (2 > 3) lµ sai nªn mÖnh ®Ò (2 > 3) Þ (3 + 1 < 3) ®óng. V× mÖnh ®Ò (3 - 2 = 1) lµ ®óng vµ mÖnh ®Ò (1 + 1 = 3) sai nªn mÖnh ®Ò: (3 - 2 = 1) Û (1 + 1 = 3) sai. V× c¶ hai mÖnh ®Ò (2 = 1) vµ (3 = 2) ®Òu sai nªn: (2 = 1) Û (3 = 2) lµ mÖnh ®Ò ®óng. X¸c ®Þnh x ®Ó mÖnh ®Ò (x2 = 4 Þ x = 2) lµ ®óng. ? Gi¶i NhËn xÐt r»ng: NÕu x ¹ ±2 th× x2 = 4 lµ sai nªn mÖnh ®Ò (x2 = 4 Þ x = 2) ®óng. NÕu x = 2 th× x2 = 4 vµ x = 2 lµ ®óng nªn mÖnh ®Ò (x2 = 4 Þ x = 2) ®óng. NÕu x = -2 th× x2 = 4 ®óng vµ x = 2 sai nªn mÖnh ®Ò (x2 = 4 Þ x = 2) sai. VËy, víi x ¹ -2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. Cho (P Þ Q) ®óng. Chøng minh r»ng: [(Q Þ R) Þ (P Þ R)] ®óng. ? Gi¶i XÐt hai tr­êng hîp: Tr­êng hîp 1: NÕu P ®óng th× v× (P Þ Q) ®óng nªn Q ®óng, suy ra: (Q Þ R) vµ (P Þ R) cïng ch©n trÞ. VËy, ta ®­îc [(Q Þ R) Þ (P Þ R)] ®óng. Tr­êng hîp 2: NÕu P sai th× (P Þ R). VËy, ta ®­îc [(Q Þ R) Þ (P Þ R)] ®óng. ¸p dông mÖnh ®Ò vµo suy luËn to¸n häc. Ph­¬ng ph¸p ¸p dông Ph¸t biÓu c¸c ®Þnh lÝ d­íi d¹ng: ""x Î X, P(x) Þ Q(x)" hoÆc ""x Î X, P(x) Û Q(x)" §Ó chøng minh mét ®Þnh lÝ th«ng th­êng chóng ta lùa chän mét trong ba c¸ch sau: C¸ch 1: Chøng minh trùc tiÕp. C¸ch 2: Chøng minh gi¸n tiÕp (®­îc gäi lµ chøng minh b»ng ph¶n chøng), trong tr­êng hîp nµy ta thùc hiÖn theo c¸c b­íc sau: Gi¶ sö tån t¹i x Î X sao cho P(x) ®óng cßn Q(x) sai. Dïng lËp luËn vµ c¸c kiÕn thøc to¸n häc ®· biÕt ®Ó ®i ®Õn mét m©u thuÉn. Sö dông thuËt ng÷: "§iÒu kiÖn ®ñ" ®Ó ph¸t biÓu ®Þnh lÝ "NÕu a vµ b lµ hai sè h÷u tØ th× tæng a + b còng lµ sè h÷u tØ". "§iÒu kiÖn cÇn" ®Ó ph¸t biÓu ®Þnh lÝ "NÕu mét sè tù nhiªn chia hÕt cho 15 th× nã chia hÕt cho 5". "§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ" ®Ó ph¸t biÓu ®Þnh lÝ "Mét tø gi¸c néi tiÕp ®­îc trong mét ®­êng trßn khi vµ chØ khi tæng hai gãc ®èi diÖn cña nã lµ 1800". ? Gi¶i §iÒu kiÖn cÇn ®Ó tæng a + b lµ sè h÷u tØ lµ c¶ hai sè a vµ b ®Òu lµ sè h÷u tØ. §iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét sè tù nhiªn chia hÕt cho 15 th× nã chia hÕt cho 5. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tø gi¸c néi tiÕp ®­îc trong mét ®­êng trßn lµ tæng hai gãc ®èi diÖn cña nã b»ng 1800. Chøng minh r»ng a + b ³ 2 víi a, b lµ hai sè d­¬ng. ? Gi¶i Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: (Chøng minh trùc tiÕp): Ta biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng bÊt ®¼ng thøc vÒ d¹ng: (a + b)2 ³ 4ab Û a2 + b2 - 2ab ³ 0 Û (a - b)2 ³ 0, lu«n ®óng. VËy, ta lu«n cã a + b ³ 2 víi a, b lµ hai sè d­¬ng. C¸ch 2: (Chøng minh b»ng ph¶n chøng): Gi¶ sö tr¸i l¹i tån t¹i hai sè d­¬ng a vµ b sao cho: a + b < 2 Û + - 2 < 0 Û < 0, m©u thuÉn. VËy, ta lu«n cã a + b ³ 2 víi a, b lµ hai sè d­¬ng. Chøng minh ®Þnh lÝ sau b»ng ph¶n chøng: "NÕu n lµ sè tù nhiªn vµ n2 chia hÕt cho 5 th× n chia hÕt cho 5". ? Gi¶i Gi¶ sö n2 chia hÕt cho 5 vµ n kh«ng chia hÕt cho 5. NÕu n = 5k ± 1, k Î th×: n2 = 25k2 ± 10k + 1 = 5(5k2 ± 2k ) + 1 kh«ng chia hÕt cho 5. NÕu n = 5k ± 2, k Î th×: th× n2 = 25k2 ± 20k + 4 = 5(5k2 ± 4k ) + 4 kh«ng chia hÕt cho 5. §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt n2 chia hÕt cho 5. F Chó ý: §Ó chøng minh mét mÖnh ®Ò T(n) ®óng víi n lµ sè nguyªn d­¬ng chóng ta cßn cã thÓ sö dông ph­¬ng ph¸p qui n¹p, b»ng viÖc thùc hiÖn theo c¸c b­íc: Kh¼ng ®Þnh mÖnh ®Ò T(1) ®óng. Gi¶ sö mÖnh ®Ò T(k) ®óng, chøng minh mÖnh ®Ò T(k + 1) ®óng. KÕt luËn T(n) ®óng víi n lµ sè nguyªn d­¬ng. Chøng minh r»ng víi mäi n nguyªn d­¬ng th× 13n - 1 chia hÕt cho 12. ? Gi¶i Víi n = 1, ta ®­îc 13n - 1 = 13 - 1 = 12 12 - mÖnh ®Ò ®óng. Gi¶ sö mÖnh ®Ò ®óng víi n = k tøc lµ (13k - 1) 12. Ta ®i chøng minh (13k + 1 - 1) 12, thËt vËy: 13k + 1 - 1 = 13k + 1 - 13k + 13k - 1 = 12. 13k + (13k - 1) suy ra (13k + 1 - 1) 12 bëi 12. 13k 12 vµ (13k - 1) 12. VËy, víi mäi n nguyªn d­¬ng th× 13n - 1 chia hÕt cho 12. bµi tËp lÇn 2 Cho DABC, xÐt hai mÖnh ®Ò: P: "DABC vu«ng c©n t¹i A"; Q: "DABC lµ tam vu«ng cã AB = AC" Ph¸t biÓu mÖnh ®Ò P Û Q b»ng hai c¸ch vµ cho biÕt mÖnh ®Ò nµy ®óng hay sai. Cho DABC, xÐt mÖnh ®Ò "DABC cã ba gãc b»ng nhau khi vµ chØ khi nã cã ba ®­êng trung tuyÕn b»ng nhau". Khi viÕt mÖnh ®Ò trªn d­íi d¹ng P Û Q, h·y nªu mÖnh ®Ò P vµ mÖnh ®Ò Q. Xem c¸c mÖnh ®Ò sau ®óng hay sai vµ nªu mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mçi mÖnh ®Ò ®ã: "n Î *, n(n2 - 1) lµ béi sè cña 3. b. "x Î , x2 - x + 1 > 0. c. $x Î , x2 - 6x + 5 > 0. d. $n Î , 2n - 1 lµ sè nguyªn tè. T×m ch©n trÞ cña c¸c mÖnh ®Ò sau: (3 > 2) Þ (1 > 2). (3 > 2) Þ (2 > 1). (2 > 3) Þ (2 > 1). (2 > 3) Þ (2 < 1). T×m ch©n trÞ cña c¸c mÖnh ®Ò sau: (3 = 1) Û (4 = 2). (3 - 2 = 1) Û (1 + 1 = 2). (3 - 2 = 1) Û (1 + 3 = 2). (2 = 1) Û (3 = 2 + 1). X¸c ®Þnh x ®Ó c¸c mÖnh ®Ò sau lµ ®óng: x2 = 9 Þ x = -3. x2 + 3x + 2 = 0 Þ x = -2. x = 9 Þ x > 8. x2 - 4x + 3 ¹ 0 Þ x ¹ 1. Trong c¸c mÖnh ®Ò sau mÖnh ®Ò nµo ®óng víi mäi x ? x2 = 1 Þ x = 1. x = 2 Þ x2 = 4. x2 - x = 0 Þ (x = 0 Ù x = 1). x2 - 2x ¹ 0 Þ (x ¹ 0 Ù x ¹ 2). Cho (P Û Q), t×m ch©n trÞ cña Û Q, P Û , Q Û P. Cho (P Ú Q), (P Þ R) , (Q Þ S) ®óng. Chøng minh r»ng (S Ú R) ®óng. Chøng minh c¸c ®Þnh lÝ sau b»ng ph­¬ng ph¸p ph¶n chøng: Trong mÆt ph¼ng, hai ®­êng th¼ng cïng song song víi mét ®­êng th¼ng thø ba th× song song víi nhau. Trong mÆt ph¼ng, hai ®­êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi mét ®­êng th¼ng thø ba th× song song víi nhau. Trong mÆt ph¼ng, nÕu hai ®­êng th¼ng a vµ b song song víi nhau th× mäi ®­êng th¼ng c¾t a ph¶i c¾t b. Chøng minh r»ng víi mäi n nguyªn d­¬ng ta cã: (n + 1)(n + 4) chia hÕt cho 2. n3 + 11n chia hÕt cho 6. n(n + 1)(2n + 1) chia hÕt cho 3. n(n + 1)(n + 2) chia hÕt cho 6. Chøng minh r»ng víi mäi n nguyªn d­¬ng ta cã: n3 + 2n chia hÕt cho 3. b. 62n + 3n + 2 + 3n chia hÕt cho 11. Chøng minh r»ng víi mäi n nguyªn d­¬ng ta cã: 2n ³ n + 2. b. £ n + 1. Chøng minh r»ng víi mäi n nguyªn d­¬ng ta cã: 12 + 22 + ... + n2 = . 13 + 23 + ... + n3 = . c. 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)2. d. + + ... + = . Đóng góp có trách nhiệm khi sử dụng hiệu quả bài giảng này: Học sinh: 5.000đ. Học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: 15.000đ. Giáo viên: 20.000đ. Tích tổng số tiền trên 100.000đ bạn gửi về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ