Bài giảng môn Toán lớp 9 - Tính đơn điệu của hàm số

KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Cho hàm số (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. · Tập xác định: D = R. . (1) đồng biến trên R Û Û Cho hàm số (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng . · Cho hàm số có đồ thị (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng · có . Hàm số đồng biến trên các khoảng Do đó: hàm số đồng biến trên Cho hàm số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để hàm đồng biến trên . · Hàm đồng biến trên với với Ta có: Lập bảng biến thiên của hàm trên , từ đó ta đi đến kết luận: Cho hàm số (1), (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2). · Ta có + , Þ thoả mãn. + , có 3 nghiệm phân biệt: . Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi . Vậy . Cho hàm số (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng . · Tập xác định: D = R \ {–m}. . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Û (1) Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảngthì ta phải có (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: . KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. · PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: Û (Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x PT (1) có 3 nghiệm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û Û Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. · . (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung Û PT có 2 nghiệm trái dấu Û Û . Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. · TXĐ: D = R ; . Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung Û có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu Û Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng . · Ta có: . Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt (*) Gọi hai điểm cực trị là Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: Các điểm cực trị cách đều đường thẳng xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng (thỏa mãn) TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng Vậy các giá trị cần tìm của m là: Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. · Ta có: ; . Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3) A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x Û Û Û Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: . · ; . Hàm số có CĐ, CT Û PT có 2 nghiệm phân biệt Û . Khi đó 2 điểm cực trị là: Þ Trung điểm I của AB có toạ độ: Đường thẳng d: có một VTCP . A và B đối xứng với nhau qua d Û Û Û Cho hàm số (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: . · Ta có Hàm số có cực đại, cực tiểu Û có hai nghiệm phân biệt Ta có: Tại các điểm cực trị thì , do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình: Như vậy đường thẳng D đi qua các điểm cực trị có phương trình nên D có hệ số góc . d: Þ d có hệ số góc Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ^ D Þ Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I Î d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. Vậy: m = 0 Cho hàm số (1) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: . · Hàm số có CĐ, CT Û Ta có Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là , I là trung điểm của AB. ; và: Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là A, B đối xứng qua (d): Û Û . Cho hàm số , với là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với . 2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho . · Ta có + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại PT có hai nghiệm phân biệt PT có hai nghiệm phân biệt là . + Theo định lý Viet ta có Khi đó: (2) + Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là và Cho hàm số , với là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với . 2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho . · Ta có: Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt (giả sử ) (*) Hàm số đạt cực trị tại các điểm . Khi đó ta có: Kết hợp (*), ta suy ra Cho hàm số , với là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với . 2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho . · Ta có: Hàm số có cực đại và cực tiểu Û có hai nghiệm phân biệt Û (luôn đúng với "m) Khi đó ta có: Û . Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị thỏa . · . Ta có: Þ hàm số luôn có 2 cực trị . Khi đó: Câu hỏi tương tự: a) ; ĐS: . Cho hàm số , m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. · Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương PT có 2 nghiệm dương phân biệt Cho hàm số (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. · Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2). Xét biểu thức ta có: Þ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: . Do đó MA + MB nhỏ nhất Û 3 điểm A, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của d và AB. Phương trình đường thẳng AB: Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: Þ Cho hàm số (m là tham số) (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. · YCBT Û phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: . Û Û . Cho hàm số (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. · Ta có Hàm số (1) có cực trị thì PT có 2 nghiệm phân biệt có 2 nhiệm phân biệt Khi đó: điểm cực đại và điểm cực tiểu Ta có . Cho hàm số (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). · . PT có Þ Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị . Chia y cho y¢ ta được: Khi đó: ; PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là . Cho hàm số có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: . · Ta có: . Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt (*) Gọi hai điểm cực trị là Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d: Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d: (thỏa mãn) Cho hàm số có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: một góc . · Ta có: . Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt (*) Gọi hai điểm cực trị là Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: Đặt . Đường thẳng d: có hệ số góc bằng . Ta có: Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: Cho hàm số (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho . · Ta có: ; Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(-2 ; m + 4) . Để thì Cho hàm số (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . 2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố định. · ; Điểm cực đại chạy trên đường thẳng cố định: Điểm cực tiểu chạy trên đường thẳng cố định: Cho hàm số (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. · . Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại Û PT có 1 nghiệm Û Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. · Ta có Hàm số có CĐ, CT Û PT có 3 nghiệm phân biệt Û (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: Þ Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi DABC vuông tại A Û (thoả (*)) Cho hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. · Ta có Hàm số có CĐ, CT Û PT có 3 nghiệm phân biệt Û (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: Þ Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi Û Û Û . Câu hỏi tương tự đối với hàm số: Cho hàm số có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng . · Ta có ; (m < 0) Khi đó các điểm cực trị là: ; . DABC cân tại A nên góc chính là . Vậy . Cho hàm số có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng . · Ta có Hàm số đã cho có ba điểm cực trị PT có ba nghiệm phân biệt và đổi dấu khi đi qua các nghiệm đó . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là: ; Câu hỏi tương tự: a) ĐS: Cho hàm số có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4. · Ta có Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm phân biệt (*) Với điều kiện (*), phương trình có 3 nghiệm . Hàm số đạt cực trị tại . Gọi là 3 điểm cực trị của (Cm) . Ta có: cân đỉnh A Gọi M là trung điểm của BC Vì cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó: Vậy . Câu hỏi tương tự: a) , S = 32 ĐS: KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 (m là tham số) (1) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau. · PT hoành độ giao điểm của (1) và d: d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û Khi đó: là các nghiệm của PT: Þ Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là và tại C là Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau Û Û Û Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng (d): . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. · Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): Û Û d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P Û Khi đó: là các nghiệm của PT: Þ Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là và tại P là Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau Û Û Û Cho hàm số (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau. · PT đường thẳng (d): + PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): Û Û + (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N Û PT có 2 nghiệm phân biệt, khác 2 Û (*) + Theo định lí Viet ta có: + Các tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau Û Û (thoả (*)) Cho hàm số (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. · PT hoành độ giao điểm (1) Û (1) luôn có 1 nghiệm () Þ (d) luôn cắt (C) tại điểm M(–1; 2). (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm phân biệt, khác –1 Û (*) Tiếp tuyến tại N, P vuông góc Û Û (thoả (*)) Cho hàm số ( là tham số) (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. · Để ĐTHS (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương, ta phải có: (*) Trong đó: + Þ + + Suy ra: (*) Cho hàm số có đồ thị . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –1. 2) Tìm m để cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn hơn 15. · YCBT Û (*) có 3 nghiệm phân biệt thỏa . Ta có: (*) Û Do đó: YCBT Û có 2 nghiệm phân biệt khác 1 và thỏa . Câu hỏi tương tự đối với hàm số: Cho hàm số , trong đó là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. · Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Đường thẳng đi qua điểm uốn của đồ thị (C) Cho hàm số có đồ thị (Cm), trong đó là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi . 2) Tìm để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. · Hoành độ các giao điểm là nghiệm của phương trình: (1) Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là ta có: Để lập thành cấp số cộng thì là nghiệm của phương trình (1) Thử lại ta có là giá trị cần tìm. Cho hàm số có đồ thị (Cm), trong đó là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi . 2) Tìm để (Cm) cắt đường thẳng d: tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân. · Xét phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d: Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt lập thành cấp số nhân. Khi đó ta có: Suy ra: Vì nên ta có: Đk đủ: Với , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn. Vậy Cho hàm số có đồ thị là (Cm) (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1. 2) Cho đường thẳng (d): và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng . · Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là: (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. (*) Khi đó: . Mặt khác: . Do đó: (thỏa (*)). Vậy . Cho hàm số có đồ thị là (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi là đường thẳng đi qua điểm với hệ số góc . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng . · Ta có: Û Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là: hoặc cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Khi đó các giao điểm là . Cho hàm số có đồ thị là (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng . · Ta có: E(1; 0). PT đường thẳng D qua E có dạng . PT hoành độ giao điểm của (C) và D: D cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û PT có hai nghiệm phân biệt khác 1 Û Þ Û Vậy có 3 đường thẳng thoả YCBT: . Cho hàm số có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –3. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. · Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: Xét hàm số: Ta có bảng biến thiên: Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất . Cho hàm số có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. · Cho hàm số có đồ thị là (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Định m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. · PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): Û Û (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt Û PT có 2 nghiệm phân biệt khác 2 Û Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đường thẳng (D): cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt. · Phương trình hoành độ giao của (C) và (D): Û (D) cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt Û (1) phải có nghiệm thỏa mãn: Û Û Û Vậy:  ; . Cho hàm số có đồ thị (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt. · Để (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt thì (Cm) phải có 2 điểm cực trị Þ có 2 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt Û Khi đó . (Cm) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt yCĐ = 0 hoặc yCT = 0 Ta có: + (loại) + Vậy: Cho hàm số có đồ thị là 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi . 2) Định m để đồ thị cắt trục trục hoành tại bốn điểm phân biệt. · Cho hàm số có đồ thị là . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi . 2) Định để đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. · Xét phương trình hoành độ giao điểm: (1) Đặt thì (1) trở thành: . Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì phải có 2 nghiệm dương phân biệt (*) Với (*), gọi là 2 nghiệm của , khi đó hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox lần lượt là: lập thành cấp số cộng Vậy Câu hỏi tương tự đối với hàm số ĐS: . Cho hàm số có đồ thị là (Cm), m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. · Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng : Û Û Đường thẳng cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 và nhỏ hơn 2 Û Û Cho hàm số có đồ thị là (Cm), m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3. · Xét phương trình hoành độ giao điểm: (1) Đặt thì (1) trở thành: . (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 có 2 nghiệm phân biệt sao cho: Vậy: . Cho hàm số (1), với m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .. 2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi . · Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và trục Ox: (1) Đặt , (1) trở thành : (2) Ta có : và với mọi . Nên (2) có nghiệm dương Þ (1) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt Þ đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt. Cho hàm số có đồ thị là (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Chứng minh rằng đường thẳng d: luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. · PT hoành độ giao điểm của (C) và d: Û Do (1) có và nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B. Ta có: nên Suy ra AB ngắn nhất Û nhỏ nhất Û . Khi đó: . Câu hỏi tương tự đối với hàm số: a) ĐS: m = 2 b) ĐS: Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN. · Phương trình đường thẳng d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N có 2 nghiệm phân biệt khác . Û có 2 nghiệm phân biệt khác Û Mặt khác: I là trung điểm MN với . Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là với . Cho hàm số (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho . · Phương trình đường thẳng Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm phân biệt sao cho (a) (I). Ta có: (I) có hai nghiệm phân biệt Û PT có hai nghiệm phân biệt. Û Ta biến đổi (a) trở thành: (c) Theo định lí Viet cho (b) ta có: thế vào (c) ta có phương trình: . Kết luận: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên. Cho hàm số (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đường thẳng (d): cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho . · PT hoành độ giao điểm: Û (1) d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Û (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û (2) Khi đó ta có: . Gọi . AB2 = 5 Û Û Û Û (thoả (2)) Vậy: . Cho hàm số (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . 2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho . · PT hoành độ giao điểm: d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt khác (**) Khi đó gọi là các nghiệm của (*), ta có Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là . Suy ra Theo giả thiết ta được Kết hợp với điều kiện (**) ta được là giá trị cần tìm. Cho hàm số (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đường thẳng d: cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho DOAB vuông tại O. · Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: (*) (*) có và (*) không có nghiệm x = 1. Þ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là . Theo định lí Viét: Khi đó: vuông tại O thì Vậy: m = –2. Cho hàm số: . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) luôn có cặp điểm A, B nằm về hai nhánh của (C) và thỏa . · Ta có: Þ A, B là giao điểm của (C) và (d). Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): (*). (*) có Þ (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Và hoặc (đpcm). KSHS 04: TIẾP TUYẾN Cho hàm số (1) (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 2. 2) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: góc , biết . · Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tiếp tuyến có VTPT Đường thẳng d có VTPT . Ta có YCBT thoả mãn Û ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: Û Û Û Û Û hoặc Cho hàm số có đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = . · Giả sử thuộc (C), với . Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên: Û Û . Vì nên Ta có: Mà nên (*) Đặt . Khi đó (*) trở thành: Þ Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là: . Cho hàm số (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên đường thẳng (d): các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). · Các điểm cần tìm là: A(2; –2) và B(–2; 2). Cho hàm số (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). · Gọi . PT đường thẳng D đi qua điểm M và có hệ số góc k có dạng : D là tiếp tuyến của (C) Û hệ PT sau có nghiệm (*).