Bài giảng môn toán lớp 7 - Phương trình bậc hai với các hàm lượng giác - phần 2

Ban Toán - 1 PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI CÁC HÀM LƢỢNG GIÁC ------phần 2----- Phần hai của bài giảng tiếp tục giới thiệu đến các bạn những ví dụ minh họa, đồng thời bổ sung phần bài tập tự luyện Ví dụ 19: Giải phương trình:    4 2 1 2 48 1 cot 2 cot 0 * os sin x x c x x     Điều kiện: sin 2 0x  Ta có: os2 osx 1 cot 2 cot 1 . sin 2 sinx c x c x x x    sin 2 .s inx os2 .cos sinx.sin 2 x c x x x   2 2 cos 1 2sin .cos 2sin x x x x   (do cos 0x  ) Lúc đó   4 2 1 2 * 48 0 os sinc x x     4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 2 2 1 1 sin os 48 os sin sin . os 48sin cos sin cos 3sin 2 1 2sin os x c x c x x x c x x x x x x xc x                4 2 2 2 1 3sin 2 sin 2 1 0 2 2 sin 2 ( ) 1 13 1 os4 1 2 2 sin 2 2 os4 0 4 2 8 4 x x x l c x x c x x k k x k Z                            Ví dụ 20: Giải phương trình:    8 8 10 10 5 sin os 2 sin os os2 * 4 x c x x c x c x    Ta có:      8 10 8 10 5 * sin 2sin os 2cos os2 4 x x c x x c x        8 2 8 2 5 sin 1 2sin os 1 2cos os2 4 x x c x x c x      Ban Toán - 2 8 8 5 sin . os2 os . os2 os2 4 x c x c x c x c x          8 8 8 8 4 4 4 4 2 4cos 2 sin os 5 os2 os2 0 os2 0 4 sin os 5 4 sin os sin os 5 os2 0 2sin 2 1( ) 2 , 2 , 4 2 x x c x c x c x c x x c x x c x x c x c x x l x k k Z k x k Z                                  Cách khác: Ta có:  8 84 sin os 5x c x  (Vô nghiệm) Vì  8 8sin os 1,x c x x   nên  8 84 sin os 4 5,x c x x    Ghi chú: Khi gặp phương trình lượng giác dạng  t anx,cot ,sin 2 , os2 , tan 2R x x c x x với R là hàm hữu tỉ thì đặt t anxt  . Lúc đó 2 2 2 2 2 2 1 tan 2 ,sin 2 , os2 1 1 1 t t t x x c x t t t        . Ví dụ 21: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003) Giải phương trình  2 os2 1 cot 1 sin sin 2 * 1 t anx 2 c x x x x     Điều kiện: sin 2 0 t anx 1x     Đặt t anxt  thì  * trở thành: 2 22 2 2 1 1 1 1 1 211 1 . 1 2 1 2 1 t t tt t t t t             2 2 2 2 1 1 1 2 . 1 2 1 1 t t t t t t t t          (do 1t   )          22 2 2 2 2 2 2 11 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 ( / ) 1 1 2 1 0 ( ) tt t t t t t t t t t t t t m t t t t t VN                           Vậy  * tanx 1 ( / ) 4 x k t m       . Ban Toán - 3 Ví dụ 22: Giải phương trình:  sin 2 2 tan 3 *x x  Điều kiện: cos 0x  Đặt t anxt  thì  * trở thành: 2 2 2 3 1 t t t          2 2 2 2 2 3 1 0 1 2 3 0 1 2 3 0( ) t t t t t t t t t VN                 Vậy    * tanx 1 4 x k k Z        . Ví dụ 23: Giải phương trình:   2 cot t anx 4sin 2 * sin 2 x x x    Điều kiện: sin 2 0x  Đặt t anxt  thì: 2 2 sin 2 1 t x t   do sin 2 0x  nên 0t   * trở thành: 2 2 1 8 1 1 1 t t t t t t t t        2 2 8 4 2 1 1 t t t t t t       2 3 3t t      * t anx tan 3 , 3 x k k Z                 Ví dụ 24: Giải phương trình:     1 t anx 1 sin 2 1 t anx *x    Điều kiện: cos 0x  Đặt t anxt  thì  * trở thành:          2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 t t t t t t t t t t t t t t t t t                                 Ban Toán - 4 Do đó     t anx 1 * 4 t anx 0 x k k Z x k               . Ví dụ 25: Cho phương trình    os2 2 1 cos 1 0 *c x m x m     a. Giải phương trình khi 3 2 m  b. Tìm m để  * có nghiệm trên 3 ; 2 2        Ta có    2* 2cos 2 1 cos 0x m x m          2 cos 1 2 2 1 0 cos 1 1 2 t x t t m t m t x t t t m                    a. Khi 3 2 m  , phương trình trở thành: 1 3 cos cos 2 2 x x   (loại)  2 3 x k k Z       . b. Khi 3 ; 2 2 x        thì  cos 1;0x t   do   1 1;0 2 t    nên:  * có nghiệm trên   3 ; 1;0 2 2 m          Ví dụ 26: Cho phương trình:     2cos 1 os2 cos sin *x c x m x m x   a. Giải  * khi 2m   b. Tìm m sao cho  * có đúng 2 nghiệm trên 2 0; 3       Ta có       2* cos 1 os2 cos 1 osx c x m x m c x            2 2 cos 1 2cos 1 cos 1 cos 0 cos 1 2cos 1 0 x x m x m x x x m               a. Khi 2m   thì  * trở thành: Ban Toán - 5      2cos 1 2cos 1 0 cos 1 2 x x x x k k Z            b. Khi 2 0; 3 x       thì 1 cos ;1 2 x t         Nhận xét rằng với mỗi t trên 1 ;1 2       ta chỉ tìm được duy nhất một x trên 2 0; 3       . Yêu cầu bài toán 22 1 0t m    có đúng 2 nghiệm trên 1 ;1 2       . Xét  22 1y t P  và  y m d Ta có: ' 4y t Vậy  * có đúng 2 nghiệm trên 2 0; 3         d cắt  P tại hai điểm phân biệt trên 1 ;1 2        1 1 2 m   . Ví dụ 27: Cho phương trình    2 2 1 tan 1 3 0 1 cos a x a x      a) Giải (1) khi 1 2 a  b) Tìm a để  1 có nhiều hơn một nghiệm trên 0; 2       Điều kiện: cos 0 2 x x k           2 21 1 sin 2cos 1 3 os 0a x x a c x                   2 2 2 2 1 1 os 2cos 1 3 os 0 4 cos 2cos 1 0 4cos 1 2cos 1 0 2cos 1 2cos 1 1 0 a c x x a c x a x x a a x x x a x                         a. Khi 1 2 a  thì  1 trở thành:   1 2cos 1 cos 0 2 x x           1 cos os 2 3 2 3 x c x k k Z            b. Khi 0; 2 x       thì  cos 0;1x t  Ban Toán - 6 Ta có:       1 cos 1 0;1 21 2 cos 1 2 x a x a        Yêu cầu bài toán  2 có nghiệm trên   0 1 1 0;1 \ 0 1 2 2 1 1 2 2 a a a a a                   0 0 11 0 12 0 1 3 3 0 12 2 1 2 2 a aa a a a a a a a a                          Cách khác: Đặt 1 cos u x  , điều kiện 1u  . Phương trình trở thành:          2 2 1 1 2 1 3 0 1 2 4 0 2 1 2 0 a u u a a u u a u a u a                   Ví dụ 28: Cho phương trình:  os4 6sin cos 1c x x x m  a. Giải  1 khi 1m  b. Tìm m để  1 có 2 nghiệm phân biệt trên 0; 4       Ta có:   21 1 2sin 2 3sin 2x x m       2 sin 2 1 2 3 1 0 2 t x t t t m          a. Khi 1m  thì  1 trở thành:     2 sin 2 1 sin 2 1 3 0 ( )2 3 0 2 t x t t x t t t lt t               sin 2 0 2 k x x      b. Khi 0; 4 x       thì  sin 2 0;1x t  Ban Toán - 7 Nhận thấy rằng mỗi t tìm được trên  0;1 ta chỉ tìm được duy nhất một 0; 4 x       . Ta có:   22 2 3 1t t m    Xét 22 3 1y t t    trên  0;1 thì ' 4 3y t   Yêu cầu bài toán  d y m  cắt tại hai điểm phân biệt trên  0;1 17 2 8 m   Cách khác: đặt   22 3 1f x t t m    . Vì 2 0a   , nên ta có Yêu cầu bài toán     17 8 0 0 1 0 17 21 2 0 8 3 0 1 2 4 m f m mf m S                      . Ví dụ 29: Cho phương trình:  5 5 24cos .sin 4sin .cos sin 4 1x x x m   a/ Biết rằng x  là nghiệm của (1). Hãy giải (1) trong trường hợp đó. b/ Cho biết 8 x    là một nghiệm của (1). Hãy tìm tất cả nghiệm của (1) thỏa mãn: 4 23 2 0x x            4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4sin cos cos sin sin 4 2sin 2 cos sin cos sin sin 4 2sin 2 .cos 2 sin 4 sin 4 sin 4 0 1 x x x x x m x x x x x x m x x x m x x m                 a/ x  là nghiệm của   21 sin 4 sin 4 0 0m m       Lúc đó    1 sin 4 1 sin 4 0x x     4 4 4 2 2 8 2 k x k x k Z kx k x                    b/ 2 2 4 2 2 0 0 3 2 0 1 23 2 0 t x t x x x tt t                    21 2 1 2 2 1 1 2 * x x x x               8 x    thì sin 4 sin 1 2 x          8 x    là nghiệm của  1 1 1 0m    2m  Ban Toán - 8 Lúc đó  1 trở thành: 2sin 4 sin 4 2 0x x       2 sin 4 1 2 0 sin 4 1 1 2( ) sin 4 1 4 2 2 8 2 t x t t t t x t t t l x x k k x                                 Kết hợp với điều kiện  * suy ra 1k  . Vậy  1 có nghiệm 3 8 2 8 x        thỏa mãn 4 23 2 0x x   . Ví dụ 30: Tìm a để hai phương trình sau tương đương:      2 2cos . os2 1 cos 2 cos3 1 4cos cos3 cos 4 1 cos 2 2 x c x x x x x a x a x         Ta có:  1 cos3 cos 1 cos2 cos3x x x x      2cos 1 2cos 1 0 1 cos 0 cos 2 x x x x          Ta có:      2 3 22 4cos 4cos 3cos cos 4 2cosx x a x a x         3 2cos 4 2 cos 3 cos 0x a x a x      2 cos 0 4cos 2 2 cos 3 0 x x a x a         cos 0x  hay   1 cos 2cos 3 0 2 x x a          1 3 cos 0 cos cos 2 2 a x x x        Vậy yêu cầu bài toán 3 0 2 3 3 1 4 2 2 1 5 3 3 1 1 2 2 a a a a a a a a                      Ban Toán - 9 Ví dụ 31: Cho phương trình:  2 2cos4 cos 3 sin *x x a x  a. Giải phương trình khi 1a  b. Tìm a để  * có nghiệm trên 0; 12       Ta có:       1 * cos 4 1 cos6 1 cos 2 2 2 a x x x                           2 3 2 3 3 2 2 2 2cos 2 1 1 4cos 2 3cos 2 1 cos 2 cos 2 1 2 2 1 1 4 3 1 cos 2 1 4 4 3 3 1 cos 2 1 1 4 3 1 ** x x x a x t x t t t t a t t x t t t t a t t x t t t a t                                        a/ Khi 1a  thì  * trở thành:          2 2 2 cos 2 1 cos 2 1 1 4 4 0 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 0 2 , 2 t x t t x t t t t x x x x k x x k x k Z                                   b/ Ta có: 0; 2 0; 12 6 x x                . Vậy 3 cos2 ;1 2 x t         Vậy       2** 1 4 3 1t t a t      24 3t a   (do 1t  ) Xét  24 3y t P  trên 3 ;1 2        3 ' 8 0, ;1 2 y t t            Do đó  * có nghiệm trên  0; : 12 d y a        cắt  P trên 3 ;1 2        Ban Toán - 10   3 1 0 1 2 y a y a             BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải các phƣơng trình sau 1.  6 6sin cos sin 2 1x x a x  a. Giải phương trình khi 1a  . b. Tìm a để  1 có nghiệm (ĐS: 1 4 a  ) 2. Cho phương trình:   6 6 2 2 sin cos 2 tan 2 1 os sin x x m x c x x    a. Giải phương trình khi 1 8 m  b. Tìm m sao cho  1 có nghiệm (ĐS: 1 8 m  ) 3. Tìm m để phương trình: sin 4 tanx m x có nghiệm x k (ĐS: 1 4 2 m   ) 4. Tìm m để phương trình cos3 cos2 cos 1 0x x m x    có đúng 7 nghiệm trên ;2 2         (ĐS:1 3m  ) 5. Tìm m để phương trình:    4 4 6 6 24 sin cos 4 sin cos sin 4x x x x x m     có nghiệm (ĐS: 1 1 8 m   ) 6. Cho phương trình:  2 2 26sin cos cos 2 1x x m x  a. Giải phương trình khi 3m  b. Tìm m để  1 có nghiệm (ĐS: 0m  ) Tìm m để phương trình: 4 22 1sin cos 4 sin 4 sin 0 4 4 m m x x x x      có 2 nghiệm phân biệt trên ; 4 2        (ĐS: 1 2 5 4 2 m   ) 7. Tìm m để phương trình:  6 6 4 4sin cos sin cosx x m x x   có nghiệm (ĐS: 1 1 2 m  ) 8. Cho phương trình: 2 2cos4 cos 3 sinx x a x  . Tìm a để phương trình có nghiệm 0; 2 x       (ĐS:0 1a  )