Bài giảng môn toán lớp 7 - Nhận dạng tam giác (tiếp)

Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán 1 NHẬN DẠNG TAM GIÁC --------PHẦN 2-------- IV. TAM GIÁC ĐỀU Cách giải Muốn chứng minh tam giác ABC đều ta chứng minh : Tam giác ABC cân và có một góc bằng 060 hoặc a b c  hoặc A B C  hoặc lấy dấu bất đẳng thức hoặc sử dụng phương pháp tổng bình phương. Ví dụ 1. Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu    3 2 * .bc R b c a     Giải Ta có :    * 2 sin .2 sin 3 2 2 sin 2 sin 2 sinR B R C R R B R C R A          2 3 sin sin 2 sin sin sin cos sin cos 1 3 1 3 2sin 1 cos sin 2sin 1 cos sin 0 2 2 2 2 sin 1 cos sin 1 cos 0 1 3 3 B C B C B C C B B C C C B B B C C B                                                        Do sin 0C  và 1 cos 0 3 C         sin 0B  và 1 cos 0 3 B         Nên vế trái của (1) luôn 0 Do đó   cos 1 3 1 3 cos 1 3 C B C ABC B                          đều Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán 2 Ví dụ 2. Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu     3 3 3 2 3 sin sin 1 4 2 B C a b c a a b c          Giải Ta có          3 2 2 3 3 3 2 3 3 2 2 2 2 a a b a c a b c a b c b c a b c b c b bc c                 2 2 2a b bc c    2 2 2 22 cosb bc A c b bc c      (theo định lý hàm số cosin) 22 cos 1 cos . 2 3 bc A c bc A A         Ta có             1 4sin sin 3 2 cos cos 3 2 cos cos 3 1 2cos 2 3 2 cos 1 B C B C B C B C A B C B C B C                              Vậy tam giác ABC đều. Ví dụ 3. Chứng minh tam giác ABC đều nếu sin sin sin sin 2 sin 2 sin 2 .A B C A B C     Giải Ta có    sin 2 sin 2 2sin cosA B A B A B    Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán 3    sin cos 2sin 1 .C A B C   Dấu “=” xảy ra khi  cos 1.A B  Tương tự sin 2 sin 2 2sin .B C A  (2) Dấu “=” xảy ra khi  cos 1.A B  sin 2 sin 2 2sin .A C B  (3) Dấu “=” xảy ra khi  cos 1.A C  Từ (1), (2), (3) ta có : sin 2 sin 2 sin 2 sin sin sinA B C A B C     Dấu “=” xảy ra khi       cos 1 cos 1 cos 1 A C B C A B C A B            ABC đều. Ví dụ 4. Cho tam giác ABC thỏa mãn  2 2 2 1 1 1 1 * sin 2 sin 2 sin 2 2cos cos cosA B C A B C    Chứng minh rằng tam giác ABC đều Giải Ta có :   2 2 2 2 2 2* sin 2 .sin 2 sin 2 .sin 2 sin 2 .sin 2B C A C A B       sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 2cos cos cos 4sin sin sin sin 2 sin 2 sin 2 A B C A B C A B C A B C A B C   Mà      4sin sin sin 2 cos cos sinA B C A B A B A B       Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán 4         2 cos cos sin 2sin cos 2cos sin sin 2 sin 2 sin 2 A B A B C C C A B A B C A B              Do đó với điều kiện tam giác ABC không vuông ta có     2 2 2 2 2 2 2 2 2 * sin 2 .sin 2 sin 2 .sin 2 sin 2 .sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 B C A C A B A B C A B C A B C A B C A B C          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin 2 .sin 2 2sin 2 .sin 2 2sin 2 .sin 2 2sin 2 sin 2 sin 2 2sin 2 sin 2 sin 2 2sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 B C A C A B A B C A B C A B C B C A B A C A B A B C B C C B                A B C ABC    đều. Ví dụ 5. Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu   cos cos cos 2 * sin sin sin 9 a A b B c C p a B b C c A R      Giải Ta có :           cos cos cos 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos sin 2 sin 2 sin 2 2sin cos 2sin cos 2 sin cos cos 4 sin sin sin a A b B c C R A A R B B R C C R A B C R A B A B C C R C A B A B R C A B                      Cách 1. Ta có :   3 2 2 2 sin sin sin 2 sin sin sin sin sin sin 6 sin sin sin a B b C c A R A B B C C A R A B C       Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán 5 Do đó  3 cos cos cos 2 sin sin sin 1 sin sin sin 3 a A b B c C A B C a B b C c A      Mà    3 2 2 2 sin sin sin sin sin sin 2 9 9 9 3 p a b c A B C A B C R R        Từ (1) và (2) ta có :  * sin sin sinA B C ABC    đều. Cách 2. Ta có   4 sin sin sin * sin sin sin 9 R A B C a b c a B b C c A R          4 2 2 2 9 2 2 2 9 a b c R a b cR R R b c a R a b c R R R abc a b c ab bc ca                                        Do bất đẳng thức Cauchy ta có 3 3 2 2 2 3 3 a b c abc ab bc ca a b c       Do đó    9a b c ab bc ca abc     Dấu “=” xảy ra khi a b c ABC   đều. V. NHẬN DẠNG TAM GIÁC Ví dụ 1. Cho tam giác ABC thỏa mãn  cos cos sin sin *a B b A a A b B   . Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoặc cân. Giải Áp dụng định lý hàm sin ta có 2 sin , 2 sin .a R A b R B  Nên Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán 6                   2 2 2 2 * 2 sin .cos 2 sin cos 2 sin sin sin cos sin cos sin sin 1 sin cos 2 cos 2 2 sin sin .sin sin 1 sin 0 R A B R B A R A B A B B A A B A B B A A B A B B A A B B A                                sin 0 .sin 1 2 A B A B A BA B           Vậy tam giác ABC cân tại C hoặc vuông tại C. (đpcm) Ví dụ 2. Tam giác ABC là tam giác gì nếu          2 2 2 2sin sin *a b A B a b A B     Giải Ta có :                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * 4 sin 4 sin sin 4 sin 4 sin sin sin sin sin sin sin sin 0 2sin cos sin 2sin sin cos 0 R A R B A B R A R B A B A A B A B B A B A B A A B B A B                          sin cos sin cos 0A A B B   (do sin 0, sin 0A B  ) sin 2 sin 2A B  2 2 2 2 2 A B A B A B A B              Vậy tam giác ABC cân tại C hoặc vuông tại C. Ví dụ 3. Tam giác ABC là tam giác gì nếu :     2 2sin 2 sin 2 4 cos sin 1 sin 2 sin 2 4sin sin 2 a B b A ab A B A B A B       Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán 7 Giải Ta có :   2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 sin sin 2 4 sin sin 2 16 sin sin cos sin sin 2 sin sin 2 4sin sin cos R A B R B A R A B A A B B A A B A       sin cos sin cos 2sin cosA B B A B A   (do sin 0, sin 0A B  )   sin cos sin cos 0 sin 0 . A B B A A B A B         Thay vào (2) ta được : 2 2sin 2 2sin 2sin .cos 2sin cos sin tan 1 . 4 A A A A A A A A A           Do đó tam giác ABC vuông cân tại C. Bài tập vận dụng Tam giác ABC là tam giác gì nếu a)  tan tan tan 2 A B a B b A a b     b) cos2 sin 2c c B b B  c) sin3 sin3 sin3 0A B C   d)   4S a b c a c b     Bài tập vận dụng Chứng minh tam giác ABC đều nếu a)  2 cos cos cosa A b B c C a b c     b)  2 3 3 33 2 sin sin sinS R A B C   c) sin sin sin 4sin sin sinA B C A B C   d) 9 2 a b c R m m m   với , ,a b cm m m là 3 đường trung tuyến e) cot cot cot tan tan tan 2 2 2 A B C A B C     Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán 8