Bài giảng môn toán lớp 7 - Nhận dạng tam giác

Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01675 568 295 https://www.facebook.com/trinh.phuonglien 1 NHẬN DẠNG TAM GIÁC -----------Phần 1--------- I. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC Cách giải - Biến đổi điều kiện đã cho + Dựa vào mối liên hệ tổng ba góc trong một tam giác + Áp dụng các công thứ biến đổi lượng giác : công thức cộng, công thức nhân, công thức góc nhân đôi, công thức hạ bậc - Từ kết quả nhận được tính giá trị của góc cần tìm Ví dụ 1. Tính các góc của tam giác biết         3 sin sin cos * . 2 B C C A A B      Giải Do A B C    nên (*) 3 sin sin cos 2 A B C    2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2sin cos 2cos 1 2 2 2 2 1 2sin cos 2cos 2 2 2 2 4cos 4cos .cos 1 0 2 2 2 2cos cos 1 cos 0 2 2 2 2cos cos sin 0 2 2 2 2cos cos 0 2 2 sin 0 2 A B A B C C A B C C C A B C A B A B C A B A B C A B A B                                                    2 2cos cos 1 32 2 cos 1 . 2 3 C A B C A B A B                   Ví dụ 2. Tính các góc của tam giác ABC biết     5 cos 2 3 cos 2 cos 2 0 * . 2 A B C    Giải Ta có      2 5 * 2cos 1 2 3 cos .cos 0 2 A B C B C       Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01675 568 295 https://www.facebook.com/trinh.phuonglien 2  24cos 4 3 cos .cos 3 0A A B C                 2 2 2 2 0 0 2cos 3 cos 3 3cos 0 2cos 3 cos 3sin 0 sin 0 3 cos cos 2 3 cos 2 75 . 30 A B C B C A B C B C B C A B C B C A B C A                                        Ví dụ 3. Chứng minh tam giác ABC có góc 0120C  nếu  sin sin sin 2sin .sin 2sin * 2 2 2 A B C A B C    Giải Ta có (1) 2sin cos 2sin .cos 2sin .sin 2sin 2 2 2 2 2 2 2 A B A B C C A B C      2cos cos 2sin .cos 2sin .sin 2cos 2 2 2 2 2 2 2 2cos cos sin cos .cos 2 2 2 2 2 C A B C C A B A B C A B C A B               2cos cos cos cos .cos 2 2 2 2 2 C A B A B A B         0 2cos .cos .cos cos .cos 2 2 2 2 2 1 cos . cos 0 à cos 0 ì 0 ; 2 2 2 2 2 2 2 120 . C A B A B C A B A B do v v C                 Ví dụ 4. Tính các góc của tam giác ABC biết số đo 3 góc của tam giác tạo nên cấp số cộng và 3 3 sin sin sin . 2 A B C     Giải Không mất tính tổng quát của bài toán, giả sử .A B C  Ta có A, B, C tạo nên cấp số cộng nên 2 .A C B  Mà 3 A B C B       . Khi đó : Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01675 568 295 https://www.facebook.com/trinh.phuonglien 3 3 3 sin sin sin 2 A B C     3 3 sin sin sin 3 2 3 sin sin 2 3 2sin .cos 2 2 2 3 2cos .cos 2 2 2 3 3 2 .cos 2 2 2 3 cos cos . 2 2 6 A C A C A C A C B A C A C C A                         Do C A nên ABC có : 2 6 2 . 3 6 2 3 3 C A C B A C A B                             Ví dụ 5. Tính các góc của tam giác ABC biết ABC     2 2 2 1 sin sin sin 1 2 2 b c a A B C         Giải Áp dụng định lý hàm số cosin ta có 2 2 2 cos 2 b c a A bc    Do (1): 2 2 2b c a  nên cos 0 . 2 4 2 A A A           Vậy   2 cos cos * 2 4 2 A    Mặt khác sin sin sin sin 2sin .cos 2 2 2 sin 2cos cos 1 2 .1 2 2 2 B C B C A B C A A B C A                  Mà sin sin sin 1 2A B C    nên dấu bằng xảy ra khi Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01675 568 295 https://www.facebook.com/trinh.phuonglien 4 2 cos 2 2 2 sin 1 . cos 1 4 2 A A A B CB C                    Ví dụ 6. (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2004) Cho tam giác ABC không tù thỏa mãn điều kiện  cos2 2 2 cos 2 2 cos 3 * .A B C   Tính các góc của tam giác ABC Giải Cách 1. Đặt cos 2 2 2 cos 2 2 cos 3M A B C    . Ta có : 22cos 4 2 cos cos 4 2 2 B C B C M A      22cos 4 2 sin cos 4 2 2 A B C M A      Do sin 0 à cos 1 2 2 A B C v    nên 22cos 4 2 sin 4 2 A M A   Mặt khác ABC là tam giác không tù nên 20 0 cos 1 cos cos 2 A A A A         . Do đó 2 2 2 2 2cos 4 2 sin 4 2 2 1 2sin 4 2 sin 4 2 2 4sin 4 2 sin 2 2 2 2 1 2 sin 0. 2 A M A A A M A A M A M                             Từ giả thiết ta có M = 0. Vậy 0 2 0 cos 1 2 90 cos cos 45 . 1 sin 2 2 B C A A A B C A               Cách 2. Ta có :  * cos2 2 2 cos 2 2 cos 3 0A B C      22cos 1 4 2 cos cos 3 0 2 2 B C B C A        Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01675 568 295 https://www.facebook.com/trinh.phuonglien 5       2 2 2 2 2 cos 2 2 cos cos 2 0 2 2 cos cos cos 2 2 cos cos 2 0 2 2 cos cos 1 1 2sin 2 2 sin cos 2 0 2 2 2 cos cos 1 2 sin cos 1 cos 0 2 2 2 B C B C A B C B C A A A A A B C A A A B C B C A A                                                  2 2cos cos 1 2 sin cos sin 0 * 2 2 2 A B C B C A A             Do tam giác ABC không tù nên cos 0A và cos 1 0A  Vậy vế trái của (*) luôn 0. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 sin cos 2 2 cos 0 sin 0 2 A B C A B C          0 0 90 45 . A B C       Ví dụ 7. Chứng minh tam giác ABC có ít nhất một góc 060 khi và chỉ khi   sin sin sin 3 * . cos cos cos A B C A B C      Giải Ta có        * sin 3 cos sin 3 cos sin 3 cos 0 sin sin sin 0 3 3 3 2sin cos sin 0 2 3 2 3 2sin cos 2sin cos 0 2 2 3 2 2 6 2 6 2sin 2 A A B B C C A B C A B A B C C A B C C C                                                                                                 cos 2sin cos 0 6 2 2 6 2 6 2sin cos cos 0 2 6 2 2 6 sin 0 2 6 A B C C C A B C C                                                                      Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01675 568 295 https://www.facebook.com/trinh.phuonglien 6 cos cos cos 2 2 6 3 2 A B C A B                       3 2 6 3 2 3 2 . 3 C C B A B A B A                    Ví dụ 8. Cho tam giác ABC và 2 2 2cos cos cos 1.V A B    Chứng minh rằng : a) Nếu 0V  thì ABC có một góc vuông b) Nếu 0V  thì ABC có ba góc nhọn c) Nếu 0V  thì ABC có một góc tù Giải Ta có       2 2 1 1 1 cos 2 1 cos 2 cos 1 2 2 1 cos 2 cos 2 cos 2 V A B C V A B C                     2 2 cos cos cos cos .cos cos cos cos cos 2cos .cos .cos . V A B A B C V C A B C V C A B A B V C A B                      Do đó : a) 0 0 0 90cos 0 0 cos 0 90 cos 0 90 . AA V B B C C            b) 0 cos .cos .cos 0V A B C   cos 0 cos 0 cos 0 A B C       (Vì trong một tam giác không thể có nhiều hơn một góc từ nên không thể có trường hợp cos hai góc cùng âm) Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn c) 0 cos .cos .cos 0V A B C   cos 0 cos 0 cos 0 A B C       Vậy tam giác ABC có một góc tù. Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01675 568 295 https://www.facebook.com/trinh.phuonglien 7 Bài tập vận dụng Bài 1. Tính các góc của tam giác ABC biết a) 3 cos sin sin 2 A B C   . Đáp số: 2 ; . 6 3 B C A      b) sin6 sin6 sin6 0.A B C   Đáp số: 3 A B C     c) sin5 sin5 sin5 0A B C   Bài 2. Tính các góc của tam giác ABC biết a)   1 cot 1 cot 2A B   b) ,A B nhọn và 2 2 9sin sin sinA B C  Bài 3. Cho tam giác ABC có 2 2 2cos cos cos 1 sin 5 sin 5 sin 5 0 A B C A B C         Chứng minh rằng tam giác ABC có ít nhất một góc 036 Bài 4. Biết 2 2 2sin sin sin .A B C m   Chứng minh rằng a) 2m  thì tam giác ABC vuông b) 2m  thì tam giác ABC nhọn c) 2m  thì tam giác ABC tù II. CHỨNG MINH TAM GIÁC VUÔNG Cách giải Để chứng minh tam giác ABC vuông tại A, ta chứng minh một trong các điều sau : 2 2 2a b c  hoặc B C A  hoặc 090B C  hoặc sin 1A  hoặc cos 0A hoặc 2 sin 2 2 A  hoặc lấy dấu bất đẳng thức trong bất đẳng thức. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có cot . 2 B a c b   Chứng minh tam giác ABC vuông Giải Ta có cot 2 B a c b   cos 2sin cos 2 2 2 sin 2sin .cos 2 2 2 B A C A C B B C     cos 2 sin 2 sin sin sin2 2 sin sin sin 2 B R A R C A C B R B B      2cos cos .cos 2 2 2 B B A C   (do sin 0) 2 B  cos cos 2 2 B A C   (do cos 0 2 B  ) Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01675 568 295 https://www.facebook.com/trinh.phuonglien 8 0 0 902 2 90 . 2 2 B A C A B C A B C A C A B C               Vậy tam giác ABC vuông tại A hoặc tại C. Ví dụ 2. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A nếu cos cos sin .sin b c a B C B C   Giải Ta có   cos cos sin .sin 2 sin 2 sin 2 sin cos cos sin .sin sin .cos sin .cos sin cos .cos sin .sin sin sin cos .cos sin .sin b c a B C B C R B R C R A B C B C B C C B A B C B C B C A B C B C              cos .cos sin .sin cos .cos sin .sin 0 cos 0 . 2 B C B C B C B C B C B C             Vậy ABC vuông tại A Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có 1 cos .cos .cos sin .sin .sin . 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C   Chứng minh tam giác ABC vuông Giải Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01675 568 295 https://www.facebook.com/trinh.phuonglien 9   2 1 * cos .cos .cos sin .sin .sin 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 cos cos . cos cos cos .sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos . cos 1 sin cos .sin 2 2 2 2 2 2 sin .cos cos .cos 1 sin cos 2 2 2 2 2 A B C A B C A B A B C A B A B C A B A B C C A B C A B C A B C C                                                2 .sin 2 2 sin .cos cos .cos cos cos .sin 2 2 2 2 2 2 2 cos sin cos cos sin cos 2 2 2 2 2 2 sin cos cos cos 0 2 2 2 2 sin cos 2 2 cos cos 2 2 A B C C C A B C C A B C C C C A B C C C C C A B C C C A B                                          2 4 2 2 2 2 2 . 2 2 2 C A A B C C A B C C C B A B A C B                               . Ví dụ 4. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu    3 cos 2sin 4 sin 2cos 25.B C B C    Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có 2 2 2 2 3cos 4sin 9 16. cos sin 15 6sin 8cos 36 64. sin cos 10 B B B B C C C C              3 cos 2sin 4 sin 2cos 25.B C B C     Dấu “=” xảy ra khi cos sin 4 tan 3 4 3 sin cos 4 cot 6 8 3 tan cot . 2 B B B C C C B C B C                   Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01675 568 295 https://www.facebook.com/trinh.phuonglien 10 Vậy tam giác ABC vuông tại A. Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có sin 2 sin 2 4sin .sin .A B A B  Chứng minh tam giác ABC vuông. Giải Ta có                                   2 2 sin 2 sin 2 4sin .sin 2sin cos 2cos cos cos 1 sin cos cos 1 sin .cos cos 1 sin 1 sin .cos cos 1 sin cos .cos cos 0 cos 0 1 sin cos .cos * A B A B A B A B A B A B A B A B A B C C A B C C C A B C C C A B C C C C A B                                             Vì sin 0C  nên  1 sin 1C    . Mà  cos .cos 1.C A B   Vậy (*) vô nghiệm. Do đó tam giác ABC vuông tại C. Bài tập vận dụng Bài 1. Chứng minh tam giác ABC vuông nếu a) cos cos b c B C a    b) cos cos sin sin b c a B C B C   c) sin sin sin 1 cos cos cosA B C A B C      d)     2 2 2 1 cos 1 cos 2 B Cb c b B       III. CHỨNG MINH TAM GIÁC CÂN Cách giải Để chứng minh tam giác ABC cân tại A, ta chứng minh : A B hoặc  sin 0B C  hoặc  cos 1B C  hoặc sin sinB C hoặc cos cosB C hoặc lấy dấu trong bất đẳng thức hoặc sử dụng phương pháp tổng bình phương. Ví dụ 1. Chứng minh rằng tam giác ABC cân nếu tan tan tan 2cot . 2 C A B C   Giải Ta có : tan tan 2cot 2 C A B  Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01675 568 295 https://www.facebook.com/trinh.phuonglien 11   2cos 2cossin sin2 2 cos .cos cos .cos sin sin 2 2 2sin .cos 2cos 2 2 2 cos .cos sin 2 C C A B C C CA B A B C C C CA B        2sin cos .cos 2 C A B  . (Do cos 0. 2 C  )         1 cos cos cos 1 cos cos cos cos 1 C A B A B C C A B A B A B                  ABC cân tại C. Ví dụ 2. Chứng minh rằng tam giác ABC cân nếu 3 3sin .cos sin .cos 2 2 2 2 A B B A  . Giải Ta có 3 3sin .cos sin .cos 2 2 2 2 A B B A  2 2 sin sin 1 12 2. . cos cos cos cos 2 2 2 2 A B A A B B                      (do cos 0, cos 0 2 2 A B   ) 2 2 3 3 2 2 tan 1 tan tan 1 tan 2 2 2 2 tan tan tan tan 0 2 2 2 2 tan tan 1 tan tan tan tan 0 2 2 2 2 2 2 tan tan 0 2 2 . A A B B A B A B A B A B A B A B A B                                           Vậy tam giác ABC cân tại C. Bài tập vận dụng Bài 1. Chứng minh tam giác ABC cân nếu a) 2 2 1 cos 2 sin B a c B a c     Trịnh Phương Liên – ĐH Giáo Dục – ĐHQG Hà Nội. Ban Toán Sđt: 01675 568 295 https://www.facebook.com/trinh.phuonglien 12 b) sin sin sin cot .cot sin sin sin 2 2 A B C A B A B C      c) 2tan 2tan tan .tanA B A B  d)  cot .tan 2 2 C B p b p  e)  tan tan tan 2 C a b a A b B  