Bài giảng môn toán lớp 7 - Hệ thức lượng trong tam giác -phần 2

Ban Toán - 1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC -----Phần 2----- I. DIỆN TÍCH TAM GIÁC Gọi S : Diện tích tam giác ABC R : Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC r : Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC p : Nửa chu vi của tam giác ABC thì 1 1 1 . . . . 2 2 2 a b cS a h b h c h       1 1 1 sin sin sin . 2 2 2 4 S ab C bc A ac B S pr abc S R S p p a p b p c          Ví dụ 1. Cho tam giác ABC chứng minh rằng 2 2 sin 2 sin 2 sin 2 . S A B C R    Giải Ta có :       sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 2sin cos 2sin cos 2sin cos A B C A B C B C A A A B C            3 3 2 2sin cos cos 1 1 4 2 4 . . . . . 2 2 2 2 2 A A B C a b c abc RS S R R R R R R          Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh  2 2 1 sin 2 sin 2 . 4 S a B b A  Giải Ta có     1 1 1 sin sin sin cos sin cos 2 2 2 S ab C ab A B ab A B B A     1 sin cos sin cos 2 a b ab B B A A b a                 (do định lý hàm số sin) Ban Toán - 2     2 2 2 2 1 sin cos sin cos 2 1 sin 2 sin 2 . 4 a B B b A A a B b A     Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và , , .GAB GBC GCA        Chứng minh rằng :  2 2 23 cot cot cot . 4 a b c S         Giải Gọi M là trung điểm của BC, vẽ .MH AB AMH vuông cos AH AM   BMH vuông 2 cos . BH BH B BM a    Ta có : AB AH BH  cos cos 2 1 cos cos 2 a c AM B a c B AM              Mặt khác do áp dụng định lý hàm sin vào tam giác AMB ta có :   1 sin sin sin 2 sin sin 2 MB AM a MB B B B AM AM       Lấy (1) chia cho (2) ta được :    2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos2cot sin . 2 2 4 2 cos4 2 cos 3 3 . 4 a c B c a B a b B a R R c ac BR c a B ab abc c b a c b a abc S R               Chứng minh tương tự ta có : 2 2 23 cot 4 a c b S     ; 2 2 23 cot . 4 b a c S     Do đó cot cot cot    2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 4 4 4 c b a a c b b a c S S S          Ban Toán - 3  2 2 23 . 4 a c b S    II. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì Ví dụ 1. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh: a) 4 sin sin sin 2 2 2 A B C r R b) 2. . 4IA IB IC Rr Giải a) Ta có : IBH vuông nên cot cot . 2 2 B BH B BH r IH    Tương tự ta có cot . 2 C HC r Mà HB CH BC  nên :   sin 2cot cot 2 2 sin sin 2 2 cos 2 sin .sin sin 2 2 2 cos 4 sin cos sin sin 2 2 2 2 2 4 sin sin sin cos 0 2 2 2 2 B C r B C r a a B C A B C r R A A A A B C r R A B C A r R do                       b) Ta có : AKI vuông nên sin . 2 sin 2 A IK r IA AIA          2sin 4 tan tan tan . 2 2 2 a abc R A S S r p A B C r p a p b p c          Ban Toán - 4 Tương tự ; . sin sin 2 2 r r IB IC B C   Do đó : 3 3 2. . 4 sin sin sin 2 2 2 4 r r IA IB IC Rr A B C r R    (áp dụng kết quả câu a) Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh của tam giác ABC tại A’, B’, C’. tam giác A’B’C’ có các cạnh là a’, b’, c’ và diện tích là S’. Chứng minh : a) 2sin sin sin ' ' 2 2 2 a b C A B a b         b) 2sin sin sin ' 2 2 2 S A B C S  Giải a) Ta có :     1 1 1 ' ' ' ' ' 2 2 2 C A B C IB A B C       Áp dụng định lý hình sin vào tam giác ' ' 'A B C ta có ' 2 sin a r A  (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)  ' 2 sin ' 2 sin 1 2 B C a r A r     Tam giác ABC có   ' ' cot cot 2 2 sin 2 2 sin sin 2 2 a BC BA A C B C a r r B C a r B C          Lấy (1) chia (2) ta được ' 2sin sin . 2 2 a B C a  Tương tự ta có ' 2sin sin . 2 2 b A C b  Vậy ' ' 2sin sin sin . 2 2 2 a b C A B a b         b) Ta có     1 1 1 ' ' ' ' ' 2 2 2 A C B B IA C A B       Vậy sin ' sin cos . 2 2 A B C C    Ban Toán - 5 Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là tâm đường tròn nội tiếp I. Biết GI vuông góc với đường phân giác trong của BCA . Chứng minh rằng : 2 . 3 a b c ab a b     Giải Vẽ , , .GH AC GK BC ID AC   IG cắt AC tại L và cắt BC tại N Ta có :  2 . . 1CLN LICS S ID LC r LC   Mặt khác     1 . . 2 2 CLN GLC GCNS S S GH LC GK CN    Từ (1) và (2) ta có   1 . 2 2 r LC LC GH GK r GH GK     Gọi ,a bh h là hai đường cao của tam giác ABC xuất phát từ A, B. Ta có : 1 1 ; . 3 3a b GK MG GH h MA h    Do đó     1 2 3 3 a br h h  . Mà 1 1 2 2 . . ; . 2 2 a b a b pr pr S pr a h b h h h a b       Từ (3) ta có : 2 1 1 1 2 1 3 3 3 . 2 2 . 3 a b r pr p a b ab a b c a b ab ab a b c a b                          BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c, R rà r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng a)      cot cot cot 0. 2 2 2 C A B a b b c c a      b) 1 cos cos cos r A B C R     c) Nếu cot ;cot ;cot 2 2 2 A B C theo thứ tự là một cấp số cộng thì a, b, c cũng là cấp số cộng d)  sin sin sinABCS Rr A B C   e) Nếu 4 4 4a b c  thì ABC có ba góc nhọn và 22sin tan tan .A B C Ban Toán - 6 Bài 2. Nếu   ABCS c a b c b a     thì 8 tan . 15 C  Bài 3. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao vẽ từ A, B, C. Gọi S, R, r lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC. Gọi S’, R’, r’ lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng : a) ' 2 cos cos cosS S A B C b) ' 2 R R  c) ' 2 cos cos cosr R A B C Bài 4. Tam giác ABC có ba cạnh a, b, c tạo thành cấp số cộng. Với a < b < c. Chứng minh rằng a) 6ac Rr b) cos 2sin 2 2 A C B  c) Công sai 3 tan tan 2 2 2 r C A d        Bài 5. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội q = 2. Chứng minh : a) 1 1 1 a b c   b) 2 2 2 5 cos cos cos 4 A B C  