Bài giảng môn Toán lớp 12 - Vị trí tương đối của một mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng

Đ2.Vị trí tương đối của một mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng Mặt cầu (S) và mp(P) có một điểm chung duy nhất. Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới mp(P) bằng bán kính của nó. mp(P) vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H.* Đường thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) khi và chỉ khi có một Mặt cầu (S) và đường thẳng a có một điểm chung duy nhất. Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới đường thẳng a bằng bán Đường thẳng a vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H.kính của mặt cầu.trong các điều kiện sau:một trong các điều kiện sau:Kiểm tra kiến thức cũP3. Các tính chất của tiếp tuyếnĐịnh lý 1: Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(0;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A.CM: a  A; a  OA  Có vô số tiếp tuyến với (S) tại A Các tiếp tuyến này nằm trên mp(P):mp(P)  A, (P)  OAĐ2.Vị trí tương đối của một mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳngAOa mp(P) là tiếp diện của (S) tại A. a là tiếp tuyến của S(O;R) tại A* Đường thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) khi và chỉ khi có một Mặt cầu (S) và đường thẳng a có một điểm chung duy nhất. Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới đường thẳng a bằng bán Đường thẳng a vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H.kính của mặt cầu.trong các điều kiện sau: Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và đi qua điểm tiếp xúc.Định lý 2: Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(0;R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu (S). Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau.Khi (P) thay đổi vẫn đi qua AO thì có vô số tiếp tuyến với (S) kẻ từ A.XétAMO:AM2 = AO2 - OM2 = d2 - R2Cm: Đặt OA = d  d > RGọi (P) là mặt phẳng tuỳ ý đi qua AO; mp(P)  S(O;R) = C(O;R).Vì A nằm ngoài (S) nên A nằm ngoài (C).Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AM và AM’ với (C), M’M(C)PA0Vậy các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau.đó là 2 tiếp tuyến của (S).Ví dụ. Cho mặt cầu S(O ; a) và một điểm A, biết OA = 2a, qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại điểm B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết CDa) Tính AB.b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.Giải:a) Ta có AB tiếp xúc với mặt cầu tại B nên ABOB:b) Gọi H là hình chiếu của O lên CD ta có:Vậy khoảng cách từ O đến CD là HBAODCOC=OD=a, nên tam giác OCD cân tại O, do đó H là trung điểm của CD.ABMPIOBài 5 . Cho mặt cầu (O ; R) tiếp xúc với mp(P) tại I, M là một điểm nằm trên mặt cầu. Hai tiếp tuyến tại M của mặt cầu cắt tại mp(P) tại A và B. Chứng minh rằngVì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại I nên AI và BI là hai tiếp tuyến với mặt cầu. Giải:Vì AM và AI là hai tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ điểm A nên:AM = AI. Tương tự ta có BM = BI. Hai tam giác AMB và AIB bằng nhau (c, c, c).(S)  (P) = (S)  (P) = {H}(S)  (P) = C(H; r)PRHM0PHM0RPM0RHd > Rd = Rd R d = R d < R( S) ∩  = ỉ ( S ) ∩  = { H } ( S ) ∩  = { A, B}Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng O AOAOAPOAVị trí điểm ASố lượng tiếp tuyếnHình ảnhTiếp tuyến của đường tròn (C)1A (C)2A ngoài (C)Vô sốA (S)Vô sốA ngoài (S)Tiếp tuyến của mặt cầu (S)