Bài giảng môn Toán lớp 12 - Tiết 58: Đường elip

§5 : ĐƯỜNG ELIP TIẾT : 58I.Giới thiệuTrái đất quay xung quay mặt trời theo quỹ đạo hình elip ( J.Keple )HĐ1 : Hãy quan sát hình sau và nhận xét về :Chu vi tam giác MF1F2 và độ dài đoạn dây kín?Chu vi tam giác MF1F2 luôn bằng độ dài của sợi dây kín.Tổng MF1 + MF2 cũng không đổi do khoảng cách F1F2 không đổi.Tổng MF1 + MF2 ?I. Định nghĩaCho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2 = 2c (c > 0 ).Đường elip ( còn gọi là elip ) là tập hợp các điểm M sao cho MF1+MF2= 2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c.Hai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip.F1F2MII. Phương trình chính tắc của elipCho elip (E) như trong định nghĩa trên. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F1F2. Trục Oy là đương trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox.Với cách chọn hệ trục tọa độ như vậy thì tọa độ của hai tiêu điểm là gì ?Tọa độ các tiêu điểm là F1 (-c ; 0) F2 (c ; 0)HĐ 2 : Giả sử M(x;y) nằm trên elip (E). Tính giá trị MF12-MF22 rồi kết hợp định nghĩa MF1 + MF2 =2a để tính MF1 - MF2 . Từ đó hãy suy ra giá trị của MF1 và MF2 ?Ta có :MF12-MF22 = ((x + c )2 + y2) - ((x - c )2 + y2)) = 4cx=> (MF1 – MF2)( MF1 + MF2) =4cx(MF1 – MF2).2a = 4cxTừ đó ta có được :Các đoạn thẳng MF1, MF2 được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M.Lập phương trình của elip (E) đối với hệ trục tọa độ đã chọn như trên. Ta cóhayRút gọn đẳng thức trên ta được :Vì a2 – c2 > 0 nên ta có thể đặt a2 – c2 = b2 ( với b > 0 ) và ta được :Ngược lại, có thể chứng minh được rằng : Nếu điểm M có tọa độ (x ; y) thõa mãn (1) thì :Và do đó MF1 + MF2 =2a , tức là M thuộc elip (E)Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip đã cho.III. Một số ví dụVí dụ 1. Cho ba điểm F1( -2 ; 0) F2(2 ; 0) và M( 2 ; 3 ) a) Hãy viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F1, F2 và đi qua I. b) Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách MF1 có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất là bao nhiêuVí dụ 2. Viết phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm M(0 ; 1) và N ( 1 ; )VI. Củng cố