Bài giảng môn Toán lớp 12 - Tiết 49: Phương trình mặt cầu

Lớp 12 C11CHÀO MỪNG QUÝ THẦY CÔ ĐẾN DỰCột ICột II PTTS của Đ.Thẳng ∆ qua M0 và có VTCP : A. Khoảng cách từ M0 đến mp(α ) B. PT mp(α ) qua M0 và có VTPT :C. ĐK mp(α ) tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I bán kính R : D. ĐK mp(α ) cắt mặt cầu (S) tâm I bán kính R : E. ĐK mp(α ) không cắt mặt cầu (S) tâm I bán kính R : F. Mặt cầu (S) tâm I bán kính R là tập hợp : G. , KIỂMTRA BÀI CŨHãy ghép một dòng ở cột I với một dòng ở cột II để được các mệnh đề đúngCột ICột II PTTS của Đ.Thẳng ∆ qua M0 và có VTCP : A. Khoảng cách từ M0 đến mp(α ) B. PT mp(α ) qua M0 và có VTPT :C. ĐK mp(α ) tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I bán kính R : D. ĐK mp(α ) cắt mặt cầu (S) tâm I bán kính R : E. ĐK mp(α ) không cắt mặt cầu (S) tâm I bán kính R : F. Mặt cầu (S) tâm I bán kính R là tập hợp : G. , Hãy ghép một dòng ở cột I với một dòng ở cột II để được các mệnh đề đúngKIỂMTRA BÀI CŨ , KIẾNTHỨC SỬ DỤNGTâm I bán kính RPHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU2. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦUBÀI MỚIPHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và có bán kính R>0 có phương trình :(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 (1) Đặc biệt : Khi I  O (gốc tọa độ) PT (1) trở thành : x2 + y2 + z2 = R2 Phương trình dạng : x2 + y2 + z2 +2Ax +2By + 2Cz + D = 0 (2) Với A2+B2+C2 - D>0 thì PT (2) là PT mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) , bán kính :PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦUTìm ĐK cần và đủ để M(x;y;z)  (S) ? Điểm M(x;y;z)  (S)  IM2 = R2  (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 (1) PT (1) gọi là phương trình mặt cầu zyxOI(a;b;c)RMPhương trình (1) trở thành dạng nào?Khai triển các bình phương cuả PT (1) Ta có PT (1) tương đương với PT:x2 + y2 + z2–2ax–2by–2cz+(a2+b2+c2–R2 )=0Đặt D = a2+b2+c2–R2 ;A= – a;B= – b;C= – c Khi đó phương trình trở thành :x2 + y2 + z2 +2AX +2BY +2CZ +D = 0 (2) Khi nào phương trình (2) trở thành phương trình mặt cầuGợi ý: Biến đổi PT đưa về dạng (1)Ta có PT (2) tương đương với PT:(x +A)2+(y+B)2+(z+C)2=A2+B2+C2– D (2’) Với A2+B2+C2 - D>0. thì PT (2) là PT mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) , bán kính :Có nhận xét gì các hệ số của x2 , y2 , z2 trong PT (2)Các hệ số bằng nhau và bằng 1 :Phương trình dạng : A(x2 + y2 + z2) +2Bx +2Cy + 2Dz+E = 0 (3) Với A ≠0 và B2+C2+D2 -AE >0 thì PT (3) là PT của một mặt cầuBiến đổi phương trình (3) về dạng phương trình (2) Giả sử A ≠0 ,chia 2 vế phương trình (3) cho A ta được PT:Để (3’) là PT của mặt cầu cần điều kiện PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:Cho Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và có bán kính R>0 có phương trình :(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 (1) Đặc biệt : Khi I  O (gốc tọa độ) PT (1) trở thành : x2 + y2 + z2 = R2 Phương trình dạng : x2 + y2 + z2 +2Ax +2By + 2Cz + D = 0 (2) Với A2+B2+C2 - D>0 thì PT (2) là PT mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) , bán kính :PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦUPhương trình dạng : A(x2 + y2 + z2) +2Bx +2Cy + 2Dz+E = 0 (3) Với A ≠0 và B2+C2+D2 -AE >0 thì PT (3) là PT của một mặt cầuBiến đổi PT (*) về PT dạng (1) Ví dụ1 : Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S) có PT: x2 + y2 + z2 - 2x +4y +6z + 5 = 0 (*) Giải Cách1:Tacó PT(*) tương đương với PT (x2 - 2x+12) + (y2 +4y+22)+ (z2 +6z + 32) = 12 +22+32 -5 (x - 1)2 + (y +2)2 + (z +3)2 = 9Vậy (S) có tâm I(1;-2;-3) , BK R=3Cách 2: PT (*) có dạngx2 + y2 + z2 +2Ax + 2By +2Cz + D= 0Vậy (S) có tâm I(1;-2;-3) , BK:PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:Cho Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và có bán kính R>0 có phương trình :(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 (1) Đặc biệt : Khi I  O (gốc tọa độ) PT (1) trở thành : x2 + y2 + z2 = R2 Phương trình dạng : x2 + y2 + z2 +2Ax +2By + 2Cz + D = 0 (2) Với A2+B2+C2 - D>0 thì PT (2) là PT mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) , bán kính :PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦUPhương trình dạng : A(x2 + y2 + z2) +2Bx +2Cy + 2Dz+E = 0 (3) Với A ≠0 và B2+C2+D2 -AE >0 thì PT (3) là PT của một mặt cầuTìm bán kính R của mặt cầu Ví dụ2 : Lập pt mặt cầu tâm I(-2,1,1) và tiếp xúc với mp (α) có phương trình : x+2y-2z+5=0Giải :Bán kính của mặt cầu là: Phương trình mặt cầu cần tìm : (x + 2)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 1aI(-2;1;1)Hx+2y-2z+5=0RRMI(a;b;c)2. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG(α) : Ax+By+Cz+D=0 (S) : (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2= R2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I (a,b,c) của (S) trên mp(α) IH = d(I, (α) )Ta xét các trường hợp :Nếu IHR thì (α)∩(S)= ØPHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦUTrong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mp (α) và mặt cầu (S) có Phương trình : I(a;b;c) rMRH(S)(C)(S)aI(a;b;c)HRM(S)aI(a;b;c)HRMRaHRBÀI VỪA HỌCCủng cốPHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và có bán kính R>0 có phương trình :(x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R2 (1) Đặc biệt : Khi I  O (gốc tọa độ) PT (1) trở thành : x2 + y2 + z2 = R2 Phương trình dạng : x2 + y2 + z2 +2Ax +2By + 2Cz + D = 0 (2) Với A2+B2+C2 - D>0 thì PT (2) là PT mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) , bán kính :PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦUPhương trình dạng : A(x2 + y2 + z2) +2Bx +2Cy + 2Dz+E = 0 (3) Với A ≠0 và B2+C2+D2 -AE >0 thì PT (3) là PT của một mặt cầu2. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG(α) : Ax+By+Cz+D=0 (S) : (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2= R2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I (a,b,c) của (S) trên mp(α) IH = d(I, (α) )Ta xét các trường hợp :Nếu IHR thì (α)∩(S)= ØCHÚC MỪNG BẠN2x2+2y2+2z2-x-y+z=02x2+2y2+2z2-x-y+z=0Câu 1 : Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầux2+y2+z2+2x+2y+3=02x2+3y2+z2-x-y+4z-1=0 x2+y2+2x+2y+1=0Hãy cố gắng lần sauabcdHãy cố gắng lần sauHãy cố gắng lần sauTRẮC NGHIỆMHoan hô bạn x2+y2+z2-2x-4y-6z+13=0 x2+y2+z2-6x-2y-4z+13=0Câu 2 : Mặt cầu nào sau đây có tâm I(1;2;3), bán kính R=1 x2+y2+z2-4x-2y-6z+13=0 x2+y2+z2-8x+2y+13=0TRẮC NGHIỆMBạn đã saiBạn đã saiBạn đã saiTâm I(0;2;-1) và bán kính R=2 Câu 3 : Tìm tâm và tính bán kính của mặt cầu : x2+y2+z2+2y- 4z+1= 0Tâm I(0;-1;2) và bán kính R=2 Tâm I(-1;0;2) và bán kính R=2 Tâm I(-1;2;0) và bán kính R=2 Bạn cần cố gắngBẠN RẤT GIỎIBạn cần cố gắngBạn cần cố gắngTRẮC NGHIỆMc. m≤-2 hoặc m≥2 Câu 4:Với giá trị nào của m thì PT:x2+y2+z2+2x-2y- 2mz+6= 0 là PT mặt cầua. -2 2 abcdĐáp Án dTRẮC NGHIỆMChú ý: Phương trình của đường tròn : với đk : * Tâm H = ∆∩ (α) với ∆ qua I và vuông góc với mp (α)Viết PT tham số của đường thẳng ∆Giải hệ gồm hai PT của ∆ và mp (α) suy ra tọa độ của điểm H*Bán kínhMuốn tìm tâm H và bán kính r của đường tròn ta phải làm gì ?BÀI TẬP : Trong kg (Oxyz) cho mặt cầu (S) và mp (α) có phương trình : (S) : x2+y2+z2-6x-2y+4z+5 = 0 (1) (α) : 2x+y-2z-8= 0a. Tìm tâm và bán kính mặt cầu (S).b. Chứng minh mp(α) cắt mặt cầu (S). Viết phương trình đường tròn giao tuyến. c.Tìm tâm & bán kính đường tròn giao tuyến Giải : a. Ta có PT (1) tương đương với PT : (x-3)2+(y-1)2+(z+2)2 = 9 (S) có tâm I (3;1;-2) và bk R = 3b. Ta có:  mp(α) cắt mặt cầu (S)Phương trình đường tròn giao tuyến (C) là: d. Đường thẳng ∆ qua I và ∆(α) , có PTTS:  Tham số t ứng với giao điểm của ∆và (α) : BK :BÀI TẬPI(3;1;-2) rMRH ∆2x+y -2z - 8=0BÀI TẬP 1 - 7 Bài Tập Về Nhà Phaïm Ngoïc TuaánLÔÙP 12- C11. CHAØO TAÏM BIEÄT Lôùp 12 C11 raát chaân thaønh caûm ôn quyù thaày coâTIẾT HỌC ĐÃ KẾT THÚCCAÛM ÔN QUYÙ THAÀY COÂ & Caùc Em Hoïc Sinh Lôùp 12 C11