Bài giảng môn Toán lớp 12 - Tiết 45, 46: Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Tiết45, 46 phương trình tổng quát của mặt phẳngOxyzM0 M2/4/20171. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳnga. Định nghĩa:SGK/77Vectơ khác vectơ được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng () nếu .Em hãy đọc định nghĩa SGK trang 77 và điền vào chỗ trống . nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ()Ký hiệu: 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳnga. Định nghĩa:SGK/77Em hãy quan sát vào hình vẽ và chọn phương án đúngB. Chỉ có vectơ là vtpt của ()A. Vectơ là vtpt của ()C. Cả hai vectơ và là vtpt của ().D. Cả ba vectơ trên là vtpt của ().Vậy theo em một mặt phẳng có bao nhiêu vec tơ pháp tuyến?Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳngTrong không gian cho điểm M0 và một vectơ Theo em có tồn tại một mặt phẳng đi qua M0 và vuông góc với vectơ trên không? Nếu có thì có bao nhiêu mặt phẳng như thế?M0 Mặt phẳng () hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm thuộc nó và một vectơ pháp tuyến của nó.1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳngBằng trực quan em có nhận xét gì về quan hệ giữa vectơ a, vectơ b và ()?b) Chú ý:  Hai vectơ và nói trên còn gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ().Hai vectơ không cùng phương và cùng song hoặc nằm trên ()1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳngHình 1 Hình 2 Hình 3 Em hãy cho biết hình nào mặt phẳng () có cặp vectơ chỉ phương?Đáp số: Hình 2 và hình 31. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳngĐặt Em có nhận xét gì về quan hệ giữa vectơ với hai vectơ và ?Gợi ý: và Trả lời: và Vậy em có nhận xét gì về quan hệ giữa và mặt phẳng ()?1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳngb) Chú ý:  Hai vectơ và nói trên còn gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (). là một vectơ pháp tuyến của () . Vậy nếu A, B, C là ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng () thì A B C là một vectơ pháp tuyến của () . 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳnga. Bài toán:OxyzTrong hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng ().M0 M0(x0;y0;z0)  () là một vectơ pháp tuyến của () Tìm điều kiện để điểm M  ()MGiải: Giả sử M = (x; y; z). M  ()  A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 (*)Khai triển rồi đặt D = -(Ax0 + By0 + Cz0) ta được phương trình:Ax + By + Cz + D = 0 (1)2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng*. Định lí: SGK/ 78b) Định nghĩa Phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 ≠ 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.c) Chú ýNếu mặt phẳng () qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vtpt thì phương trình của nó là: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0Nếu mặt phẳng () là mặt phẳng có phươg trình: Ax + By + Cz + D = 0 thì là một vtpt của nó.3.Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát Em hãy đọc SGK trang 80 rồi lựa chọn phương trình mặt phẳng ở cột A sao cho phù hợp với kết luận ở cột B:Cột ACột B1. Ax+ By + Cz = 0a. Song song với trục Ox hoặc chứa trục Ox2. By + Cz + D = 0b. Song song với mp Oxy hoặc trùng với mp Oxy3. Ax + Cz + D = 0c. Đi qua gốc toạ độ4. Cz + D = 0d. Song song với trục Oz hoặc chứa trục Oze. Song song với trục Oy hoặc chứa trục Oy Ví dụ: 1 - c3.Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát Em hãy đọc SGK trang 80 rồi cho biết trong các PT sau, PT nào là PT mặt phẳng đi qua 3 điểm A=(1; 0; 0), B=(0; -2; 0) và C= (0; 0; 5): Phương trình dạng đó được gọi là phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng.4. Ví dụTóm tắtNếu mặt phẳng () qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vtpt thì phương trình của nó là: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0Nếu mặt phẳng () là mặt phẳng có phươg trình: Ax + By + Cz + D = 0 thì là một vtpt của nó.Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm P = (1; -2 ; 3) và song song với mặt phẳng 2x – 3y + z + 5 = 0.P Q2x – 3y + z + 5 = 0Giải Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng 2x – 3y + z + 5 = 0 nên nó có một vtpt là:Vậy phương trình của nó là: 2(x – 1) – 3(y + 2) + z – 3 = 0.hay 2x – 3y + z – 11 = 04. Ví dụVí dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm P = (1; 0; 0), Q = (0; 2: 0) và R = (0; 0; 3)GiảiMặt phẳng (PQR) có vectơ pháp tuyến là:(6; 3; 2)và đi qua điểm P nên có phương trình là: 6(x – 1) + 3(y - 0) + 2(z – 0) = 0 6x + 3y + 2z – 6 = 0.Cách 2:Mặt phẳng (PQR) có phương trình theo đoạn chắn là: 6x + 3y + 2z – 6 = 0.Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, biết A = (1;2;-2), B = (1; 2; 1)Giải4. Ví dụABIGọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì: Mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và vuông góc với đường thẳng AB nên có thể chọn: làm vtpt pháp tuyến của nó. Vậy PT của nó là:hay - y + 3z + 4 = 0.Em đã chọn đúng ! Em đã chọn sai ! Hãy kiểm tra lại.