Để giải các bài toán có liên quan đến đường hypebol ta cần nắm vững các vấn đề cơ
bản sau:
Hypebol (H) có tâm O, hai trục đối xứng là x'x, y'y.
Phương trình
chính tắc
. Hypebol có tiêu điểm
. Hypebol có tiêu điểm t
3 trang |
Chia sẻ: quynhsim | Lượt xem: 405 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng môn Toán lớp 12 - Chuyên đề 6 Hypebol, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHUYÊN ĐỀ 6
HYPEBOL
Để giải các bài toán có liên quan đến đường hypebol ta cần nắm vững các vấn đề cơ
bản sau:
Hypebol (H) có tâm O, hai trục đối xứng là x′x, y′y.
Phương trình
chính tắc
. Hypebol có tiêu điểm
trên x′x
2
2
x
a
–
2
2
y
b
= 1
. Hypebol có tiêu điểm t
rên y′y
2
2
x
a
–
2
2
y
b
= –1
với c2 = a2 + b2 với c2 = a2 + b2
Tiêu điểm
Tiêu cự
Trục thực, độ dài
Trục ảo, độ dài
Đỉnh
Tiệm cận
Tâm sai
Bán kính
M(xM, yM) ∈ (H)
F1(–c, 0), F2(c, 0)
2c
Ox, 2a
Oy, 2b
A1(–a, 0), A2(a, 0)
y = ± b
a
x
e = c
a
1 1
2 2
M
M
r FM ex a
r F M ex a
= = +⎧⎨ = = −⎩
(xM a)≥
1
2
M
M
r ex
r ex
a
a
= − −⎧⎨ = − +⎩
(xM ≤ – a)
F1(0, –c), F2(0, c)
2c
Oy, 2b
Ox, 2a
A1(0, –b), A2(0, b)
y = ± a
b
x
e = c
b
1 1
2 2
M
M
r FM ey b
r F M ey b
= = +⎧⎨ = = −⎩
(yM ≥ b)
1
2
M
M
r ey
r ey
b
b
= − −⎧⎨ = − +⎩
(yM ≤ – b)
1
Đường chuẩn
Phương trình tiếp
tuyến tại tiếp
điểm M0(x0, y0) ∈ (H)
x = ± a
e
0
2
x x
a
– 02
y y
b
= 1
y = ± b
e
0
2
x x
a
– 02
y y
b
= –1
Ngoài ra ta cũng cần lưu ý:
. Điều kiện để:
(D) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (H) :
2
2
x
a
–
2
2
y
b
= 1 là
a2A2 – b2B2 = C2 > 0
(D) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (H) :
2
2
x
a
–
2
2
y
b
= –1 là
a2A2 – b2B2 = –C2 < 0
Ví dụ :
Cho hypebol (H) : 4x2 – y2 = 4
1) Xác định tiêu điểm, đỉnh, tâm sai, các đường tiệm cận và đường chuẩn của (H)
2) Viết phương trình tiếp tuyến với (H) tại điểm M(1, 0)
3) Viết phương trình tiếp tuyến với (H) phát xuất từ điểm N(1, 4) tìm tọa độ tiếp điểm.
Giải
1) Các phần tử của hypebol (H)
(H) : 4x2 – y2 = 4 x2 – ⇔
2
4
y = 1 có dạng
2
2
x
a
–
2
2
y
b
= 1 với
a2 = 1 a = 1, b2 = 4 ⇒ b = 2 và c2 = a2 + b2 = 5 ⇒
Vậy hypebol (H) có 2 tiêu điểm F1( 5− , 0), F2( 5 , 0) ; hai đỉnh A1(–1, 0), A2(1, 0) ;
tâm sai e = c
a
= 5 ; hai đường tiệm cận phương trình y = ± 2x và hai đường chuẩn phương
trình
x = ± a
e
= ± 1
5
2
2) Phương trình tiếp tuyến với (H) tại tiếp điểm M(1, 0)
Ta có M(1, 0) ∈ (H) : 4x2 – y2 = 4
⇒ Phương trình tiếp tuyến với (H) tại tiếp điểm M(1, 0) là
4xMx – yMy = 4
⇔ 4x – 0y = 4 x = 1 ⇔
3) Phương trình tiếp tuyến với (H) phát xuất từ N(1, 4). Hai tiếp tuyến cùng phương với
0y là x = a = 1. Vậy x=1 là một tiếp tuyến qua N(1, 4). ± ±
Tiếp tuyến ( qua N(1, 4) không cùng phương với 0y có dạng: )Δ
: y – 4 = k(x – 1) ( )Δ ⇔ kx – y + 4 – k = 0
( )Δ tiếp xúc với hypebol (H) : 2
1
x –
2
4
y = 1
⇔ k2 . 12 – 4(–1)2 = (4 – k)2
⇔ k2 - 4 = 16 – 8k + k2
⇔ k = 20 5
8 2
= .Vậy : ( )Δ 5
2
x – y – 4 – 5
2
= 0
⇔ 5x – 2y – 13 = 0
Tóm lại có hai tiếp tuyến qua điểm N(1, 4) là x = 1, và 5x – 2y – 13 = 0.
* * *
3
File đính kèm:
- hypebol.pdf