Bài giảng môn Toán lớp 12 - Chủ đề 1: Phương trình vô tỉ

CHỦ ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. Giải phương trình vô tỉ bằng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả. A. Lý thuyết: 1) 2) Dạng: 3) Dạng: . * Nếu A+B = C+D (hoặc A.B = C.D) thì bình phương 2 vế ta được phương trình tương đương. * Nếu A+C = B+D (hoặc A.C = B.D) thì phải đưa phương trình về dạng: sau đó bình phương hai vế, tìm nghiệm sau đó thử lại để chọn nghiệm. 4) Dạng: * Lập phương hai vế ta được: . Sau đó thay thế: vào phương trình, ta được: Chú ý: sự thay thế này có thể dẫn đến nghiệm ngoại lai, vì vậy phải thử lại nghiệm. B. Bài tập: Bài 1. Giải các phương trình: 1) 2) 3) 4) Bài 2. Giải các phương trình: 1) 2) 3) 4) Bài 3. Giải các phương trình: 1) 2) 3) Bài 4. Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) II. Giải phương trình vô tỉ bằng cách trục căn thức. * Áp dụng cho các trường hợp sau: - Đưa được về dạng đơn giản hơn. - Nhẩm được phương trình có một nghiệm x = x0. Bài tập: Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) III. Phương pháp đặt ẩn phụ Dạng 1. Đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng đại số: Bài 1. Giải các phương trình: 1) 2) 3) 4) Bài 2. Giải các phương trình 1) 2)  Bài 3. Giải các phương trình: 1) 2) Bài 4. Giải các phương trình: 1) 2) Bài 5. Giải các phương trình: 1) 2) Bài 6. Giải các phương trình: 1) 2) (HD: Chia cả hai vế cho x ) Dạng 2. Đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng lượng giác: * Có thể áp dụng cho các phương trình mà ĐK của biến số thuộc một đoạn [a; b] Giải các phương trình: 1) 2) (Chia 2 vế cho x3) 3) (Đặt (x-1) = sint) 4) 5) (lập phương 2 vế) 6) Dạng 2. Đặt ẩn phụ đưa về hệ: Bài 1. Giải các phương trình: 1) 2) 3) 4) Bài 2. Giải các phương trình: 1) ,(y =) 2) , (y-1 = ) 3) , (y-3 = ) 4) IV. Một số bài toán về phương trình vô tỉ có chứa tham số: A. Lý thuyết : * Phương trình : f(x) = m có nghiệm trên tập D * Chú ý : Xét bài toán : tìm m để phương trình f(x,m)=0 có nghiệm, ta có thể làm như sau : Bước 1 : Tìm ĐK tồn tại của phương trình, giả sử x thuộc tập D (tập D là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) Bước 2 : Đưa phương trình f(x,m) = 0 về dạng g(x) = m. Bước 3 : Xét sự biến thiên, tìm GTLN và GTNN nếu có, của g(x) trên tập D. Bước 4 : Lâph BBT, từ BBT suy ra ĐK có nghiệm của phương trình. * Thường thì đây là các bài toán ta phải đặt ẩn phụ (như các dạng đã được nêu trong phần giải phương trình vô tỉ trên đây), Chú ý rằng ĐK của ẩn phụ phải chính xác. Ví dụ 1 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: Giải: Với ĐK , phương trình đã cho x3 – 4x2 – 3x – 1 = – m f(x) = - m. (1) Xét hàm số f(x) trên , ta có f ’(x) = 3x2 – 8x – 3 ; f ‘(x) = 0 x f’(x) f(x) 1/2 3 + _ 0 - + -27/8 -19 + _ f(3) = - 19, f(1/2) = - 27/8. * BBT (hình bên). Từ BBT suy ra (1) có nghiệm trên (tức phương trình đã cho có nghiệm) Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm (1) Hướng dẫn: * ĐK: * Đặt , Suy ra: Nên (1) trở thành: * Khảo sát sự biến thiên của hàm số g(t) trên đoạn , * Lập BBT và từ BBT suy ra các giá trị cần tìm. B. Bài tập: Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình 1) có nghiệm thực duy nhất, 2) có nghiệm thực. Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất: . Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt. Bài 4. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm thực. Bài 5. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm thực. Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm thực. Bài 7. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm thực (A-2007). Bài 8. Chứng minh mọi m > 0 phương trình (B-2007) Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt (A-2008) Bài 10. Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm thực. Bài 11. Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm thực. Bài 12. Tìm m để phương trình có nghiệm thực. Bài 13. Tìm m để phương trình có nghiệm thực. Bài 14. Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của m. Bài 15. Tìm m để phương trình có nghiệm thực. Bài 16. Tìm m để phương trình có nghiệm thực. Bài 17 (trích đề thi ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình: có nghiệm thực. Bài 18. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.