Bài giảng môn Toán lớp 12 - Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

Tiết 35-36Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gianKiểm tra bài củ: 1/ a.Viết pt tổng quát của mặt phẳng. b. Áp dụng: Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(-1; 0; 2); B(3; 2; 10); C( 1; 3; 2). Viết pt mp(ABC). 2/ a. Viết công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. b. Áp dụng : Tính khoảng cách từ điểm M(2; -1; 4) đến mp (P) : 2x + y – 2z – 1 = 0Tiết 35-36 Bµi 3: Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng.Mục tiêu: Yêu cầu các em Biết pt tham số của đường thẳng. Biết điều kiện để hai đt chéo nhau, cắt nhau, song song hoặc vuông góc nhau. Viết được pt tham số của đường thẳng có dạng đơn giản. Biết cách xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.Bµi 3: Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng.Trong chương trình lớp 11 ta đã định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng.Vậy các em nhắc lại véc tơ chỉ phương của đường thẳng?aLà véc tơ khác không có giá song song hoặc trùng với đ t.Trong chương trình lớp 10 ta đã biết pt tham số đ t. Vậy các em cho biết đ t đi qua Mo(xo; yo) nhận làm vec tơ chỉ phương có pt tham số là gì? Pt tham số có dạngI. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG.Bài toán: Trong kg Oxyz cho điểm Mo(1; 2; 3) và hai điểm di động M1(1+ t; 2 + t; 3 + t), M2(1 + 2t; 2 + 2t; 3 + 2t). Hãy chứng tỏ ba điểm Mo, M1, M2 thẳng hàng.Mỗi nhóm hai em tính toán và cho thầy biết kết quả.Ta biết ba điểm Mo, M1, M2 thẳng hàng khi MoM1 và MoM2 cùng phương.Tức là MoM1 = k. MoM2 .Các em tính vectơ MoM1 và MoM2 và chứng tỏ MoM1 = k.MoM2. Ta có: MoM1 = (t; t; t) MoM2=(2t; 2t; 2t) = 2(t; t; t) = 2MoM1Vậy ba điểm Mo, M1, M2 thẳng hàngI. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG.Tông quát: Nếu đường thẳng d đi qua điểm Mo(xo; yo; zo) và nhận làm vec tơ chỉ phương thì điều kiện để điểm M(x, y, z) nằm trên đường thẳng d là gì? Mỗi nhóm 2 em trao đổi và cho thầy biết kết quả.daMoMNếu M nằm trên đ t d thì MoM và a cùng phương. Tức là tồn tài số thực t sao cho MoM = t.a Mà MoM = (x – xo; y- yo; z – zo)Do đó Định lý: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm Mo(xo; yo; zo) và nhận làm vec tơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x, y, z) nằm trên đường thẳng d là có môt số thực t sao choĐịnh nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm Mo(xo; yo; zo) và có véc tơ chỉ phương là pt có dạng:Chú ý : Nếu a1, a2, a3 khác không thì ta có thể viết pt đt d dưới dạng chính tắc như sau:Ghi nhớ : Muốn viết pt đường thẳng ta làm như sau: Đầu tiên nên vẽ đt bất kỳ và các yếu tố của giả thiết ngoài giấy nháp. Sau đó:+ Bước 1 :Tìm điểm (xo; yo; zo) thuộc đt.+ Bước 2 : Tìm vectơ chỉ phương (a1; a2; a3) của đường thẳng.+ Bước 3: Áp dụng công thứcChú ý: + Khi cho đường thẳng thì ta chỉ ra vec tơ chỉ phương của chúng. + Khi cho pt mặt phẳng thì ta chỉ ra vec tơ pháp tuyến của chúng.Ví dụ : 1/ Viết pt đt đi qua Mo(1; -2; 3) có vec tơ chỉ phương là a = (2; 3; -1).2/ Viết pt đt đi qua hai điểm AB với A(0; 1; 2) và B(3; 4; -2).3/ Cho đt d có pt tham số là: Hãy chỉ ra một điểm thuộc d vả 1 vec tơ chỉ phương của d.4/ Cho mp (P): 2x + 3 y – 4z +1 = 0 và điểm M(1; 0; 2). Hãy chỉ ra vec tơ pháp tuyến của mp (P). Sau đó viết pt đường thẳng đi qua M và vuông góc mp (P). Yêu cầu : Mỗi nhóm của mỗi tổ giải ví dụ trên. Tổ 1 câu 1, tổ 2 câu 2, tổ 3 câu 3 và tổ 4 câu 4.Lời giải:Moa1/AB2/Moa3/4/PMnPPTTS là :Đt qua A(0; 1; 2)Có VTCP là AB = (3; 3; -4)PTTS có dạng :Ta có M(2; -1; 4) thuộc dVTCP của d là ad = (3; 1; -2)Đt đi qua M(1; 0; 2) nhận nP=(2; 3; -4) làm VTCP có PTTS làII. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau.Trong chương trình lớp 11 các em đã học qua vị trí tương tương đối của hai đường thẳng trong không gian.Vậy trong không gian hai đường thẳng d và d’ bất kỳ có mấy khả năng xãy ra?Chúng có bốn khả năng xãy ra đó là: song song, trùng nhau, cắt nhau và chéo nhau.Căn cứ vào vec tơ chỉ phương và số giao điểm của hai đường thẳng mà ta có thể khẳng định được vị trí tương đối của hai đường thẳng đó.Cho đường thẳng d có VTCP là a và có điểm M thuộc d. Đường thẳng d’ có VTCP là a’. Hỏi nếu vec tơ a cùng phương với vec tơ a’ thì ta có kết luận gì về hai đ t d và d’? dMad’a’1.Điều kiện để hai đường thẳng song song:Ví dụ: cho hai dường thẳngChứng minh rằng đt d song song đt d’.Lời giải: d có VTCP là a = (2; -3; 1) và có điểm M(1; 2; -1) d. d’ có VTCP là a’ = (4; -6; 2) = 2(3; -3; 1) = 2 a. Mà M d’. Nên hai đường thẳng d và d’ song song Câu hỏi: Nếu vectơ a không cùng phương với vec tơ a’ thì đt d cắt đt d’ đúng hay sai? Tại sao? Lấy VD cụ thể những hình ảnh trong phòng học.Kết quả: Sai. Vì hai dường thẳng có thể chéo nhau. VDĐ t là bóng đèn và đ t là cây cột là chéo nhau. Vậy khi nào thì chúng cắt nhau, khi nào chúng chéo nhau?dd’Maa’2/ Điều kiện để hai dường thẳng cắt nhau:d cắt d’ hệ pt sau đây có đúng một nghiệm Với3/Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau:d chéo d’ a không cùng phương với a’và hệ pt sau vô nghiệmdd’aa’Câu hỏi: Khi nào thì đt d vuông góc đt d’?Nhận xét : Trong không gian cho mp (P) và đường thẳng d. Ta xét hệ PPPddMdNếu pt (1) vô nghiệm thì d // (P)Nếu pt (1) có đúng một nghiệm thì d cắt (P) tại một điểm M.Nếu pt (1) có vô số nghiệm thì d thuộc (P)Tóm lại: Muốn xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’ ta làm như sau:Bước 1 : Giải hệ ta cóBước 2: Dựa vào nghiệm của hệ (1) ta kết luận :+ Nếu hệ (1) có duy nhất nghiệm thì d cắt d’.+ Nếu hệ (1) có vô số nghiệm thì d trùng d’+ Nếu hệ (1) vô nghiệm thì có hai khả năng xãy ra. Hoặc chéo nhau hoặc song song nhau. Ta tìm VTCP a , a’ của d và d’ Nếu a = k.a’ thì d // d’. Nếu a = k.a’ thì d chéo d’.Ví dụ:xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng sau :Giải:Ta xét hệ ptGiải hệ (1) và (2) ta được t = - 1 và t’ = 1. Thay t và t’ vào pt (3) ta thấy đúng . Vậy hệ pt trên có duy nhất nghiệm là t = -1 và t’ = 1.Do đó d cắt d’. Thay t = -1 vào d (hoặc t’ = 1 vào d’) ta được tọa độ giao điểm là M(0; -1; 4).Tóm lại: Qua bài học này các em cần nắm vững:+ Cách viết pt của đường thẳng.+ Cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.Bài tập về nhà: Giải các bài tập : 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9 (SGK tr 90,91)Tiết học của chúng ta đến đây là kết thúc. Chúc tất cả một đêm ngon giấc.