Bài giảng môn Toán lớp 12 - Bài 1: Mặt cầu – Khối cầu

TËp thÓ líp 12 B2 n¨m häc 2008-2009 Tr­êng THPT Nh­ Thanh KÝnh chµo c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o vÒ dù giê th¨m lípKiÓm tra bµi còKhái niệm đường tròn trong mặt phẳng?Vị trí tương đối của đường tròn với một điểm trong mặt phẳng?CÂU HỎIĐường tròn là tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi. M là một điểm trên đường tròn khi đó OM gọi là bán kính của đường tròn (bằng r).TRẢ LỜI.MrO.MrOCho M là một điểm trong mặt phẳng. Khi đó giữa M và đường tròn có 3 vị trí tương đối xảy ra :Nếu OM = r thì M nằm trên đường tròn. Nếu OM > r thì M nằm ngoài đường tròn. Nếu OM 0 khoâng ñoåiR(s) Maët caàu (S) coù taâm I baùn kính R laø Taäp hôïp caùc ñieåm M sao cho MI = RR : baùn kính maët caàu (S) I : taâm maët caàu (S) 1. Định nghĩa mặt cầuKí hiệu : S ( I ; R)Ta có: S(I ; R) = { M / IM = R}- Dây cung AB đi qua tâm O của mặt cầu được gọi là đường kính của mặt cầu (bằng 2R).MOCDBA* Các thuật ngữ- Nếu hai điểm C, D nằm trên mặt cầu S(O ; R) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó Nếu OA = R thì điểm A thuộc mặt cầu. Khi đó OA là bán kính mặt cầu. Nếu OA R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.MOA3A2A1Cho mặt cầu S(O ; R) và A là điểm bất kì trong không gian. Giữa điểm A và mặt cầu có mấy vị trí tương đối xảy ra ?Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O ; R) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu S(O ; R) hoặc hình cầu S(O ; R). MOBANói cách khác, khối cầu S(O ; R) là tập hợp các điểm M sao cho OM ≤ R. VÝ dô 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a.Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho: MA2 + MB2 + MC2 = 2a2Gi¶i: Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC, ta cã:Do: MA2 + MB2 + MC2 = =3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 + 2( ) =3MG2 + GA2 + GB2 + GC2Mµ tam gi¸c ABC ®Òu c¹nh a nªn GA=GB=GC= Suy ra 3MG2 =a2 hay MG= Mà M cố định, do vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính R = VÝ dô 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:  MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2a2Với G là trọng tâm tứ diện, ta có và MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = == GA2+ GB2 + GC2 + GD2 + 4MG2Mà tứ diện ABCD đều cạnh a, nên GA=GB=GC=GD= GiảiDo đó 4MG2 = hay MG = Vậy tập các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính R = 2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳngKhi đó d = OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P). PO.RH.Cho mặt cầu S(O ; R) và mặt phẳng (P).Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên mp( P ).Hãy cho biết giữa mặt cầu và mặt phẳng có thể có những vị trí tương đối nào xảy ra ?PO.RH.Nếu M là một điểm thuộc (P) thì OM > OH. OM > R.Trường hợp 1: d > R POH..M.RVậy mọi điểm M trên mặt phẳng đều nằm ngoài mặt cầu . Do đó mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung. Nếu M là một bất kỳ điểm thuộc (P) thì OM > OH. OM > R.Trường hợp 1: d > R OH..M.RVậy mọi điểm M trên mặt phẳng đều nằm ngoài mặt cầu . Do đó mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung. PPOH..M.RPO.R..H..O..HR.P..HO.RO..HR...HP...OHR(S)Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có bao nhiêu điểm chung ?Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O ; R) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại tiếp điểm H đó.Mp(P) và mặt cầu có một điểm duy nhất H.Khi đó ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại H.Mp(P) là tiếp diện của mặt cầu tại điểm H. Điểm H gọi là điểm tiếp xúc (hoặc tiếp điểm) của (P) và mặt cầu. Trường hợp 2: d = R O.RO..HR...HP...ORHMP.OH.R.MP.O.H.MrRTrường hợp 3: d SA AC=> SAC = 900Bµi gi¶i=> A  mÆt cÇu ®­êng kÝnh SC*)AB lµ h×nh chiÕu cña SB trªn mp (ABCD), BC AB=> BC  SB => SBC = 900 => B  mÆt cÇu ®­êng kÝnh SCT­¬ng tù SDC = 900=> D  mÆt cÇu ®­êng kÝnh SCS,A,B,C,D cïng n»m trªn mét mÆt cÇu ®­êng kÝnh SC, t©m lµ trung ®iÓm cña SC, ®é dµi b¸n kÝnh lµ: R = 3 cm XÐt c¸c bµi to¸n sauKhi đó ta nói rằng mặt cầu đường kính SC ngoại tiếp hình chóp SABCD và hình chóp SABCD nội tiếp mặt cầu đường kính SCABCA’B’C ’D’ ODBµi 2 : CMR tÊt c¶ c¸c ®Ønh cña mét h×nh hép ch÷ nhËt ®Òu n»m trªn mét mÆt cÇu.XÐt c¸c bµi to¸n sauGiải Giả sử hình hộp chữ nhật là ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là giao điểm của AC’ và A’C.Khi đó dễ thấy: OA=OB=OC=OD=OA’=OB’ =OC’=OD’.Vậy tất cả các đỉnh của hình hộp chữ nhật đều nằm trên mặt cầu tâm O, là tâm của hình hộp chữ nhậtKhi đó ta nói mặt cầu tâm O ngoại tiếp hình hộp chữ nhật hay hình hộp nội tiếp mặt cầuBài toán 1 (SGK trang 41) Chứng minh rằng hình chóp nội tiếp một mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác nội tiếp một đường trònMặt cầu gọi là ngoại tiếp hình đa diện H và hình đa diện H gọi là nội tiếp một mặt cầu khi nào ?Mặt cầu gọi là ngoại tiếp hình đa diện H và hình đa diện H gọi là nội tiếp một mặt cầu khi mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện HMột hình chóp nội tiếp một mặt cầu khi và chỉ khi nào ?Quy tr×nh t×m t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãpDABCS  HO  M B1)KiÓm tra ®iÒu kiÖn: §¸y cña h×nh chãp ph¶i cã ®­êng trßn ngo¹i tiÕp .B2) T×m t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ®¸y h×nh chãp.B3) Dùng trôc ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ®¸y h×nh chãp,gäi lµ d.B4)Dùng mÆt ph¼ng trung trùc cña mét c¹nh bªn gäi lµ mÆt ph¼ng (α) => O = d(α)Ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n:Quy tr×nh t×m t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãpDABCS  HO  M Nh­ng th«ng th­êng:*) Chän mét mÆt ph¼ng (P) thuËn lîi: Tho¶ m·n ®ång thêi chøa trôc ®­êng trßn d. chøa mét c¹nh bªn SA.*) Trong (P) dùng mét ®­êng trung trùc cña SA => c¾t d t¹i O lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕph×nh chãp ®· cho.Quy tr×nh t×m t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãpDABCS  HO  M §Æc biÖt:*)NÕu tÊt c¶ c¸c ®Ønh cña h×nh chãp nh×n mét ®o¹n th¼ng cè ®Þnh d­íi mét gãc vu«ng => h×nh chãp néi tiÕp mÆt cÇu ®­êng kÝnh lµ ®o¹n th¼ng ®ã.HoÆc:NÕu cã mét mÆt ph¼ng (P) chøa+)d: Trôc ®­êng trßn ®¸y+): Trôc ®­êng trßn cña mét mÆt bªnT©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp chop lµ O = d  .Bài 1::Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC cã c¹nh ®¸y b»ng a,Bµi gi¶i:VÏ h×nh?§¸ymÆt bªn hîp víi mÆt ®¸y mét gãc .X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp.ABCP  N H§­êng caoCña chãpS C¹nh bªncña chãpGi¶ sö t©m lµ O => OA = OB = OC = OSaaaa3 /2T©m ®¸y?M Mét mÆt ph¼ng quaSA vµ trôc ®­êng trßnTrong mÆt ph¼ng SAH: OVÏ trung trùc c¹nh SA, c¾t trôc ®­êng trßn t¹i OBài tập SM  HA a3/3a3/6 NSH = ?ABCP  N HS aaaa3 /3M  O OSM.SA = SO.SH1/2SA.SA = SO.SH SA2R = SO = 2SH a36tgSH = Bài 2:Chãp tø gi¸c ®Òu.T×m t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãpADCB• H• S*T©m ph¶i n»m trªn SH O*T©m ph¶i n»m trªn mét trung trùc SAMMét mÆt ph¼ng chøa trôc ®­êng trßn vµ mét c¹nh bªnBµi häc ®Õn ®©y lµ kÕt thóc Xin ch©n thµnh c¶m ¬n