Bài giảng môn Toán lớp 11 - Phương trình lượng giác

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §1. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Công thức cộng: 2. Công thức nhân đôi: Chú ý: Dựa công thức nhân đôi, cụ thể công thức biểu diễn theo Các công thức trên giúp ta chuyển phương trình lượng giác cùng góc thành ptrình đại số theo ẩn t. Công thức hạ bậc: Hạ bậc hai: Từ công thức cos2a, ta có: Hạ bậc ba: Rút từ công thức nhân ba: Công thức biến đổi: Biến đổi tổng thành tích: Biến đổi tích thành tổng: Khi sử dụng các công thức này trong giải phương trình, cần chọn lựa để tạo ra được các góc phù hợp §2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CÁC GÓC ĐẶC BIỆT Sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ giá trị hàm số lượng giác các góc đặc biệt §3. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT Ghi nhớ chu kỳ của các hàm số lượng giác: có chu kỳ là có chu kỳ là ; ; Hàm số lượng giác các góc có liên quan đặc biệt: Dựa trên đường tròn lượng giác hay dựa : “ cos - đối; sin - bù; phụ - chéo; khác tang; hơn sin bằng cos “ cos - đối sin - bù Phụ - chéo Khác tang Hơn sin bằng cos §4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản: Phương trình Điều kiện Biểu diễn Công thức nghiệm sinx = m cosx = m tanx = m cotx = m Phương trình đối với một hàm số lượng giác: trong đó u là . Giải (*) theo ẩn u và đưa về phương trình lượng giác cơ bản. Ví dụ 1: Giải phương trình: a) b) Ví dụ 2: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: HG: pt Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của từng phương trình (1) và (2): Nghiệm dương nhỏ nhất của (2) là x = 1 . , nên (1) có nghiệm khi và chỉ khi . Hai nghiệm của (1) là: nên nghiệm dương là (vì ) Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của (1) là ; ứng với k = 0 Ví dụ 3: Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m HG: phương trình Pt có nghiệm (*) có ít nhất một nghiệm t thỏa mãn (*) (Vì t = 0 không là nghiệm của (*)) Căn cứ đồ thị, rõ ràng đường thẳng luôn cắt đồ thị tại một điểm có hoành độ thuộc đoạn §5. PHƯƠNG TRÌNH 1. Điều kiện có nghiệm 2. Các cách giải: Xét trường hợp Cách 1: Chia 2 vế phương trình cho a (hoặc b), thay tỷ số đó bằng Cách 2: Chia 2 vế phương trình cho Cách 3: Biến đổi theo đưa về phương trình đại số bậc 2 theo ẩn t (Cách giải này giúp ta dễ dàng biện luận về nghiệm của phương trình đã cho) Ở cách giải 2, ta biến đổi được biểu thức Ví dụ 1: Giải các phương trình: a) b) c) Giải: a) Cách 1: phương trình Cách 2: phương trình Cách 3: phương trình b) c) Ví dụ 2: Giải phương trình HG: Có thể giải bằng cách hạ bậc, đưa về dạng hoặc sử dụng cách giải của dạng phương trình (phương trình đẳng cấp đối với sinx, cosx) Ví dụ 3: Giải phương trình HG: Trên cơ sở phân tích quan hệ các góc để chọn cách giải ĐS: Có 2 cách giải Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số HG: y là giá trị lớn nhất của hàm số khi tồn tại x hay khi phương trình (*) có nghiệm x theo y. ĐS: §6. PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG ẨN PHỤ 1. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx (là những phương trình mà khi hoán vị cho nhau, ta nhận lại được chính nó) Cách giải: Đặt , điều kiện Khi đó , , là các biểu thức đối xứng nên biểu diễn được theo u Ví dụ 1: Cho phương trình a. Giải phương trình với b. Tìm m để phương trình có nghiệm HG: , với Xét hàm số: Bảng biến thiên: u 6 0 + ĐS: a) b) Ví dụ 2: Giải phương trình HG: Chú ý: Trên cơ sở đó, ta có cách giải tương ứng cho phương trình phản đối xứng đối với sinx và cosx: 2. Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx Ta biết , vậy biểu diễn được phương trình theo ẩn phụ Ví dụ 1: Cho phương trình Giải phương trình với Tìm m để phương trình có nghiệm HG: (*) a. , ta có * , vô nghiệm * b. (**), pt (**) có nghiệm khi Tìm m để pt (*) có nghiệm thuộc các nửa khoảng . (Vì u = 0 không phải là nghiệm của (*)) Xét hàm số (C), biện luận để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại điểm có hoành độ thuộc các nửa khoảng . u 0 + + 4 ĐS: Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: HG: . Lập bảng biến thiên của hàm số . ĐS: Trong cách giải các phương trình đối xứng, ta sử dụng phương pháp ẩn phụ. Phương trình sau đây tuy không phải đối xứng song cách giải lại sử dụng phương pháp ẩn phụ. 3. Phương trình đẳng cấp bậc cao đối với sinx và cosx Mọi số hạng trong phương trình có tổng bậc của sinx và cosx đều bằng nhau và bằng k. Vậy bằng cách thử để chọn nghiệm. Sau đó xét phương trình với , chia hai vế phương trình cho đưa về phương trình theo ẩn phụ . Việc nhận dạng phương trình đẳng cấp của phương trình lượng giác khá linh hoạt. Chẳng hạn sinx có thể phân tích thành Ví dụ 1: Giải phương trình HG: không phải là nghiệm của pt. Chia 2 vế pt cho , ta được ĐS: Ví dụ 2: Tìm m để phương trình có nghiệm ĐS: HG: Đưa về phương trình Ngoài các dạng đặc biệt trên, ta còn có cách đặt ẩn phụ thích hợp mà theo ẩn phụ đó ta sẽ đưa về các dạng phương trình quen thuộc Ví dụ 3: Giải phương trình HG: Đặt , phương trình trở thành 1) : 2) : BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Chứng minh rằng trong hai phương trình: có ít nhất một phương trình có nghiệm. Bài 2: Giải các phương trình: a) b) Bài 3: Tìm a để phương trình sau có nghiệm: có nghiệm Bài 4: Cho phương trình: Giải phương trình với Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 5: Giải các phương trình a) b) c) Hướng dẫn giải và đáp số 1) Biến đổi (2). Giả sử phản chứng cả 2 phương trình đều vô nghiệm 2) a. Hạ bậc b. 3) 4) a) với b) 5) a. b. c. §7. LOẠI NGHIỆM KHÔNG PHÙ HỢP Trong nhiều phương trình lượng giác, cần đặt điều kiện cho ẩn để phương trình có nghĩa. Do vậy trước khi kết luận nghiệm, ta cần kiểm tra và loại các nghiệm không phù hợp. Việc loại nghiệm thường được tiến hành biểu diễn trên đường tròn lượng giác. Ví dụ 1: Giải phương trình Điều kiện điểm biểu số thực x thuộc cung phần tư thứ nhất Phương trình Đối chiếu điều kiện chỉ chọn nghiệm (điểm biểu diễn thuộc cung phần tư thứ nhất) Ví dụ 2: Cho phương trình 1) Giải phương trình với 2) Tìm m để phương trình có nghiệm Giải: Điều kiện: (điểm biểu diễn góc 2x khác 2 vị trí B và B/ trên đường tròn lượng giác) Phương trình 1) phương trình trở thành Đối chiếu điều kiện, phương trình vô nghiệm Phương trình đã cho có nghiệm (*) có nghiệm thoả mãn (*) (**) (t = 0 không phải là nghiệm của (*)) Bài toán đưa về: Tìm m để pt (**) có nghiệm thoả mãn Lập bảng biến thiên hàm số , biện luận bằng đồ thị để đường thẳng cắt đồ thị tại điểm có hoành độ thoả mãn x 0 1 1 ĐS: Ví dụ 3: Giải phương trình Giải: Điều kiện Phương trình Nếu không chú ý điều kiện bạn có thể chọn cả nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình Giải: Điều kiện Cách 1 : Ta có: Phương trình Vậy phương trình có nghiệm Cách 2 : Phương trình Thử lại: Biểu diễn điểm cuối họ nghiệm trên đường tròn, chỉ chọn được §8. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIẢI BẰNG CÁCH HẠ BẬC Ở đây ta cần phân tích kỹ quan hệ giữa các góc có mặt trong phương trình, luỹ thừa của các hàm số sinx, cosx, tanx (bậc 2, 3, 4, 6, 8 theo nguyên tắc đều có thể hạ bậc được - tuy nhiên khi ấy số đo các góc sẽ tăng lên). Khi thực hiện hạ bậc phải có suy đoán đến một kết quả đơn giản nhờ vào quan hệ của các góc. Ví dụ 1: Giải phương trình Giải: Phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Phương trình Chú ý: Ở đây ta có thể giải từ (*) không phải biến đổi tiếp, nhưng lúc đó cần kết hợp thu gọn nghiệm. Ví dụ 3: Giải phương trình Giải: Phương trình ĐS: Ví dụ 4: Cho phương trình (1) a) Giải phương trình với a = 1 b) Xác định a để phương trình có nghiệm trên khoảng Giải: (1) a) Với , phương trình trở thành ĐS: b) Đặt ta có phương trình (2) Bài toán đưa về, tìm a để phương trình (2) có nghiệm t thuộc khoảng Khảo sát hsố , Ví dụ 5: Xác định m để phương trình sau có nghiệm : Giải: Phương trình Đặt Bài toán đưa về tìm m để phương trình có nghiệm ĐS: §9. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIẢI BẰNG DẠNG TÍCH Ở đây, để dùng được phương pháp phân tích thành tích các thừa số, trước hết ta cần chuyển về cùng một góc (cung) và sử dụng các cách phân tích thành thừa số. Việc phân tích đòi hỏi phải có kỷ năng ghép phù hợp. Với những phương trình mà việc phân tích có thể chưa hình dung được thì cần thử chọn nghiệm. Chẳng hạn với thì hãy thử chọn với các giá trị như tất nhiên khi chọn giá trị cho ta sẽ xác định được giá trị tương ứng của . Qua nghiệm chọn được ta thực hiện biến đổi theo thừa số chứa nghiệm. Một số dạng phương trình quy về dạng tích: 1. 2. Các số hạng có cùng hệ số và sử dụng công thức biến đổi thành tích 3. Thông qua bảng thừa số chung sau: Biểu thức biểu diễn được theo f(x) sinx sin2x, sin3x, tanx, tan2x, tan3x, ... cosx sin2x, cos3x, tan2x, cotx, cot3x, ... 1+cosx 1 – cosx 1+ sinx 1 – sinx sinx + cosx sinx – cosx Ví dụ 1: Giải phương trình Giải: Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Đặt , phương trình (a) trở thành: Vậy phương trình đã cho Cách 2: P.trình Chú ý: Có thể giải bằng cách thay không ? Ví dụ 3: Xác định m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thuộc đoạn Giải: Phương trình Trên đoạn , phương trình (a) có hai nghiệm . Phương trình đã cho có 2 nghiệm thuộc đoạn * (b) vô nghiệm * (b) chỉ nhận hoặc làm nghiệm Đảo lại , trên đoạn , phương trình này chỉ có 2 nghiệm , Kết luận: Ví dụ 4: Cho phương trình Giải phương trình với m=1 Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm khác Giải: Pt Với , phương trình b) là nghiệm của phương trình (*) * : có nghiệm khác * : , không có nghiệm khác Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm khác khi và chỉ khi có nghiệm t thuộc khoảng Bài toán qui về: Tìm m sao cho phương trình có nghiệm thuộc khoảng Kết luận: BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) Bài 2: Xác định m để từng phương trình sau đây có nghiệm: a) b) c) có nghiệm thuộc khoảng d) có hai nghiệm trên đoạn e) Hướng dẫn & đáp số 1.a) Phân tích Xét thêm điều kiện hiển nhiên Phương trình 1.b) 1.c) 1.d) Thừa số chung , xét 2 trường hợp không âm và âm (lúc đó vô nghiệm) ĐS: 1.e) ĐS: 2.a) 2.b) Liên hệ cách giải phương trình chứa .Khi khai triển luỹ thừa ta có phương trình bậc 4 đủ. Đặt sẽ đưa đến phương trình trùng phương 2.c) 2.d) 2.e) MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC & CAO ĐẲNG Năm 2001-2002 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Giải và biện luận theo m phương trình : 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) Biết , tính . 16) Cho 2 phương trình (1) (2) Tìm a để hai phương trình tương đương. 17) 18) 19) 20) 21) 22) Cho phương trình a) Giải phương trình với b) Xác định m để phương trình có nghiệm 23) 24) Cho phương trình Giải phương trình khi Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 25) 26) Cho phương trình Giải phương trình khi Giải và biện luận theo tham số a phương trình trên 27) 1. Giải phương trình 2. Cho phương trình . Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 28) 29) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) * * 9) 10) 11) 12) phương trình đối xứng theo tanx và cotx 13) 14) Bài 16: 17) 18) 19) Công thức tổng thành tích và tích thành tổng 20) 21) 23) 24) vô nghiệm trên đoạn có ít nhất một nghiệm trên đoạn đó có ít nhất một nghiệm trên đoạn Bài 23: Hạ bậc vế phải Bài 24: Phương trình Bài toán Bài 25: Bài 26: Đẳng cấp bậc 3 Bài 27: 1. 2. Phương trình có nghiệm Bài 28: Phương trình ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2007 A-2007 Dự bị A-2007 Dự bị A-2007 B-2007 Dự bị B-2007 Dự bị B-2007 D-2007 Dự bị D-2007 Dự bị D-2007 A-2008 B-2008 D-2008 Dự bị A-2008 Dự bị A-2008 Dự bị B-2008 Dự bị B-2008 Dự bị D-2008 A-2009 B-2009 D-2009 A-2010 B-2010 D-2010 CĐ-2010 A-2011 B-2011 D-2011 CĐ-2011 GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2007 (2) (*) Rút gọn: * * Nhận xét Phương trình pt pt Qui về góc cùng hàm số lượng giác góc BÀI TẬP LUYỆN TẬP I. Dạng phương trình bậc nhất đối với , phương trình thần nhất bậc hai đối với II. Dạng giải bằng hạ bậc III. Dạng giải bằng công thức biến đổi IV. Dạng tổng hợp