Bài giảng môn Toán lớp 10 - Đường e-Lip

ĐƯỜNG E-LIPMỤC TIÊU:Hiểu và nắm vững định nghĩa elip, phương trình chính tắc của elip.Viết được phương trình chính tắc của elíp khi biết một số yếu tố xác định.ĐƯỜNG ELIP ĐƯỜNG ELIPVẽ đường elípTrên mặt bảng gỗ đóng hai chiếc đinh tại hai điểm F1 và F2. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi, có độ dài lớn hơn hai lần khoảng cách F1F2.NhËn xÐt g× vÒ chu vi tam gi¸c MF1F2, tæng MF1+MF2 khi ®iÓm M thay ®æi ? 1. Định nghĩa về đường elipCho hai điểm cố định F1 và F2, với F1F2 = 2c (c>0). Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M sao cho MF1+MF2 = 2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c.- Hai điểm F1 và F2, gọi là các tiêu điểm của elip. - Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip.F1F2M2. Phương trình chính tắc của elipCho elip (E) như định nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.Ta có tọa độ các tiêu điểm là: F1(-c; 0), F2(c; 0)MF1F2yVới cách chọn hệ trục tọa độ như vậy, hãy cho biết tọa độ hai tiêu điểm F1 và F2?Oxn»m trªn elip ta cã:Tõ ®ã ta cã:§Æt PT (*) trë thµnhvíi (*) tõ (2) vµ (3) ta cã hÖThay vµo (1) ta ®­îcxy..F1(-c;0)F2(c;0)2c.OM(x;y).2. Phương trình chính tắc của elip(1)Ngược lại ta có thể chứng minh rằng: Nếu M(x,y) thoả mãn (1) thì MF1=a+MF2=a- do đó MF1+MF2=2a, tức là M thuộc elípPh­¬ng tr×nhvíi Gäi lµ ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp (E) ®· choELIPVí dụ 1. Cho ba điểm F1(- ; 0), F2(; 0) và I(0; 3).a) Hãy viết phương trình chính tắc của elip (E) có các tiêu điểm là F1, F2 và đi qua I.b) Khi điểm M chạy trên (E),khoảng cách MF1 có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng bao nhiêua).Giả sử (E) có phương trình chính tắc .Do I(0;3) thuộc (E) nên ta có ,suy ra b2=9. Theo giả thiết tiêu cự của (E) là F1F2=2c=2 . Vậy c= .Do đó a2=b2+c2=9+5=14. Vậy (E) có phương trình chính tắc là:Bài giải:b).Theo công thức về độ dài của bán kính qua tiêu ta có MF1=a+ .Vì nên hayDo đó MF1 có giá trị nhỏ nhất là khi x=-a và có giá trị lớn nhất là khi x=aELIPVí dụ 2:Viết phương trình chính tắc của (E) đi qua hai điểm M(0:1) và . Xác định toạ độ các tiêu điểm của elíp đó. Bài giảiGiả sử phương trình chính tắc của elíp có dạng: Với a>b>0Do elíp đi qua M(0;1) nên hay b2=1 .Mặt khác elíp qua nên suy ra a2=4.Vậy elíp cần tìm có phương trình chính tắc là Ta có c2=a2-b2=4-1=3 .Vậy c= Khi đó toạ độ các tiêu điểm của elíp là Và Củng cố1. Định nghĩa elip. (E) = {M | MF1 + MF2 = 2a, a không đổi, a > c > 0} F1(-c; 0), F2(c; 0), F1F2 = 2c.(a2 - b2 = c2) 2. Phương trình chính tắc của elipTọa độ các tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c;0)Bán kính qua tiêu của điểm M(xM; yM) thuộc elip (E) là: và