Bài giảng môn Toán lớp 10 - Bài 4: Đường tròn

I1. Phương trình đường tròn⍰ Cho trước một điểm I và một số thực dương R. Nhắc lại điều kiện cần và đủ để điểm M thuộc đường tròn tâm I bán kính RCần và đủ để điểm M thuộc đường tròn tâm I bán kính R là:  khoảng cách IM = R hay IM2 = R2II1. Phương trình đường trònGiả sử điểm I(xo,yo), điểm thay đổi M(x;y). Tính IM2 ?Suy ra điều kiện đối với (x ; y) để điểm M thuộc đường tròn?IM2 = (x – xo)2 + (y – yo)2M  (I,R)  (x – xo)2 + (y – yo)2 = R2 1) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN:Trong mp Oxy, cho đường tròn (C) tâm (xo ; yo), bán kính R.Điểm M(x ; y) thuộc (C) khi và chỉ khi : (x – xo)2 + (y – yo)2 = R2 (1)Ta gọi pt (1) là phương trình của đường trònx , y là các ẩn số của phương trình (?) Muốn viết phương trình của một đường tròn ta phải tìm những yếu tố nào?1) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN:(H1) Cho hai điểm P(-2;3) và Q(2;-3) a) Viết PT đường tròn tâm P và đi qua Q b) Viết PT đường tròn đường kính PQGiải: a) đường tròn tâm P và đi qua Q có bán kính  R = PQ = PT của đường tròn đó là: b) đường tròn đường kính PQ có tâm I là trung điểm đoạn thẳng PQ và bán kính r = PQ / 2 Ta có: I(0 ; 0) và r = PT của đường tròn đó là:1) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN:Xét PT của đường tròn tâm P bán kính PQ : (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52  x2 + y2 + 4x – 6y – 39 = 0Phương trình có dạng: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0Ta có: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0  (x + a)2 + (y + b)2 = a2 + b2 – c (?) Vậy điều kiện nào đối với a, b, c để phương trình dạng : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0là PT của một đường tròn?  Khi đó xác định tâm và bán kính của đường tròn đó?2) NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN:(H2) Khi a2 + b2  c, hãy tìm tập hợp các điểm M có toạ độ (x ; y) thoả mãn PT (2)TL: Khi a2 + b2 = c, PT (2) trở thành: (x + a)2+ (y + b)2 = 0PT có 1 nghiệm (-a, -b) nên tập hợp có một điểm M(-a; -b) TL: Khi a2 + b2 c , là phương trình của đường tròn (C) tâm I (-a ; -b) , bán kính R = 2) NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN:(?) Trong các phương trình sau, PT nào là PT của đường tròn?x2 + y2 + 4x - 2y - 4 = 02x2 + 2y2 - 6x + 4y +2 = 0x2 + 2y2 – 6x + 4y + 10 = 0x2 + y2 – 6x + 2y +12 = 0Tâm I(-2;1), R = 3PT đ.trònSS(?) Tìm tâm và b.kính của đ.tròn có PT: 2x2+2y2 – 6x + 4y +2 = 0?Ví dụ : Viết PT của đường tròn đi qua ba điểm M(1;2) , N(5;2) , P(1;-3)Có hai cách giải: Cách 1: Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính R của đường tròn Giả sử đường tròn tâm I(x;y), bán kính R, vì đường tròn đi qua ba điểm M,N,P. Ta suy ra IM = IN = IP, từ đó ta có hệ:Giải hệ ta được x = 3 ; y = - 0,5 . Vậy I (3 ; - 0,5)Khi đó R2 = IM2 = 10,25. Phương trình đường tròn cần tìm là: (x – 3)2 + (y + 0,5)2 = 10,25 Giả sử đtròn cần tìm có tâm I(x;y), bán kính R (?) Đường tròn đi qua ba điểm M,N,P nên ta suy được gì? Cách 2: Tìm các hệ số a, b, c của PT: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 Giả sử phương trình đường tròn có dạng x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (2)(?) đường tròn đi qua 3 điểm M,N,P, nên toạ độ ba điểm này là nghiệm của PT (2) lần lượt thay toạ độ ba điểm này vào PT (2) ta được hệ:5 + 2a + 4b + c = 029 + 10a + 4b + c = 010 + 2a – 6b + c = 0a = -3b = 0,5 c = -1Vậy PT đường tròn cần tìm là: x2 + y2 – 6x + y – 1 = 0(?) đường tròn đi qua 3 điểm M,N,P, nên toạ độ ba điểm này có liên hệ gì với PT(2)?Ví dụ : Viết PT của đường tròn đi qua ba điểm M(1;2) , N(5;2) , P(1;-3)(?) Em hãy cho biết điều kiện để một đường thẳng  tiếp xúc với một đường tròn (C) tâm I bán kính R?TL: Điều kiện để một đường thẳng  tiếp xúc với một đường tròn (C) tâm I bán kính R là khoảng cách d(I, ) = R3) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN:(?) Vậy để giải bài tập ta sẽ thực hiện thế nào?Bài toán 1: Cho (C): (x + 1)2 + (y – 2)2 = 5. Viết PT tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M 3) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN:Bài toán 1: Cho (C): (x + 1)2 + (y – 2)2 = 5. Viết PT tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M 3) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN:Ghi nhớ: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn(?)3) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN:Bài toán 2: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0 và điểm M(4; 2) Chứng tỏ điểm M nằm trên đường tròn (C)Viết PTTT của đường tròn (C) tại Ma)(?) để chứng tỏ điểm M nằm trên đường tròn thì ta làm gì ?b) Ta có điểm M thuộc đường tròn (C).(?) đt  tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm M thuộc đường tròn thì ta suy được gì? Muốn viết PT của đthẳng , ta phải tìm những yếu tố nào?3) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN:Bài toán 2: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0 và điểm M(4; 2) Chứng tỏ điểm M nằm trên đường tròn (C)Viết PTTT của đường tròn (C) tại MGiải: a) Thay toạ độ (4;2) của M vào vế trái của PT đtròn ta được: 42 + 22 - 2.4 - 4.2 - 20 = 0. Chứng tỏ M thuộc đường tròn (C)Phương trình của tiếp tuyến là: 3(x – 4) + 4(y – 2) = 0  3x + 4y – 20 = 0b) Đt  tiếp xúc đường tròn (C) tại điểm M nên  vuông góc với IM. Suy ra vectơ IM = (3 ; 4) là vectơ pháp tuyến của đt 3) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN:Ghi nhớ: Đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I tại điểm M thuộc đường tròn khi và chỉ khi  vuông góc với IM tại điểm M3) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN:(H3) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và tiếp xúc với đường tròn (C): x2 +y2 – 3x + y = 0(H4) Viết PT tiếp tuyến của đ.tròn (x – 2)2 + (y + 3)2 = 1 biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng : 3x – y + 2 = 0 (?1) đường thẳng đi qua gốc toạ độ và đ.tròn (C): x2 +y2 – 3x + y = 0 có điểm nào chung ? Trình bày cách giải (H3)?(?2) đ.thẳng ’ cần tìm song song với đ.thẳng : 3x – y + 2 = 0 thì dạng phương trình của nó thế nào? Trình bày cách giải (H4) ?(H4) Tìm được hai đường thẳng lần lượt có PT: 3x – y – 9 – = 0 và 3x – y – 9 + = 0(H3) PT tiếp tuyến của (C) tai điểm O(0;0) là: 3x – y = 0Học xong bài học này các em cần nhớ:+ Hai dạng của phương trình đường tròn+ Biết cách tìm tâm và bán kính của đường tròn khi biết PT của nó+ Cách giải hai bài toán tìm phương trình tiếp tuyến của đường trònGiải các bài tập trang 95, 96