Bài giảng môn Toán học lớp 9 - Các dạng bài tập về sự tương giao của hai đồ thị hàm số

Các dạng bài tập về Sự tương giao của hai đồ thị hàm sốCho 2 hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị lần lượt là C1 và C2 Xét phương trình hoành độ điểm chung của C1 và C2 là f(x)=g(x) (1)*Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì C1 và C2 không có điểm chung*Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì C1 và C2 tiếp xúc nhau*Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì C1 và C2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt*Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì C1 và C2 cắt nhau tại n điểm phân biệtDạng 1  Bài toán chứng minhBài 1 Chứng minh rằng đường thẳng (D): y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P) y=2x2-4(2m-1)x+8m2-3Giải Hoành độ điểm chung của đường thẳng (D): y=4x-3 và parabol (P) y=2x2-4(2m-1)x+8m2-3là nghiệm của phương trình 2x2-4(2m-1)x+8m2-3=4x-3 Giải 2x2-4(2m-1)x+8m2-3=4x-32x2-8mx +8m2=0x2-4mx+4m2=0 (1)ta có '= Giải x2-4mx+4m2=0 (1)ta có '=4m2-4m2=0 với mọi giá trị của m nên phương trình (1) luôn luôn có nghiệm kép với mọi giá trị của mVậy parabol (P) luôn tiếp xúc với đường thẳng (D)Bài 2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Cho parabol (P) y=x2-2(m-1)x-2 và đường thẳng (D): y=2x Chứng minh rằng(P) và (D) luôn luôn cắt nhau tại hai điểm A và B Bài 2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Cho parabol (P) y=x2-2(m-1)x-2 và đường thẳng (D): y=2x a, Chứng minh rằng(P) và (D) luôn luôn cắt nhau tại hai điểm A và B b, Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB khi m thay đổic, Chứng tỏ rằng (P) luôn luôn đi qua một điểm cố định Bài 2 Phương trình hoành độ điểm chung của parabol (P) y=x2-2(m-1)x-2 và đường thẳng (D): y=2x là x2-2(m-1)x-2=2xx2-2mx-2=0 (1)'= m2+2>0 với mọi m nên phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm Vậy (P) và (D) luôn luôn cắt nhau tại hai điểm A và B Bài 2 x2-2mx-2=0 (1)Hoành độ của A và B là nghiệm của phương trình (1) theo hệ thức Viét ta cóx1+x2=2mVì I là trung điểm của AB nên I thuộc AB hay I thuộc (D)Gọi I(x0;y0) ta có x0=(x1+x2):2=2m:2=mvà y0=2x0=2mVậy I(m,2m)Bài 2 parabol (P) y=x2-2(m-1)x-2 x2-2mx+2x-2-y=0x(x-2m+2)-(2+y)=0 vơi mọi m x=0 và 2+y=0x=0 và y=-2Vậy (P) luôn luôn đi qua một điểm cố định(0;-2) Dạng 2  Bài toán tìm điều kiệnBài 1 Cho đường thẳng (D): y=2(m-x)và parabol (P) y=-x2+2x+4ma, Với giá trị nào của m thì (D) tiếp xúc với (P)b, Với giá trị nào của m thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm toạ độ giao điểm A và B khi m=1,5Giải Hoành độ điểm chung của đường thẳng (D): y=2(m-x)và parabol (P) y=-x2+2x+4mlà nghiệm của phương trình-x2+2x+4m= 2(m-x)x2-4x-2m=0 (3)'=4+2mGiải -x2+2x+4m= 2(m-x)x2-4x-2m=0 (3)'=4+2mĐường thẳng (D) tiếp xúc với (P) phương trình (3) có nghiệm kép  '=0 4+2m=0 m=-2Vậy giá trị của m=-2 thì (D) tiếp xúc với (P)Giải -x2+2x+4m= 2(m-x)x2-4x-2m=0 (3)'=4+2mĐường thẳng (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt  '>0 4+2m>0 m>-2Vậy giá trị của m>-2 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Giải Khi m=1,5 thì hoành độ giao điểm A và B là nghiệm của phương trình x2-4x-3=0 '=4+3=7 Bài 2 Cho đường thẳng (d): y=-2x+mvà parabol (P) y=-x2-3x-4a, Với giá trị nào của m thì (d) tiếp xúc với (P)b, Với giá trị nào của m thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. c, Tìm m để (d) và (P) không có điểm chung nào cảBài 2 Phương trình hoành độ điểm chung của đường thẳng (d): y=-2x+mvà parabol (P) y=-x2-3x-4là -x2-3x-4=-2x+m x2+x+m+4=0'=1-4.1(m+4)=1-4m-16=-4m-15Dạng 3  Xác định toạ độ tiếp điểm Bài 1 Cho parabol (P) y=x2-2x-3Tìm các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đó song song với đường thẳng (D): y=-4xBài 1 Cho parabol (P) y=x2-2x-3 Viết phương trình đường thẳng (d') song song đường thẳng (D): y=-4xvà tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm Bài 1 Cho parabol (P) y=x2-2x-3Gọi phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) là d: y=ax+bDo (d) song song với đường thẳng (D): y=-4x nên a=-4, do đó (d):y=-4x+b (b khác 0Bài 1 Cho parabol (P) y=x2-2x-3Hoành độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của phương trình x2-2x-3=-4x+bx2+2x-3-b=0 (1)Đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép  '=0 4+b=0 b=-4Bài 1 Hoành độ tiếp điểm là nghiệm kép của phương trình x2+2x-3-b=0 (1) với b=-4Do đó x1=x2=-1Với hoành độ bằng -1 nên tung độ tiếp điểm là y=(-1)2-2.(-1)-3=0Vậy toạ độ tiếp điểm là (-1;0)Dạng 4  Lập phương trình tiếp tuyếnVí dụ Cho đường thẳng (d): y=ax+b Tìm a, b biếta, đường thẳng (d) song song với đường thẳng 2y+4x=5 và tiếp xúc với parabol (P) y=-x2b, đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng x-2y+1=0 và tiếp xúc với parabol (P) y=-x2c, đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) y=x2 -3x+2 tại điểm C(3;2)Ví dụ Cho đường thẳng (d): y=ax+b Tìm a, b biếta, Ta có 2y+4x=5 y=-2x+2,5 (d) song song với đường thẳng 2y+4x=5 nên có dạng a=-2 và b khác 2,5 do đó (d): y=-2x+bXét phương trình hoành độ đỉêm chung của (d) và (P): -x2=-2x+bx2-2x+b=0∆’=1-bĐường thẳng (D) tiếp xúc với (P) phương trình (3) có nghiệm kép  '=0 1-b=0 b=1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y=-2x+1Ví dụ Cho đường thẳng (d): y=ax+b Tìm a, b biếta, Ta có 2y+4x=5 y=-2x+2,5 (d) song song với đường thẳng 2y+4x=5 nên có dạng a=-2 và b khác 2,5 do đó (d): y=-2x+bXét phương trình hoành độ đỉêm chung của (d) và (P)và tiếp xúc với parabol (P) y=-x2nên y=-2x+1b, x-2y+1=0 đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng x-2y+1=0 và tiếp xúc với parabol (P) y=-x2c, đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) y=x2 -3x+2 tại điểm C(3;2)Ví dụ Cho đường thẳng (d): y=ax+b Tìm a, b biếtb, x-2y+1=0 =>y=0,5x+0,5 . đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng x-2y+1=0 a.0,5=-1a=-2 Nên (d) có dạng y=-2x+b và tiếp xúc với parabol (P) y=-x2=>b=1Vậy (d) y=-2x+1c, đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) y=x2 -3x+2 tại điểm C(3;2)Ví dụ Cho đường thẳng (d): y=ax+b Tìm a, b biếtc, đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) y=x2 -3x+2 tại điểm C(3;2)Ta có C(3;2) thuộc (d)2=3a+bb=2-3aKhi đó phương trình (d) có dạng y=ax+2-3a(d) tiếp xúc với parabol (P) y=x2 -3x+2 tại điểm C(3;2)=>a=3 và b=-7Vậy y=3x-7Dạng 5  Xác định ParabolVí dụ Xác định Parabol(P): y=ax2+bx+c thoả mãna, (P) tiếp xúc với đường thẳng (d) y=-5x+15 và đi qua hai điểm (0;-1) và (4;-5)b, (P)cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và cắt đường thẳng (d) y=x-1 tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3Giảia, (P): y=ax2+bx+c đi qua hai điểm (0;-1) và (4;-5) nên -1=c c=-1 -5=16a+4b+c b=-1-4aDo đó parabol (P) có dạng y=ax2-(1+4a)x-1GiảiHoành độ điểm chung của (d) và (P) là nghiệm của phương trình ax2-(1+4a)x-1=-5x+15ax2-4(a-1)x-16=0 (2)Đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) phương trình (2) có nghiệm kép  '=0 4(a-1)-16a=0 (a+1)2=0a=-1 =>b=3 và c=-1Giảia,a=-1 =>b=3 và c=-1Vậy (P) là đồ thị của hàm số y=-x2+3x-1 Ví dụ Parabol(P): y=ax2+bx+c thoả mãnb, (P)cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên đi qua điểm (0;2) và cắt đường thẳng (d) y=x-1 tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3 Giao điểm của (P) và (d) là (1;0) và (3;2)Do đó (P) đi qua 3 điểm (0;2); (1;0) và (3;2)Ví dụ Do đó (P) đi qua 3 điểm (0;2); (1;0) và (3;2) nên 2=c c=2 c=2 0=a+b+c  a+b=-2  a=1 2=9a+3b+c 3a+b=0 b=-3Vậy (P) có phương trình y=x2-3x+2