Bài giảng môn Toán học lớp 11 - Dạng 9: Một số bài toán về lập phương trình tổ hợp

Dạng 9Một số bài toán về lập phương trình tổ hợpNội dungDạng 9. Một số bài toán về lập phương trình tổ hợpDạng 9A. Bài toán về tìm cấp số cộng Dạng 9B. Một số bài toán về hình học Dạng 9C. Bài toán về tam giácDạng 9ABài toán về tìm cấp số cộngBài tập mẫuHãy tìm ba số hạng liên tiếp lập thành một cấp số cộng trong dãy số sauGiảiTa có ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi Bài tập tương tựHãy tìm ba số hạng liên tiếp lập thành một cấp số cộng trong dãy số sau GiảiTa có ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi Lưu ý: Một số tình huống thường gặp khi lập phương trình tổ hợp là:Ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng (hoặc cấp số nhân) khi và chỉ khi 2b = a + c (hoặc b2 = ac ).Cho tập hợp A có n phần tử, số tập con của A gồm x phần tử bằng k lần số tập con của A gồm y phần tử, tương ứng với phương trình Dạng 9BMột số bài toán về hình học Bài tập mẫuCho một đa giác đều có 2n đỉnh, biết rằng số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác bằng 20 lần số hình chữ nhật có 4 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác đó. Hãy tìm n.GiảiCứ 3 trong số 2n đỉnh của đa giác tạo thành một tam giác. Số tam giác là Mặt khác đa giác đều 2n đỉnh có n đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác và cứ hai đường kính bất kỳ tạo thành một hình chữ nhật. Do đó số hình chữ nhật bằng số cách chọn 2 trong n đường kính, suy ra số hình chữ nhật là Ta được phương trình: Biến đổi phương trình: Thực hiện rút gọn, ta được 2n – 1 = 15 hay n = 8. Đáp số n =8. Lưu ý: Số tam giác có ba đỉnh thuộc tập gồm n điểm là Số hình chữ nhật có bốn đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của một đa giác đều 2n đỉnh là Cho một tập hợp gồm n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng (mỗi đường thẳng đi qua hai trong số các điểm thuộc tập hợp đó) là Cho một tập hợp gồm n đường thẳng, trong đó không có ba đường thẳng nào đồng quy thì số giao điểm của chúng là Bài tập tương tựCho một đa giác đều có 2n+1 đỉnh, tìm n, biết rằng số hình thang cân có 4 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác đó bằng 476. GiảiĐường thẳng qua mỗi đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện là một trục đối xứng của đa giác. Mỗi bên của trục đối xứng đó có n đỉnh. Cứ hai trong số n đỉnh đó cùng với hai đỉnh đối xứng qua trục trên tạo thành một hình thang cânSố hình thang cân tương ứng với một trục đối xứng là . Vì có tất cả 2n+1 trục đối xứng nên số hình thang cân là Ta được phương trình Biến đổi phương trình:Phương trình có nghiệm duy nhất n = 8. Đáp số n =8. Dạng 9CBài toán về tam giácBài tập mẫu: Cho hai đường thẳng song song với nhau (d1), (d2). Trên (d1) có 15 điểm, trên (d2) có n điểm. Hãy tìm n biết rằng số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh đã cho là 3825.GiảiCứ mỗi điểm trên (d1) và hai điểm trên (d2) tạo thành một tam giác. Số tam giác như thế là Tương tự cứ mỗi điểm trên (d2) và hai điểm trên (d1) tạo thành một tam giác. Số tam giác như thế là Theo quy tắc cộng, ta được số tam giác tạo thành là Ta được phương trình Biến đổi phương trình Giải phương trình, ta được n = -30 (loại), n =17 (nhận). Đáp số n =17.Lưu ý Cho hai đường thẳng song song với nhau (d1), (d2). Trên (d1) có n điểm, trên (d2) có m điểm. Số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh đã cho là Bài tập tương tựMột đa giác lồi có n đỉnh. Hãy tìm n biết rằng số tam giác có ba đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác nhưng không có cạch nào là cạnh của đa giác đó bằng 156.GiảiCứ ba trong số n đỉnh của đa giác tạo thành một tam giác. Số tam giác tạo thành một cách bất kỳ là . Ta tính số tam giác có ít nhất một cạnh của đa giác.Tính số tam giác có một cạnh của đa giác: Ứng với một cạnh của đa giác có n - 4 tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác. Suy ra số tam giác có một cạnh của đa giác là n(n - 4).Bài tập tương tự (tt)Tính số tam giác có hai cạnh của đa giác: Ứng với một đỉnh của đa giác có một tam giác có hai cạnh là cạnh của đa giác (là tam giác có hai cạnh kề nhau của đa giác chung với đỉnh trên). Suy ra số tam giác có hai cạnh của đa giác là n.Ta được số tam giác thoả mãn bài toán làTa được phương trình:Đáp số n =13.Bài tập tương tự (tt)Lưu ýMột đa giác lồi có n đỉnh. Số tam giác có ba đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác nhưng không có cạch nào là cạnh của đa giác đó là