Bài giảng môn Toán học 10 - Ôn tập vectơ

TRẦ NAM HẢI – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KĨ THUẬT TP. HCM GIA SƯ SINH VIấN TP. HỒ CHÍ MINH 1 ÔN TậP vectơ Dạng I:Chứng minh hai vectơ cùng ph-ơng, hai vectơ bằng nhau. a)- Hai vectơ đ-ợc gọi là cùng ph-ơng nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. - Vectơ b cùng ph-ơng với vectơ a ( a  O ) khi và chỉ khi co số k sao chob =k a b)Hai vectơ bằng nhau: a =b  a , b cùng h-ớng và a = b -Chứng tỏ hai vectơ cùng h-ớng -Độ dài hai vectơ bằng nhau VD1:Cho tam giác ABC Gọi M,N lần l-ợt là trung điểm hai cạnh AB và AC. a) Tìm các vectơ lần l-ợt cùng ph-ơng với MN và MB b) Tìm các vectơ lần l-ợt cùng h-ớng với MN và AB c) Tìm các vectơ ng-ợc h-ớng với CN VD2: Cho hình thoi ABCD .Các đẳng thức sau đây đúng hay sai?vì sao? a) AB = AD b) AB = CD c) AD = BC d) AD = BC VD3: Cho tam giác ABC .Từ trung điểm M,N của các cạnh AB,AC vẽ ME  BC, NF BC.CMR:ME = NF VD4: Cho tam giác ABC cân tại A,trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho D không trùng với A và B ,trên tia đối của tia CA lấy một điểm E sao cho BD= CE ,DE cắt BC tại F. CMR: DF =FE Dạng II:Chứng minh hai điểm trùng nhau. C1: AB AB =O C2: AB IA= IB (Với I tuỳ ý) Note: -G là trọng tâm của tam giác ABC GA+GB+GC =O -G là trọng tâm của tam giác ABC OA+OB+OC =OG (Với O tuỳ ý) VD1: Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’.CMR: Điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm là : 'AA + 'BB + 'CC =O . HD: - Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giac ABC và A’B’C’ ta có: 'AA + 'BB + 'CC = AG + 'GG + ''AG +BG + 'GG + ''BG +CG + 'GG + ''CG =3 'GG (vì GA+GB+GC =O , ''AG + ''BG + ''CG =O ). -GG’ 'GG =O Vậy: Điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm là : 'AA + 'BB + 'CC =O . VD2: Cho tam giác ABC .Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B,B’ là điểm đối xứng với B qua C,C’ là điểm đối xứng với C qua A.CMR: Hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm G. HD: - Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giac ABC và A’B’C’ ta có: 'AA + 'BB + 'CC = AG + 'GG + ''AG +BG + 'GG + ''BG +CG + 'GG + ''CG =3 'GG -Mà: 'AA + 'BB + 'CC =2( AB +BC +CA )=O  'GG =OGG’ Hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm G. Dạng III:Chứng minh một đẳng thức về véctơ TRẦ NAM HẢI – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KĨ THUẬT TP. HCM GIA SƯ SINH VIấN TP. HỒ CHÍ MINH 2 - Các cách th-ờng sử dụng: Biến đổi t-ơng đ-ơng,biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản ,biến đổi bắc cầu... - Kiến thức liên quan: +Sử dụng quy tắc ba điểm: Với ba điểm M,N,P bất kì ta có MN + NP =MP +Sử dụng quy tắc hình bình hành: Nếu OABC là Hình bình hành thì ta có OA+OC =OB + Sử dụng quy tắc về hiệu vectơ:Nếu AB là một vectơ đã cho thì ta có AB =OB -OA +Sử dụng tính chất trung điểm: . M là trung điểm đoạn thẳng AB MA+MB =O . M là trung điểm đoạn thẳng AB OA+OB=2OM (Với O là điểm tuỳ ý) +Sử dụng tính chất trọng tâm: .G là trọng tâm của tam giác ABC GA+GB+GC =O .G là trọng tâm của tam giác ABC OA+OB+OC =OG (Với O là điểm tuỳ ý) VD1:Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì ;I,J lần l-ợt là trung điểm của AB và CD . a)CMR: AC + BD= 2 IJ b)Gọi O là trung điểm của IJ .CMR: OA+OB+OC +OD=O c)M là điểm bất kì.CMR: MA+MB +MC +MD=4MO HD: a) AC = AI + IJ + JC , BD= BI + IJ + JD  AC +BD= 2 IJ (Vì I,J là trung điểm của AB ,CD) b) OA+OB=2OI ,OC +OD=2OJ  OA+OB+OC +OD=O (Vì O là trung điểm IJ) c) OA+OB+OC +OD=O  MA -MO +MB -MO +MC -MO +MD -MO =O  MA+MB +MC +MD=4MO VD2: Cho tam giác ABC .Gọi G,H,O lần l-ợt là trọng tâm,trực tâm,tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giac;AD là đ-ờng kính đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác.CMR: a)Tứ giác HBDC là hình bình hành. b)HA+ HB+HC = 2HO c)OA+OB+OC =OH d) O,G.H thẳng hàng. HD: a)DC AC,BH AC  DC//BH;DB AB,CH AB DB// CH HBDC là HBH b)+Gọi A’ là trung điểm của BC HA= 2 OA' (Vì A’O là đường trung bình của AHD) mà HB+HC = 2 'HA  HA+ HB+HC = 2HO +HA+ HB+HC = 2HO  OA-OH +OB -OH +OC -OH =-2OH  OA+OB+OC =OH VD3: Cho tam giác ABC .Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G . a)CMR: AH = 3 2 AC - 3 1 AB CH =- 3 1 AB - 3 1 AC b)Gọi M là trung điểm của BC .CMR:MH = 6 1 AC - 6 5 AB HD: a)G là trung điểm của HB AH + AB =2 AG  AH =2 AG - AB = 3 2 AC - 3 1 AB (1) TRẦ NAM HẢI – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KĨ THUẬT TP. HCM GIA SƯ SINH VIấN TP. HỒ CHÍ MINH 3 Vì AG = 3 1 AB + 3 1 AC (1)  CH = AH - AC =- 3 1 AB - 3 1 AC b) M là trung điểm của BC MH = 2 1 (BH +CH )= 2 1 ( AH - AB +CH )= 6 1 AC - 6 5 AB Dạng IV:Biểu thị một véctơ qua hai vectơ không cùng ph-ơng.Chứng minh ba điểm thẳng hàng. - Cho a và b là hai véc tơ không cùng ph-ơng. Với mọi vectơ x ta có x =m a +nb (m,nR) - Ba điểm A,B,C thẳng hàng  AB =k AC (k 0) - Ba điểm A,B,C thẳng hàng  OC = mOA+nOB với m+n =1 VD1: Cho tam giác ABC .Lấy các điểm M,N,P sao cho MB = 3MC , NA+3NC =O , PA + PB =O . a)Biểu diễn các vectơ AP , NA , AM theo các vectơ AB và AC b) Biểu diễn các vectơMP ,MN theo các vectơ AB và AC c)CMR:M,N,P thẳng hàng. HD: a) PA +PB =O AP = 2 1 AB ; NA+3 NC =O NA = 4 3 AC ;MB = 3MC  AM = 2 3 AC - 2 1 AB b) MP = AP - AM = AB - 2 3 AC (1) ;MN = NA - AM = 2 1 AB - 4 3 AC (2) c)Từ (1), (2)  MP =2MN  M,N,P thẳng hàng. VD2: Cho tam giác ABC .Gọi I là điểm trên BC kéo dài và IB = 3IC . a) Tính vectơ AI theo các vectơ AB và AC b)Gọi J,K lần l-ợt là những điểm trên cạnh AC,AB sao cho JA= 2JC,KB=3KA. Tính JK theo AB và AC c)Tính BC theo AI và JK HD: a)gt IB =3 IC  AB - AI =3( AC - AI ) AI =- 2 1 AB + 2 3 AC (1) b) gt AJ = 3 2 AC , AK = 4 1 AB  JK = AK - AJ = 4 1 AB - 3 2 AC (2) c) (1), (2)  BC = AC - AB =-10 AI -24 JK VD3: Cho tam giác ABC.Gọi I,J là hai điểm xác định bởi IA= 2 IB , 3 JA +2 JC =O a)Tính IJ theo AB và AC . b)CMR: GB= 3 2 AB - 3 1 AC c)Đ-ờng thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. HD: a) IA= 2 IB  AI =2 AB ;3 JA +2 JC =O AJ = 5 2 AC  IJ =-2 AB + 5 2 AC (1) b)Gọi M là trung điểm của AC BM = 2 1 ( BA +BC ) GB =- 3 1 (BA + BC )= 3 2 AB - 3 1 AC c) IA= 2 IB  IB =BA  IG=- AB -GB  IG=- 3 5 AB + 3 1 AC (2). Từ (1), (2) 5 IJ =6 IG I,J,G thẳng hàng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. TRẦ NAM HẢI – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KĨ THUẬT TP. HCM GIA SƯ SINH VIấN TP. HỒ CHÍ MINH 4 Dạng V: Xác định một điểm thoả mãn một hệ thức về vectơ. Cho:O, a khi đo tồn tại duy nhất một diểm M sao cho OM =k a (k không đổi) VD1: Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì.CMR: a =MA+MB - 2MC không phụ thuộc vào vị chí điểm M.Dựng điểm D sao cho CD= a . HD: + a =MA+MB - 2MC = AB -2 AC =CB +CA =2CI (I là trung điểm của AB) +CD= a  CD=2CI D là đỉnh thứ t- của hbh ACBD. VD2: Cho hai hình bình hành ABCD. Dựng các điểm M,N thoả mãn: a) MA -MB -MC = AD ; b) NC +ND - NA= AB + AD - AC ; HD: a) MA -MB -MC = AD  CM = AB + AD = AC M đối xứng với A qua C. b) NC +ND - NA= AB + AD - AC  AD +NC =O  CN = AD N là đỉnh thứ t- của hbh DACN. Dạng VI:Tìm quỹ tích. + OM = a với O có định và a không đổi thì tập hợp điểm M là đ-ờng tròn tâm O bán kính a . + MA = MB với A,B cố định thì tập hợp điểm M là đ-ờng trung trực của AB. +OM =k a với O cố định , a không đổi ,kR thì tập hợp điểm M là đ-ờng thẳng đi qua O và có ph-ơng cùng ph-ơng với vectơ a . +OM =kOAvới O,A cố định, kR thì tập hợp điểm M là đ-ờng thẳng OA. VD1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn : a) MA+MB = MA -MB b) MA+MB = MA+MC c) MA+MB = k(MB - MC );kR HD: a) MA+MB = MA -MB  2MI = BA (với I là trung điểm của AB) MI= 2 1 AB.Vậy tập hợp điểm M là đ-ờng tròn tâm I bkán kính 2 1 AB. b) MA+MB = MA+MC  2MI = 2MJ (với J là trung điểm của AC) MI=MJ. Vậy tập hợp điểm M là đ-ờng trung trực của IJ. c) MA+MB = k(MB -MC ) MI = 2 1 kCB . Vậy tập hợp điểm M là đ-ờng thẳng đi qua I và song song với BC VD2: Cho tứ giác ABCD. a)Xác định điểm O sao cho : OB+4OC =2OD . b)Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức MB + 4MC -2MD = 3MA HD: a) OB+4OC =2OD 3OB=2 BD -4 BC =2CD -2BC =4CI  OB= 3 4 CI (I là tđ của BD) O là đỉnh thứ t- của hbh BIEO với E xác định bởi IE = 3 4 CI . TRẦ NAM HẢI – ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KĨ THUẬT TP. HCM GIA SƯ SINH VIấN TP. HỒ CHÍ MINH 5 b) MB + 4MC -2MD = 3MA  3MO +OB+4OC -2OD = 3MA  3MO = 3MA MO=MA. Vậy tập hợp điểm M là đ-ờng trung trực của đoạn OA.