Bài giảng môn Toán học 10 - Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thứcGiáo viên: Ngô Minh TuấnTrường THPT Ngô QuyềnII. Phương pháp “tam thức bậc hai” để chứng minh BĐT.1. Một số chú ý:a, Cho tam thức bậc hai:Khi đó ta có:b, Phương trình: Có 2 nghiệm phân biệt khi có hai số a, b sao cho: f(a).f(b) 0 với mọi m, ta có đpcm.Bài 2: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: (a+c)(a+b+c) 0 với mọi a, b, c. Ta có đpcmBài 4: Cho 4 số a, b, x, y bất kì. Chứng minh rằng:Hướng dẫn.Xét tam thức bậc hai: bất đẳng thức luôn đúng Do NênDấu bằng xảy ra khi: ( Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 4 số)Bài 5: Hướng dẫn:Xét tam thức:Ta có:Theo bất đẳng thức Bunhiacopski cho 8 số thì Do đó:Dấu bằng xảy ra khi:Các bài tương tự Bài 1: Cho 4 số a, b, c, d có b + c = a + d và số m sao cho:Bài 2: Chứng minh rằng:Bài 3: III. Phương pháp sử dụng BĐT Bunhiacopski trong chứng minh bất đẳng thức1. Một số chú ý:- Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 4 số: Cho 4 số thực bất kì a, b, x, y ta có:Dấu bằng xảy ra khi: a.y = b.x hoặc - BĐT Bunhiacopski cho 6 số: Cho 6 số thực a, b, c, x, y, z cùng khác 0 ta luôn có:Dấu bằng xảy ra khi:2. Các bài tập áp dụng:Bài 1: Cho hai số a, b thỏa mãn: a + b = 2. Chứng minh rằng:Hướng dẫn:Ta có:Dấu bằng xảy ra khi: a = b = 1Bài 2: Cho Hướng dẫn:áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 6 số ta có:Sử dụng giả thiết và khai căn hai vế ( cả hai vế đều dương ) ta được:Dấu bằng xảy ra khi:Bài 3: Cho hai số x, y thỏa mãn:Hướng dẫn:Từ giả thiết ta suy ra: áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số ta có:Lại có:Kết hợp với (*) ta được:Do Nên Dấu bằng xảy ra khi: Bài 4: Gọi p, a, b, c lần lượt là nửa chu vi và độ dài các cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng:Hướng dẫn:áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 6 số ta có:Khai căn hai vế ( cả hai vế đều dương ) ta được:Dấu bằng xảy ra khi: Bài tương tựBài 1: Cho hai số x, y thỏa mãn:Tìm Max, min của biểu thức:Bài 2: Cho 3 số x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 4Chứng minh rằng: Bài 3: Cho 3 số a, b, c đều khác không; Chứng minh rằng:Tổng kết1. Bất đẳng thức là một phần rất khó đối với không chỉ học sinh. Một bài bất đẳng thức thông thường cũng có thể gây khó khăn cho người giải khi không biết hướng. Vài phương pháp trên đây có thể là một vài gợi ý cho việc giải các bài toán khác tương tự.2. Một số phương pháp nêu trên không bao hàm tất cả các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Đa số các bài tập trên còn cách giải khác. Cách giải đã nêu có thể không thật tốt trong từng bài nhưng đó là cách giải để làm nổi lên một cách nhìn hoặc phương pháp làm một dạng bài tập nào đó về bất đẳng thức.Xin chân thành cảm ơn