Bài giảng môn Toán học 10 - Bài 2: Tích của một véc tơ với một số

Bài 2:Tích của một véc tơ với một số1Cho a  0Xác định độ dài và hướng của véc tơ a + a aaABCa = ABBC = a=> a + a AB + BC = AC= a + a Độ dài:  a + a  = 2 a Hướng:cùng hướng với aTa viết a + a = 2aaaABCAB + BC = AC = 2a 2aĐộ dài: 2 a  = 2 a Hướng:cùng hướng với a1.Định nghĩaCho số k  0 và véc tơ a  0Tích của véc tơ aVới một số k là một véc tơ, kí hiệu là k ak a = k a Hướng củak a k > 0 =>k acùng hướng ak k angược hướng a0 a = 0, k 0 = 0Ví dụ :Cho G là trọng tâm của tam giác ABC,D và E lần lượt là trung điểm của BC và ACBCA D//  GGA = ( - 2 ) GDAD = ( - 3 ) GD EKhi đó ta cóDE = ( - 1/2 ) AB////1.Định nghĩaCho số k  0 và véc tơ a  0Tích của véc tơ aVới một số k là một véc tơ, kí hiệu là k ak a = k a Hướng củak a k > 0 =>k acùng hướng ak k angược hướng a0 a = 0, k 0 = 02.Tính chấtVới hai véc tơ a và b bất kì,với mọi số h và k, ta cók ( a + b) = k a + k b ;( h + k) a = h a + k a ;h ( k a ) = (hk) a;1.a = a,( -1).a = - a1Tìm véc tơ đối của vcs tơ 3avà 3a – 4 b2.Tính chấtVới hai véc tơ a và b bất kì,với mọi số h và k, ta cók ( a + b) = k a + k b ;( h + k) a = h a + k a ;h ( k a ) = (hk) a;1.a = a,( -1).a = - aGhi nhớVéc tơ đối của véc tơ 3 alà véc tơ - (3 a )= (- 3) aVéc tơ đối của véc tơ 3 a – 4 blà véc tơ - (3 a - 4 b )= - 3 a + 4b3.Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác.a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta cóMA + MB = 2 MIb)Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta cóMA + MB +MC = 3 MGa)Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB  IA + IB = 0b)Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC  GA + GB + GC = 0Hãy sử dụng tính chấtĐể chứng minh tính chất trên3IA + IB = 0 IM + MA + IM +MB = 0MA + MB + 2 IM = 0MA + MB = 2 MI GA +GB + GC = 0GM + GA + GM +GB + GM + GC= 0GA + GB + GC + 3GM = 0GA + GB + GC = 3MG 4.Điều kiện hai véc tơ cùng phươngĐiều kiện cần và đủ để hai véc tơ a và b ( b  0 ) cùng phương là có một số k để a = k b Chứng minh:=> Nếu a = k b thì a và b cùng phương a = k b Nhận xét:A,B,C thẳng hàng AB = k ACTa đã biếtABC2 véc tơ cộng thành 1 véc tơMột véc tơ có phân tích thành tổng của hai véc tơ nào đó không?6.Phân tích một véc tơ theo hai véc tơ không cùng phươngCho a = OA và b = OB không cùng phương OABVà véc tơ x tuỳ ýabxxCA’B’x = OA’+ OB’ = h a + k bBộ số h và k là duy nhấtkhi ba véc tơ a, b, x cho trướcVới véc tơ a, b không cùng phươngBài toán :Cho tam giác ABC với trọng tâm G.Gọi I là trung điểm của đoạn AG và K là điểm nằm trên cạnh AB sao choAK = 15ABa) Hãy phân tích AK, CI, CK theo a = CA ,b = CB ;b) Chứng minh ba điểm C,I,K thẳng hàng.CBA D//  G I////// KBài giải:AK = 15ABAK = 15(CA – CB )12AG = AI = 13AD = 13(CD – CA )AI = 16CA – CD 1 3CK = CA + AK = CA + 15(CA – CB )CI = CA + AI = CA + 16( CB – 2CA )Câu hỏi và bài tập1. Cho hình bình hành ABCD.Chứng minh rằng: AB + AC + AD = 2ACCâu hỏi và bài tập2.Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC.Hãy phân tíchCác véc tơ AB, BC, CA theo hai véc tơ u = AK, v = BMCâu hỏi và bài tập3.Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm m sao cho MB = 3 MCHãy phân tích véc tơ AM theo hai véc tơ u = AB và v = ACCâu hỏi và bài tập4.Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của AMChứng minh rằng:a)2DA + DB + DC = 0b)2OA + OB + OC = 4OD,với O là điểm tuỳ ý.Câu hỏi và bài tập5.Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh Ab và CD của tứ giác ABCD.Chứng minh rằng:2MN = AC + BD = BC +ADCâu hỏi và bài tập6.Cho hai điểm phân biệt A và B.Tìm điểm K sao cho 3KA + 2 KB = 0Câu hỏi và bài tập7. Cho tam giác ABC.Tìm điểm M sao cho MA + MB + 2 MC = 0Câu hỏi và bài tập8.Cho lục giác ABCDF ,gọi M,N.P,Q,R.S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DE,EF,FA.Chứng minh rằng hai tam giác MPRvà NQS có cùng trọng tâm.Câu hỏi và bài tập9.Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tuỳ ý trong tam giác.Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC,AC,AB.Chứng minh rằngMD + ME +MF = MO 32Bài tập về nhàI-Lý thuyết:*)Định nghĩa tích của một số với một véc tơ.*) Cáh xác định véc tơ ka.*) Điều kiện để hai véc tơ cùng phương.*) Phương pháp phân tích một véc tơ theo hai véc tơ không cùng phươngII- Bài tập: từ bài 1 đến bài 9 (sgk)Câu hỏi trắc nghiệm1.Cho tam giác ABC, Trọng tâm G,I là trung điểm BC.Ta có:AG = 3IG (b)AB + AC = GB + GC(c) AB + AC = 2AI (d ) IG + IB +IC = 0Trả lời : Phương án (c) đúngChọ phương án trả lời đúng cho các câu sau:2.Cho hình bình hành ABCD , tâm O.Ta có:(a) AB + DA = 2OA; (b) AB +BC = 2CO;(c)AB + BC + CD = 3 AO ; (d) AB + AD = 2 AOPhương án (d) đúngCâu hỏi trắc nghiệm3.Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm thuộc đoạn AB sao cho AM = AB.Số k thỏa mãn MA = k MB => Số k có giá trị là :(a) ; (b)(c ; (d)Phương án (d) đúngCâu hỏi trắc nghiệm15151415-14-4. Cho véc tơ u = 2a – 5b.Véc tơ đối của véc tơ u là:(a) – 2 a + 5 b ; (b) – 2a – 5 b (c) 2a + 5 b ; (d) – ( - 2a + 5 b )Phương án (a) đúngCâu hỏi trắc nghiệmCâu hỏi trắc nghiệm5.Cho tam giác ABC, Trọng tâm G, Các điểm D,E,F tương ứng là trung điểm BC,CA,AB đặt u = AE và v = AF  a) Phân tích AI ( I là trung điểm AD) theo u và v là:(a) ( u + v ) (b) ( u - v )( c ) ( v – u ) ( d ) u + vTrả lời : Phương án (a) đúngChọ phương án trả lời đúng cho các câu sau:12121212MA + MB MA - MB MA + MB = MC + MDAB – AD = CB - CDRI + IQ + PS = 0AB + BC + CD + DA = 0AB + B CAB – B CCO – OA = BA AB – BC = DB DA – DB = OD- OCDA - DB + DC = 0  a + b  =  a + b   a + b  =  a - b   a + b  = 0abAB = CD F1 = MAF3 = MCF1 a  0 a + b = 0k ak a = k a GA = ( - 2 ) GDMA + MB = 2 MIMA + MB = 0 15