Bài giảng môn Toán 12 - Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

BÀI 5GiẢI TÍCH 12Nâng caoHÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT● Tính các giá trị cho trong bảng sau:x-2012 2x x 1 24log2x1242-101● Với mỗi giá trị thực của x, ta luôn xác định được một giá trị (duy nhất)● Với mỗi giá trị thực dương của x, ta luôn xác định được một giá trị (duy nhất)I. Khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit:1. Định nghĩa:● Hàm số dạng , xác định trên R được gọi là hàm số mũ cơ số a. ● Hàm số dạng , xác định trên được gọi là hàm số lôgarit cơ số a. 2. Chú ý: y = logx (hoÆc lgx) : hµm sè l«garit c¬ sè 10 y = lnx : hµm sè l«garit c¬ sè e y = ex : cßn kÝ hiÖu lµ y = exp(x)3. Ví dụ:Tìm tập xác định của hàm số: Giải:Hàm số xác định Vậy: TXĐ D = Caùc bieåu thöùc sau bieåu thöùc naøo laø haøm soá muõ, haøm soá loâgarit. Khi ñoù cho bieát cô soá : e) y = xx .i) y = lnxHaøm soá muõ cô soá a = Haøm soá muõ cô soá a = 1/4Haøm soá muõ cô soá a = Khoâng phaûi haøm soá muõ Khoâng phaûi haøm soá muõ Haøm soá loâgarit cô soá a = 3 Haøm soá loâgarit cô soá a = 1/4Khoâng phaûi haøm soá loâgarit Haøm soá loâgarit cô soá a = eKhoâng phaûi h soá loâgarit II. Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit:1. Các hàm số và liên tục trên tập xác định của nó, tức là:● Ví dụ: Tìm các giới hạn:Giải:► Định lí 1:● Ví dụ: Tìm các giới hạn:Giải:Vậy : (ex)’ = ex . Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số từ đó suy ra đạo hàm của hàm số Cho x số gia xBiến đổi số a dương khác 1 thành lũy thừa theo cơ số e, ta được:a= elna => ax = e(lna)x = ex.lna .Do đó theo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta có:III. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit:1. Đạo hàm của hàm số mũ:► Định lí 2:a) Haøm soá y = ax coù ñaïo haøm taïi moïi ñieåm x  R vaø (ax)’ = ax .lna Ñaëc bieät : (ex)’ = ex b) Neáu haøm soá y = u(x) coù ñaïo haøm treân taäp J thì haøm soá y = au(x) coù ñaïo haøm treân J vaø (au(x))’ = u’(x).au(x) .lnaÑaëc bieät : (eu(x))’ = u’(x).eu(x) ● Ví dụ: Tìm đạo hàm các hàm số sau: y’= (2x + 2)ex + (x2 + 2x).ex y’ = (x2 + 4x + 2).exGIAÛI : Do ñoù :Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số từ đó suy ra đạo hàm của h số Cho x > 0 số gia xAùp duïng coâng thöùc ñoåi cô soá a veà cô soá e . Ta coù : 2. Đạo hàm của hàm số lôgarit:► Định lí 3:a) Haøm soá y =logax coù ñaïo haøm taïi moïi ñieåm x > 0 vaø b) Neáu haøm soá u(x) nhaän giaù trò döông vaø coù ñaïo haøm treân taäp J thì haøm soá y = logau(x) coù ñaïo haøm treân J vaø 1) y = (x2 + 1).lnx2) y = ln(x2 – x + 1)3) y = log2(2 + sinx).● Ví dụ: Tìm đạo hàm các hàm số sau:Giải:3) y = log2(2 + sinx).y = (x2 + 1).lnx2) y = ln(x2 – x + 1)a) với mọi x  0b) Nếu hàm số u(x) nhận giá trị khác 0 và có đạo hàm trên tập J thì với mọi x  J . Ta có: Với x 0 ta có:Suy ra : vôùi moïi x  0► Hệ quả:IV. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit:1. Hàm số (0 1 0 0, với mọi x R 0, với mọi x  R- Hàm số đồng biến trên R- Đồ thị có tiệm cận ngang là trục Ox, đi qua các điểm (0; 1), (1; 3) và nằm phía trên trục hoành. - BBT: + y = ax- +x100-4-3-2-11234567-2-1123456xyGiải:- Đồ thị:-4-3-2-11234567-2-1123456xy0 1a > 1 0 0, với mọi x (0; +∞) 0, với mọi x(0; +∞)- Hàm số đồng biến trên (0; +∞)- Đồ thị có tiệm cận đứng là trục Oy, đi qua các điểm (1; 0), (3; 1) và nằm ở bên phải trục tung. - BBT: Giải:- Đồ thị:● Ví dụ:Vẽ đồ thị hàm số: x 0 +y +- -11234567-2-1123xya > 10 0 . CMR : x2.y” – x.y’ + 2y = 0 .Baøi 1 : Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá : a) y = ln( - x2 + 5x – 6) BÀI TẬP VỀ NHÀsen traéng