Bài giảng môn Toán 10 - Bất phương trình và hệ bất phương trình

BẤT PHƯƠNG TRÌNH &HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I.BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CHỨA MỘT ẨN Thí dụ 1: mx+1 > x+m2 Giải: mx+1 > m2 ó(m-1)x > m2 –1 (1) Nếu m-1 >0 ó m>1 , (1)=>x >m+1 Nếu m –1 x> m+1 Nếu m –1 = 0 ó m = 1 , (1)=> 0x>0 , bất phương trình vô nghiệm Kết luận : m> 1 S= (m+1;+¥) m <1 S = (–¥;m+1) m= 1 , S = F Chú ý : Nếu mx+1 ³ x +m2 thì : m> 1 S= [m+1;+¥) m <1 S = (–¥;m+1] m= 1 , S = R Thí dụ 2: (a+1)x + a+3 ³ 4x+1 Nếu a–3 = 0ó a = 3,Bất phương trình trở thành 0x £ -5 S=F BÀI TẬP: Giải và biện luận các bất phương trình sau: II.DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT: 1Nhị thức bậc nhất: Dạng f(x) = ax + b (a ≠ 0) Định lý : Nhị thức ax +b cùng dấu với hệ số a khi x > – Nhị thức ax +b cùng dấu với hệ số a khi x < – Bảng xét dấu: x –¥ – +¥ f(x)=ax+b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a 2.Áp dụng : Giải bất phương trình tích: –Biến đổi vế trái thành tích của các nhị thức bậc nhất. –Xét dấu biểu thức vế trái , từ đó suy ra nghiệm của bất phương trỉnh. Thí dụ : Giải bất phương trình :( x–3)(x+1)(4 – 2x) £ 0 Đặt P(x)= ( x–3)(x+1)(4 – 2x) Giải P(x) = 0 ó Lập bảng xét dấu P(x) X –¥ –1 2 3 +¥ x-3 – | – | – 0 + x+1 0 + | + | + 4-2x + | + 0 – | – P(x) + 0 – 0 + 0 – Dựa vào bảng xét dấu nghiệm của bất phương trình là: Giải bất phương trình có ẩn dưới mẫu: –Đặt tử và mẫu của phân thức thành tích các thừa số là nhị thức bậc nhất . –Lập bảng xét dấu phân thức , ở hàng cuối của bảng xét dấu tại cá giá trị của x làm mẫu số bằng 0 ta dung ký hiệu || Thí dụ : Giải bất phương trình : Bảng xét dấu P(x) : P(x) = 0 ó X –¥ –2 3 +¥ x-3 | – 0 + x+1 0 + | + P(x) + || – 0 + Tập nghiệm của bất phương trình là Thí dụ 2: Giải bất phương trình : Đặt P(x)= P(x) =0 ó x= 3 ; x=2 và x ≠± 1 Bảng xét dấu: X –¥ –1 1 2 3 +¥ 3 – x + | + | + | + 0 – x –2 | – | – 0 + | + x+1 0 + | + | + | + x–1 – | – 0 + | + | + P || + || – 0 + 0 – Nghiệm của bất phương trình là : BÀI TẬP: 1.Lập bảng xét dấu các biểu thức sau : 2.Giải các bất phương trình sau: 3.Giải và biện luận các bất phương trình : Bất phương trình có ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: Phương pháp chung: Xét dấu các biểu thức có ẩn x trong giá trị tuyệt đối. Chia trục số ra thành nhiều khoảng (đoạn , nữa khoảng) nhỏ sao cho trong các khoảng đó biểu thức năm trong dấu giá trị tuyệt đối đều có dấu xác định . Dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối bỏ dấu giá trị tuyệt đối . Giải bất phương trình tìm được. Thí dụ : Giải bất phương trình : (1) X –¥ –3 –2 2 3 +¥ |x+2| -x-2 | -x–2 0 x+2 | x+2 | x+2 |x-3| –x+3 | –x+3 | –x+3 | –x+3 0 x–3 |x+3| –x–3 0 x+3 | x+3 | x+3 | x+3 |x-2| –x+2 | -x+2 | –x+2 0 x–2 | x–2 x – 4x £–4 –x2 +4x ó x2 -8x +4 £ 0 ó Vô nghiệm -3 £ x -2x+6 £ –4 –x2 +4xóx2 –6x +10 £ 0 vô nghiệm –2 £ x 10 £ - 4 – x2 +4x óx2 –4x +14 £0 Vô nghiệm. 2 £ x2x –3 £ –4 – x2+4x óx2–2x +1 £0 óx=1 (loại ) x³3 , (1)=>4x £–4 – x2 +4x óx2 + 4 ³0 Vô nghiệm Vậy bất phương trình vô ngiệm. Một số dạng đặc biệt của bất phương trình có ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: Dạng | f(x) | £ g(x) ó Thí dụ :| 2x – 1|<3x+5 X –¥ –4 – 5x+4 – | – | – 0 + x+4 0 + | + | + (5x+4)(x+4) + 0 – | – 0 + 3x+5 | – 0 + | + Nghiệm Nghiệm của hệ S = Dạng | f(x) |³ g(x)ó Thí dụ : | x–2|> x+1 BÀI TẬP: 1.Giải các bất phương trình sau: III.HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CHỨA MỘT ẨN: Hệ bất phương bậc nhất chứa một ẩn là tập hợp của nhiều bất phương trình bậc nhất chứa một ẩn . Nghiệm của hệ bất phương trình là tâp hợp của những giá trị x0 sao cho mỗi phương trình trong hệ được nghiệm. Chú ý : Nếu có ít nhất một bất phương trong hệ vô nghiệm thì hệ bất phương trình vô nghiệm. Cách giải : –Tìm các tập nghiệm D1;D2,,Dn của các bất phương trình trong hệ –Nghiệm của hệ là D =D1 Ç D2 Ç..ÇDn. Thí dụ 1: Giải hệ bất phương trình Thí dụ 2:Định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm. (1)óx >7 (2)óx < Hệ bất phương trình có nghiệm ó BÀI TẬP 1.Giải các hệ bất phương trình sau: 2.Định m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm : IV.BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CHỨA 2 ẨN: 1.BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CHỨA 2 ẨN: Dạng : ax + by +c >0 ; ax+ by +c < 0 .ax+by +c³0 ; ax+by+c£0 Định lý : Trong mặt phẳng tọa độ , đường thẳng (d) ax + by +c = 0 chia mặt phẳng thành 2 nữa mặt phẳng . Một trong 2 nữa mặt phẳng đó (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ thõa ax + by +c >0 nữa mặt phẳng kia (không kể bờ (d) ) gồm các điểm có tọa độ thõa : ax +by +c <0. Nếu (x0; y0) là một nghiệm của bất phương trình ax +by +c > 0 thì nữa mặt phẳng chứa điểm M(x0;y0) (không kể bờ d) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c >0 Qui tắc : –Vẽ đường thẳng (d): ax + by +c = 0 –Lấy một điểm bất kỳ M(x0; y0) Ï (d).Tính ax0+by0+c –Nếu ax0+by0+c >0 thì miền nghiệm là miền chứa điểm M , nếu ax0+by0+c < 0 thì miền nghiệm là miền không chứa điểm M. Chú ý : Nếu O Ï (d) ta chọn M(0;0) Nếu O Î (d) ta chọn M(1;0) Thí dụ : Giải bất phương trình 3x–y +3 >0 Giải Vẽ (d): y = 3x +3 (d) đi qua 2 điểm (0;3) và (–1 ; 0) (d) chia mp ra làm 2 miền có bờ là (d) Thay tọa độ O vào vế trái của bpt ta có 3(0)-(0)+3 =3>0. Miền nghiệm là miền chứa O(không kể bờ (d). Thí dụ 2: Giải bất phương trình (2x-y+2)(x+y)(x+1)>0 Giải : Vẽ (d1) :y = 2x +2 (d2) : y = –x (d3) x = -1 (d1) ; (d2) ; (d3) chia mp thành 6 miền I;II;III; IV;V ; VI.VII Lập bảng xét dấu vế trái: Miền I II III IV V VI VII (1) + – – – – + + (2) + + + – – – + (3) + + – – + + – VT + – + – + – – Miền nghiệm là những miền không bôi đen. 2.HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CHỨA 2 ẨN: Cách giải : –Giải mỗi bất phương trình trong hệ , Bôi đen miền không phải là nghiệm. –Miền không bị bôi đen là miền nghiệm của hệ. Thí dụ :Giải hệ GIẢI : (d1) : y= Vẽ (d1) và (d2) Miền nghiệm của hệ là miền không bị bôi đen . BÀI TẬP: Giải các hệ BPT sau: 3.ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ: Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn thường dung để giải một số bài toán kinh tế , phương pháp giải các bài toán đó đươc giới thiệu trong ngành Toán học gọi là Qui hoạch tuyến tính : Phương pháp giải : –Từ các điều kiện của bài toán suy ra hệ bất phương trình. –Vẽ các đường thẵng biểu diễn các điều kiện đó . –Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình.(Miền nghiệm thường là một đa giác lồi. –Tìm tọa đổ các đỉnh của đa giác lồi. –Giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất là giá trị của biểu thức tại một trong các đỉnh của đa giác lồi trên. Thí dụ : Người ta dự định dùng 2 nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140 kg chất A và 9 kg chất B .Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá trị 4 triệu đồng , có thể chiết xuất được 20kg chất A và 0.6 kg chất B .Từ mỗi tấn nguyên liệu loại 2 giá 3 triệu đồng ta chiết xuất được 10kg chất A và 1,5 kg chất B .Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất .Biết cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ cung cấp không quá 10 tân nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II Giải: Gọi x(tấn) nguyên liệu loại I và y (tấn) nguyên liệu loại II ta có 0 £ x £10 và 0£ y £ 9. Số nguyên loại A chiết xuất được là 20x+10y số nguyên liệu loại B chiết xuất được là 0,6x+1,5y Gọi (d1):2x+y-14=0 và (d2):2x+5y-30=0 Vẽ (d1) và (d2) trên cùng hệ trục tọa độ , ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là đa giác lồi ABCD với A(5;4) ;B(10;2) C(10;9) và D(5/2;9) Gọi P là tiền mua nguyên liệu => P =4x+3y A(5;4) B(10;2) C(10;9) D(5/2;9) P=4x+3y 32 46 67 37 Tại A(5;4) P=32 tại B(10;2) P=46 Tại C(10;9) P=67 Tại D(4/2,9) P=37 Vậy để chi phí mua nguyên liệu ít nhất ta mua 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên liệu loại II , tổng chi phí là 32 triệu đồng . Thí dụ 2: 1)Một xí nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm I và II.Một tấn sản phẩm I lãi 2 triệu đồng , một tấn sản phẩm loại II lãi 1,5 triệu đồng .Muốn sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I ta dùng máy I trong 3 giờ và máy II trong 1 giờ. Muốn sản xuất 1 tấn sản phẩm loại II ta dùng máy I trong 1 giờ và máy II trong 1 giờ.Một không dung để sản xuất cùng lúc 2 sản phẩm . Máy M1làm không quá 6 giờ trong một ngày và má II chỉ làm việc không quá 4 giờ . Hãy lập kế hoạch sản xuất sao cho lãi cao nhất Gọi x (tấn) là sản phẩm loại I và y (tấn) là sảm phẩm loaị II mà xí nghiệp sản xuất đươc trong 1 ngày. Số giờ làm việc của máy I trong 1 ngày là 3x+y Số giờ làm việc của máy II trong 1 ngày là x+y Theo đề ta có hệ bất phương trình : Miền nghiệm là tứ giác OABC kể cả các bờ Với O(0;0) A(2;0) B(1;3) và C(0;4) Số tiền lãi của xí nghiệp T= 2x+1,6y (triệu) O(0;0) A(2;0) B(1;3) C(0;4) T=2x+1,6y 0 4 6.8 6.4 Vậy để có lãi nhiều nhất xí nghiệp sản xuất 1 tấn sản pha63nm loại I và 3 tấn sản phẩm loại II với tiền lãi là 6.8 triệu đồng chẵn. BÀI TẬP 1)Gọi S là tập hợp các điểm trong mpOxy có tọa độ thõa hệ bpt . Tìm các điểm của S sao cho biểu thức F=y-x có giá trị nhỏ nhất. GIẢI Gọi (d1) : y= 2x-2 (d2): y= Vẽ (d1) ;(d2) ; (d3) trên cùng một hệ trục tọa độ Miền nghiệm của hệ là miền tam giác ABC với A F= y– x Tại A , F= Tại B , F= –3 Tại C F= Vậy F nhỏ nhất khi x= 4;y=1 3) Một gia đình cần ít nhất 900g chất protein và 400g lipit trong thức ăn mỗi ngày .Biết rằng thịt bò chứa 80 protein và 20% lipid . Thịt heo chứa 60% protein và 40%lipid .Giá tiền mỗi ký thịt bò là 170.000đ và thịt heo là 90.000đ . Mỗi ngày gia đình chỉ có thể mua nhiều nhất 1600g thịt bò và 1100g thịt heo . Hỏi gia đình pải mua bao nhiêu ký thịt bò bao nhiêu ký thịt lợn để chi phí trong ngày là thấp nhất. 4) Một hộ nông dân dự định trồng đậu và trồng cà trên diện tích 8a . Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu được 3 triệu đồng trên mỗi a , nếu trồng cà thì cần 30 công và thu được 4 triệu đồng trên mỗi a.Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá 180. 5) Người ta dự định dùng 2 nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140 kg chất A và 9 kg chất B .Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá trị 4 triệu đồng , có thể chiết xuất được 20kg chất A và 0.6 kg chất B .Từ mỗi tấn nguyên liệu loại 2 giá 3 triệu đồng ta chiết xuất được 10kg chất A và 1,5 kg chất B .Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất .Biết cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ cung cấp không quá 10 tân nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II 4.Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình bậc nhất chứa 1 ẩn: –Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình. –Tìm tập họp con chứa các số nguyên của miền nghiệm. Thí dụ : Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình : GIẢI: Thí dụ 2: Tìm số nguyên lớn nhất thõa mãn hệ bất phương trình : GIẢI: BÀI TẬP: 1.Tìm nghiệm nguyên của mỗi hệ bất phương trình sau: MỘT SỐ BÀI TẬP KHÓ 1.Dịnh m >0 để hệ bất phương trình sau có nghiệm (x;y) sau cho x+y lớn nhất GIẢI : Do (x ;y) là nghiệm của hệ Miền nghiệm là nữa mặt phẳng có chứa O kể cả bờ là đường thẳng (d) có phương trình y = 1 –x 2Với những giá trị nào của m thì hệ bất phương tình sau có nghiệm GIẢI (1)=>x < 5