Bài giảng môn Toán 10 - Bài 5: Đường elip

Tổ Toán Trường THTH-ĐHSP TP.HCMChào mừng Quý Thầy Cô A. KHỞI ĐỘNGCho một sợi dây không co dãn có độ dài là 2a, (a > 0) có hai đầu được cột chặt vào hai cây đinh nhỏ.Trên bảng con của mỗi nhóm đều có 2 lỗ tròn nhỏ F1 và F2 . Khoảng cách F1F2 = 2c, (c > 0).Đặt hai cây đinh vào hai lỗ tròn F1 và F2 , giữ chặt. Dùng viết lông kéo căng sợi dây để vạch lên đường cong (E) trên bảng con.Hãy cho biết tính chất của điểm M bất kỳ trên đường cong (E) đối với hai điểm F1 và F2?Hãy nhận xét về độ lớn giữa c và a ? Tính tỉ số Hãy so sánh độ “gầy”, “mập” của đường cong của nhóm mình với các nhóm khác . Tìm cho nhóm mình một cách giải thích về độ “gầy”, “mập” trên.Hãy nhận xét về tính đối xứng của đường cong (E).B. Nhận xét về đường cong (E)Tổng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên (E) đến F1 và F2 luôn bằng chiều dài sợi dây là 2a (không đổi).F1M + F2M = 2aĐộ lớn c luôn nhỏ hơn a. Nếu c  a thì không vẽ được (E).Nếu c càng nhỏ so với a thì (E) càng “mập” Nếu c càng lớn so với a thì (E) càng “gầy”Như vậy, độ “mập”, “gầy” của (E) phụ thuộc vào độ lớn của tỉ số e = c / a0 0)Đường Elip là tập hợp các điểm M sao cho F1M + F2M = 2aTrong đó a là hằng số cho trước lớn hơn cHai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip.Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip.Tỉ số gọi là tâm sai của elip.M  (E )  F1M + F2M = 2a , (a > c > 0 )°°F1F22cM II . Phương trình chính tắc của elipyxO°(- c ; 0 )( c ; 0 )( x ; y )Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F1F2, trục Oy là trung trực của F1F2 như hình vẽ. Khi đó ta có tọa độ F1 , F2 là Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 , F2 . Tiêu cự F1F2 = 2c như hình vẽ. M  (E)  F1M + F2M = 2a với a > c > 0F1 ( - c ; 0)F2 ( c ; 0)và M°°F1F2 °(E)2cxyF1F2O-ccM( x ; y )(E)°Ta có °M(x ; y)  (E)  F1M + F2M = 2a (1)F1 ( - c ; 0)F2 ( c ; 0)F1M2 = ( x + c )2 + y2F2M2 = ( x - c )2 + y2  F1M2 - F2 M2 = và F1M2 + F2 M2 = 4cx (*) 2x2 + 2y2 + 2c2 (**)(*)  F1M - F2M = (1) và (2)  F1M = và F2M = (3) Các đoạn thẳng F1M và F2M được gọi là các bán kính qua tiêu của điểm MĐộ lớn các bán kính qua tiêu của điểm M được tính theo công thức (3)Thay (3) vào (**) và rút gọn ta thu được phương trình : (a2 - c2)x2 + a2y2 = a2(a2 - c2) (4)Vì a > c > 0 nên a2 > c2. Đặt b2 = a2 - c2 (b > 0), ta có (5) là phương trình chính tắc của elip đã cho.Ta gọi phương trình :GHI NHỚĐịnh nghĩa : M  (E )  F1M + F2M = 2a , (a > c > 0 )Trong đó F1, F2 là hai tiêu điểm cố định, F1F2 = 2c là tiêu cự yPhương trình chính tắc của elip : Trong đó a > b > 0, c2 = a2 – b2 xF1F2O-ccM(E)°°Tiêu điểm F1 ( - c ; 0) F2 ( c ; 0) tâm sai Bán kính qua tiêu F1M = a + ex , F2M = a - ex Ví dụ 1: Các nhóm viết ph.trình chính tắc của elip của mình ?NHÓM I: Có a = 6, c = 2  b2 = a2 – c2 = 36 – 4 = 32. Do đó pt (E1) là:NHÓM II: Có a = 7, c = 4  b2 = a2 – c2 = 49 – 16 = 33. Do đó pt (E2) là:NHÓM III: Có a = 7, c = 6  b2 = a2 – c2 = 49 – 36 = 13. Do đó pt (E3) là:NHÓM IV: Có a = 7, c = 13/5  b2 = a2 – c2 = 1056/25. Do đó pt (E4 ) là:E. (E) đi qua một trong các điểm N1( 6 ; 1) , N2( 8 ; – 5) và N3( – 1 ; 6) Ví dụ 2: Cho (E):. Hãy chọn mệnh đề SAI :A. Tiêu cự là 6 và hai tiêu điểm F1 ( – 3 ; 0) , F2( 3 ; 0) B. Tiêu cự là 6 và tâm sai e = 0,6C. (E) qua các điểm A1(– 5 ; 0) , A2(5 ; 0) , B1( 0 ; – 4) và B2(0 ; 4) Ví dụ 3: Cho (E):và điểm M (x0 ; y0 )  (E ). Hãy chọn mệnh đề ĐÚNG NHẤT:D. (E) đi qua M1( 3 ; 16/5) , M2( – 3 ; 16/5) , M3( 3 ; – 16/5 ) và M4(– 3 ; – 16/5) A. Các điểm M1( – x0 ; y0 ) , M2 ( x0 ; – y0) , M3 (– x0 ; – y0) cũng thuộc (E)C. – a  x0  a và – b  y0  b B. (E) cắt các trục tọa độ tại A1(– a ; 0) , A2( a ; 0) , B1(0 ; – b) , B2(0 ; b)D. Tất cả đều đúngIII.Nhận xét về hình dạng của elipxF1F2O– ccM( x0 ; y0 )°°°°M2( x0 ; – y0 )M1M3(– x0 ; – y0 )(x0 ; – y0 )A1A2yB1B2°°°°°a– a– bb1.Tính đối xứngXét elip (E) có pt chính tắc: Đường elip (E) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng  (E) cắt trục hoành tại A1(– a ; 0) và A2( a ; 0). Ta có A1A2 = 2a  (E) cắt trục tung tại B1(0 ; – b) và B2 ( 0 ; b). Ta có B1B2 = 2b2. Hình chữ nhật cơ sởTa gọi A1 , A2 , B1 , B2 là 4 đỉnh của elip (E).  Trục Ox gọi là trục lớn của (E), ta cũng gọi đoạn A1A2 là trục lớn của (E )  Trục Oy gọi là trục nhỏ của (E), ta cũng gọi đoạn B1B2 là trục nhỏ của (E ) °°°°PQRS( a ; b )( a ; – b )(– a ; b )(– a ; – b ) Hình chữ nhật PQRS có các cạnh tiếp xúc với (E) tại 4 đỉnh của (E) như hình vẽ gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E)2. Tâm sai của elip Ta đã định nghĩa tâm sai của elip là : Tâm sai của elip là tỉ số giữa tiêu cự và trục lớn của elipTa có 0 b > 0, a > c> 0 , c2 = a2 – b2 xF1F2O-ccM(E)°°Tiêu điểm F1 ( - c ; 0) , F2 ( c ; 0) Tâm sai Tọa độ các đỉnh A1(– a ; 0) , A2 ( a ; 0) , B1 (0 ; – b) , B2(0 ; b)Trục lớn A1A2 = 2aTrục nhỏ B1B2 = 2bCác trục đối xứng : x’Ox , y’Oy Tâm đối xứng : gốc tọa độ O F1M = a + ex F2M = a – exTổ Toán Cảm ơn quý Thầy, Cô đã tham dự buổi thao giảng.Vì a > c nên a2 - c2 > 0, đặt b2 = a2 - c2 , ta có (**) 