Bài giảng môn Hình lớp 11: Hai đường thẳng vuông góc

THPT VOÕ MINH ÑÖÙCTHPT VOÕ MINH ÑÖÙCMÔN TOÁN LÔÙP 11. GV : HUYØNH ÑAÉC NGUYEÂNThöïc hieänHình Hoïc Khoâng Gian11HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓCI. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓCIII. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.IV. BÀI TẬP ÁP DỤNGBÀI 1.I. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Góc giữa 2 đường thẳng a và b cắt nhau : Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành 4 góc. Số đo nhỏ nhất trong 4 góc này gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b.O ab Kí hiệu : Góc giữa 2 đường thẳng a và b chéo nhau là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cắt nhau lần lượt cùng phương với a và b Kí hiệu :O  aba’b’O  a’O  b’ Góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau :Ghi chú Với 2 đường thẳng a, b tùy ý, ta có : II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC1. Định nghĩa.  O baa’b’2. Tính chất : abcCác mệnh đề sau đúng hay sai ? a) Hai đường thẳng vuông góc nhau thì cắt nhau ? bacSai, vì chúng có thể chéo nhauSai, vì chúng có thể chéo nhau hoặc cắt nhaub) Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau ? uabbPHƯƠNG PHÁP GiẢI TOÁNChứng minh hai đường thẳng vuông góc :1. Dùng định nghĩa :2. 3.4. Nếu a, b đồng phẳng dùng các phương pháp trong hình học phẳng, như Pytago đảo, trung tuyến của tam giác cân, tính chất đường cao, trung trực,BÀI TẬP ÁP DỤNGBài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Biết AB = CD = 2a và MN = Tính góc Hướng dẫn giải toánGọi O là trung điểm của ACOM , ON lần lượt là ĐTB của ABC, ACD.OM = ON = a và OM // AB, ON // CDABCDNMO 2a2aaa + Cách 1 : Gọi H là trung điểm của MN. Trong tam giác cân OMN có : OM = a, MH =OMNHaaTính góc + Cách 2. Áp dụng định lí cosin cho MON : MN2 = OM2 + ON2 – 2.OM.ON.cos Suy ra : Do đó : Vậy : BÀI TẬP ÁP DỤNGBài 2. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi M, N, P , Q , R lần lượt là các trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC a) Chứng minh : MN  RP và MN  RQ b) Chứng minh : AB  CDa. Chứng minh MN  RP, MN  RQM N P Q R A B C D Ta có : RP là ĐTB ACD  RP // CD (1)Từ (1) và (2) suy ra :MN  RPMCD cân  MN  CD (2)Tương tự : RQ là ĐTB ABC  RQ // AB (3) và ABN cân  MN  AB (4)(3) , (4)  MN  RQM N P Q R A B C D b. Chứng minh AB  CDTa có : RP // CD và RQ // ABTa chứng minh : RP  RQTương tự : PQ  ADQPD vuông tại P, nên : Ta có : Do đó : RP  RQ  AB  CD Bài tậpBài 3 . Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi M là trung điểm của BC. Tính góc Hướng dẫn giải toánTính góc A B C D M  N  MN là ĐTB ABC, nên MN // ABÁp dụng định lí cosin cho tam giác MND , ta được : *Cách khác : Trong tam giác cân MND tại D, gọi H là trung điểm của MN, nên : Bài 4. Tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. a) Chứng minh các đoạn nối trung điểm của các cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó. b) Tính cosin của góc hợp bởi các đường thẳng AC và BDHướng dẫn giải toána) Chứng minh : + MN  CD , MN  AB ; A B C D M   N P QbcaABC = BDA (c-c-c) MC = MD MND cân  MN  CDTương tự : MN  ABbca+ PQ  AD , PQ  BCTa có :Hướng dẫn giải toánA B C D M   N P QbcaABC = DCB (c-c-c) QA = QD QAD cân tại Q  PQ  ADTương tự : PQ  BCVậy các đoạn nối trung điểm các cạnh đối vuông góc với các cặp cạnh đối đó.a) Chứng minh : + PQ  AD , PQ  BCbacA B C D M   N P Qb/2cab) Tính bacb/2Ta có : NP // AC, MP // BDNên : Áp dụng định lí cosin cho tam giác MNP : MNC vuông tại N  MN2 = MC2 – NC2 Áp dụng định lí trung tuyến cho ABC , ta được : Vậy : Bài 5 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại A, M là 1 điểm trên cạnh AD (M khác A và D). Mặt phẳng  qua M và song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. b) Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x. Hướng dẫn giải toánA S BC D M NPQHướng dẫn giải toánA S BC D M NPQa) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.Tương tự : AB // ()  ()  (SAB) = MN // ABSB // ()  ()  (SBC) = NP // SBVà ()  (SCD) = PQ // CD //ABVậy tứ giác MNQ là hình thang