Bài giảng môn Hình khối 11: Khoảng cách trong không gian

CHƯƠNG III: QUAN HỆ VUÔNG GÓCGIÁO VIÊN : Hoaøng Sôn HaûiKHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN)KHOẢNG CÁCH1)Khoảng Cách Từ 1 Điểm Đến 1 Mặt Phẳng :IMHNKPP1 :+)Tìm mp  qua M +)   = ))MH+)Dựng MH   tại H  MH = d(M; ) .PP2:Giả sử đã có MH tại HTa cần tính d(N, )*)Nếu MN//=>d(M,)=d(N,)Nếu MN=I;dựng NK//MH;KIH=>NK=>d(N,)=NKM2) Khoảng Cách Từ 1 Điểm Đến 1 Đường Thẳng : PP1 :+) Dựng mp qua M ; d +)Tìm H = d +) d(M;d)=MH C2:d(A,BC)=2SABC/BCPP2 :+)Dựng mp(M,d)=+)Trong  ;dựng MH d tại H  MH = d(M;d) = MHPP 3 : dùng cách tính đ/cao tam giác ,đ/giác .3)a//=>d(a; ) = d(M;) ; Ma //4)d(; ) = d(M; ) ;M //5)a//b=>d(a;b) = d(M;b) ; M a// bdHMPP TÌM ĐỌAN VUÔNG GÓC CHUNG CỦA 2 ĐT CHÉO NHAU:LOẠI I : a   tại O ; b  Dựng OHb tại HOH là đoạn vuông góc chung.a0 H ba   0 H b B aa’b A M N Q P Loại II: Biết a  b Dựng a ,chứa b dạng I 2/119.SABC có SA(ABC);H,K trực tâm ABC;SBC.cm:a.AH,SK,BC đồng quiGọi I=AHBCBCAI(tc tr.tâm);BCSA vì SA..=>BC(SAI)=>BCSI=>SI là đcao SBC=>KSI=>BC,AH,SK đồng quib.SC(BHK);HK(SBC)Ta có:SA(ABC)=>(SAC)(SBC) theo giao tuyến ACb.SC(BHK);HK(SBC)Ta có:SA(ABC) =>(SAC)(SBC) theo giao tuyến ACMà BH(ABC);BHAC=>BH(SAC)=>BHSC (1)Ta cũng có BKSC (2)=>SC(BHK)Mà BC(SAI) ; HK(SAI)=>BC HKDo HK(BHK)=>HKSCVậy HK(SBC)c.Tìm đoạn v.góc chung of SA và BC8/120.ABCD đều, cạnh bằng a.Tính k/cách giữa 2 cạnh đốiGọi H,K lần lượt trung điểm CD,AB=>CDAH;CDBH(tc tam giác đều)=>CD (ABH)=>CDHKCmtt ta cũng có : ABHK=>HK là đoạn vuông góc chung of AB,CD.ABC có đcao CK=a3/2HCK có :HK2=CK2-CH2=3a2/4-a2/4=2a2/4=>d(AB,CD)=HK=a2/23/119.Hlp cạnh a. Cm k.cách từ B,C,D,A’,B’,D’ đến AC’ đều bằng nhau. Tính k.cách đóAB’C’ vuông có AC’=a3(đcheohlp)=>đcao B’H thỏa:=>AC’.B’H=AB’.B’C’.đây là k/c cần tìmt.tự=>AB’C’=AA’C’=AD’C’=ADC’=ACC’=ABC’=>các đường cao t/ứ là k/cách từ các đỉnh nói trên đến AC’ nên chúng bàng nhauTa có:B’C’(ABB’)-tc hlp=>B’C’AB’=>AB’C’ vuông ở B’ có AB’=a2;B’C’=a4.Hhộpcn. AB=a;BC=b;CC’=ca)d(B,(ACC’))ABC vuông có AC2=AB2+BC2=a2+b2=>AC=AA’(ABC)-tc hhộpcnH(AA’C’)(ABC) theo gt ACTrong (ABC) kẻ BHAC ở H=>BH(AA’C’)Ta có:AC.BH=AB.BCb.d(BB’,AC’)b.d(BB’,AC’)Do BB’//AA’=>BB’//(ACC’)H=>d(BB’,AC’)=d(BB’,(ACC’))5.Hlp cạnh a. a.cm:B’D(BA’C’)a.cm:B’D(BA’C’)=>A’B’D vuông ở A’ có A’D=a2;A’B’=aTa có:A’B’(ADD’)tc hlp=>A’B’A’Dt.tự=>A’B’D=BB’D=C’B’Dcó đcao A’H=>BH cũng là đcao B’BD Vậy B’DA’H;B’DBH;B’DC’H=>A’H,BH,C’H đphẳng=>A’H,BH,C’H(BA’C’)=>B’D(BA’C’) tại Hb)Tính d((BA’C’),(ACD’))BA’C’ đều,cạnh a2=>có H là tâmCmtt ta cũng có B’D(ACD’) ở Kb)Tính d((BA’C’),(ACD’))BA’C’ đều,cạnh a2=>có H là tâmKBA’H vuông ở H có:B’H2=A’B’2-A’H2=3a2/9=>B’H=a3/3và DK=a3/3Mà B’D=a3(đchéo hlp)=>B’H=HK=KD=a3/3=>(BA’C’)//(ACD’)=>d((BA’C’),(ACD’))=HK=a3/3b)Tính d(BC’,CD’)c)Tính d(BC’,CD’)Do BC’(BA’C’);CD’(ACD’)=>d(BC’,CD’)=d((BA’C’),(ACD’))=a3/3Bài 6/119:ABCD.cm: nếu AC=BD;AD=BC thì đoạn vuông góc chung 0f AB,CD là đoạn nối trung điểmcủa AB,CD và ngược lạia)nếu AC=BD;AD=BC thì đoạn vuông góc chung 0f AB,CD là đoạn nối trung điểm của AB,CDABC=ABD(ccc)=>KC=KD=>KCD cân ở K=>HKCD(1)Cmtt ta có : HKAB(2)(1) và (2)=>HK là đoạn vuông góc chung của...Gọi H,K lần lượt là trung điểm của CD,AB=>KC,KD lần lượt là trungtuyến của ABC=ABD ACD có :AC2+AD2= 2AH2+CD2/2BCD có :BC2+BD2= 2BH2+CD2/2Mà AH=BH vì ABH nhận HK vừa là tr.tuyến vừa là đcaot.Tự ta có: CB2+CA2=DB2+DA2(4)Trừ theo vế (3) cho (4):AD2-BC2=BC2-AD2AD=BC(5)Cmtt ta có : AC=BD(6)=>đpcmb)Giả sử H,K lần lượt là tr.điểm CD,AB mà HK là đoạn=>AC2+AD2=BC2+BD2(3)7/120.S.ABC đều, cạnh đáy 3a;cạnh bên 2a.Tính d(S,(ABC))Gọi H là tâm ABC=>SH(ABC)-tính chất hchóp đềuGọi A’ là tr.điểm BC=>SAH vuông ở H có:SH2=SA2-AH2=4a2-3a2=a2=>d(S,(ABC))=SH=a9.SABC;SA=3a và v.góc đáy;đáy có B=1200;AB=BC=2a; tính d(A,SBC)Kẻ AKBC ở K, mà SA(ABC)=>SABC=>BC(SAK)=>(SBC) (SAK)Kẻ AHSK ở H=>AH(SBC)-tc 2mp v.gócABK có AK=ABsin600=a3DH2002.S.ABC đều có AB=a. Gọi M,N lần lượt là tr.điểmcủa SB,SC;(AMN)(SBC). Tính SAMNDH2002.S.ABC đều có AB=a. Gọi M,N lần lượt là tr.điểmcủa SB,SC;(AMN)(SBC). Tính SAMNSAB=SAC(tc hc đều)=>AM=AN=>AISA’(1)Mà BCAA’;BCS0=>BC(SAA’)=>BCAI(2)(1),(2)=>AI(SBC)=>AISA’Gọi 0 là tâm ABC;A’,I là tr,điểm BC,MN, Do MN//BC=>S,I,A’ thẳng hàng(1),(2)=>AI(SBC)=>AISA’=>SAA’ cân ở A=>SA=AA’=a3/2=SB=SCSBA’ vuông =>SA’2=SB2-A’B2=>SA’ =a2/2=>AI2=AS2- SI2=>AI=a10/4=>SAMN=MN.AI/2=a210/162/59dc. S.ABC;ABC đều,cạnh aSA=SB=SC=2a3/3. Tính:a)d(S,(ABC))Gt=>S.ABC là hc đều=>SH(ABC);H là tâm ABCGọi M tr.điểm của AC=>SBH=>SH2=SB2-BH2=a2=>SH=a=d(S,(ABC))KTa có:ACBM;ACSB(tc hc đều)=>AC(SBM)=>(SAC)(SBM)Kẻ BHSM ở K=>BK(SAC)-tc 2mp vuông gócSBM có: BK.SM=BM.SHK3. S.ABC đáy vuông ở A;góc B=600;BC=2a.M tr.điểm BCSA=SC=SM=a5. Tínha)d(S,(ABC))Lấy I tr,điểm AC;H đ.x Q qua AC=>IM là tr.bình of ABC=>IM //AB=>IMAC=>AMCM là h.thoi=>HC=HM=HA=a=>H là tâm đtròn ngt ACM mà SA=SC=SM=>SH là trụcđtròn ngt ACM=>SH(ABC)3. S.ABC đáy vuông ở A;góc B=600;BC=2a.M tr.điểm BCSA=SC=SM=a5. Tínha)d(S,(ABC))SHM=>SH2=SM2-HM2=a2=>SH=a=d(S,(ABC))3. SA=SC=SM=a5. Tínhb)d(A,SM)Gọi K là tr.điểm AM=>SKAM(SAM cân)SK2=SA2-AK2=5a2-a2/4=>SK=(a19)/2. Kẻ AFSM ở FFSAM có:AF.SM=AM.SK 4/59dc. S.ABCD đáy hv tâm 0;cạnh a;SAđáy;SA=a3a)Tính d(A,(SCD));d(B,(SCD),d(0,SCD)HTa có SA(ABC)=>SACDmà ADCD=>CD(SAD)=>(SCD)(SAD)Kẻ AHSD ở H=>AH(SCD)Vì AB//CD=>AB//(SCD)=>d(B,SCD)=d(A,SCD)=KGọi K là tr.điểm CH=>0K là tr.bình ofACH=>0K//AH=>0K(SCD)=>d(0,SCD)=0K=AH/2=4/59dc. S.ABCD đáy hv tâm 0;cạnh a;SAđáy;SA=a3b)d(AD,(SBC); d(AC,SB)t.Tự câu a=>d(AD,SBC)=AQ=a/2(AQ là đcao SAB)HKEIJLấy E là đỉnh hbh ACBEI là tr.điểm BE=>A0BI là hcn=>AIBEMà SABE=>BE(SAI)=>(SBE)(SAI) và AC//(SBE)Dựng AJSI ở J=>AJ(SBE);AI=0B=a2/2HA’ là hchiếu of AA’ lên (A’B’C’)=>góc (AA’,(A’B’C’)=AÂ’H=600;AH là đcao l.trụA’B’C’=>A’H=a3/2=>AA’H có:AH=A’Htg600=3a/27/59. lăng trụ;ABC đều,cạnh a; hchiếu of A lên (A’B’C’)là tr.điểm H of B’C’;cạnh bên tạovới đáy góc 600a)Tính độ dài đcao l.trụ:AH(A’B’C’)=>AHB’C’; BC//B’C’=>góc AC’ vàBC bằng góc AC’và B’C’=gócAC’Hb)Góc giữa BC và AC’:b)Góc of BC và AC’BC//B’C’=>góc AC’ vàBC bằng góc AC’và B’C’=gócAC’HAHC’ có: tgAC’H=AH/C’H=3 c)Góc (ABB’) và đáyKIGọi K,I là tr.điểm A’B’;B’K;HI//C’K=>HIA’B’;AHA’B’=>A’B’(AHI)=> góc cần tìm là AIH;tgAIH=AH/HI=239/60. ABCD có ABC đều, cạnh aADBC;AD=a;d(D,BC)=a;H,I làtr.điểm BC,AHa)cm: BC(ADH)BCAH và BCAD=>BC(ADH)=>BCDH=>DH=ab)cm: DI(ABC)DAH cân ở D vì có DA=DH=a=>DIAH. Mặt khác:BC(ADI) mà DH(ADI)=>DIBC=>DI(ABC)9/60. ABCD có ABC đều, cạnh aADBC;AD=a;d(D,BC)=a;H,I làtr.điểm BC,AHc)Tìm đoạn vuông góc chung of AD,BCTrong (ADH) kẻ HKAD ở KBC(ADH)=>BCHK=>HK là đoạn thẳng cần tìm;HK.AD=AH.DIDI2=AD2-AI2=a2-3a2/16=13a2/16=>DI=Ta có:HK.AD=AH.DI=>HK=10/60. S.ABCD đáy hthoi cạnh a,tâm 0;Â=600.S0=a và là đca)Tính d(0,SBC)Gọi E,F lần lượt là tr.điểm of BC,BE HGt=>BCD đều=>DEBCMà 0F//DE=>0FBC mà S0BC=>BC(S0F)Kẻ 0HSF ở H=>0H(SBC)BCD=>DE=a3/2=>0F=a3/4b)d(AD,SB)10/60. S.ABCD đáy hthoi cạnh a,tâm 0;Â=600.S0=a và là đcHb)d(AD,SB)KILấy I đ.x F qua 0;K đx F qua H=>IAD và 0H là tr.bình FIK=>IK//0H=>IK(SBC)Vì AD//BC=>AD//(SBC)=>d(AD,SBC)=d(I,SBC)=IK=20H=11.S.ABCD đáy hv cạnh a;SAD đều,(SAD)(ABC)a)Tính d(AD,SB)Gọi E là tr.điểm AD=>SEADMà (SAD)(ABC)=>SE(ABC)HGọi I là tr.điểm BC=>EIBCMà SEBC=>BC(SEI)=>(SBC)(SEI)Kẻ EHSI=>EH(SBC)b)d(SA,BD)b)d(SA,BD)KJFGọi F là tr.điểm 0D;J đ.x F qua E=>AJDF là hcn=>AJEJMặt khác:AJSE vì SE(ABC)=>AJ(SJE)=>(SAJ) (SJE)Trong (SJE) kẻ EKSJ ở K=>EK(SAJ)-tc 2mp vuông gócSEJ vuông có:EJ=EF=A0/2=a2/412.(DH10) S.ABCD đáy hv cạnh aM,N lluot là tr.điểm AB,AD;H=CNMD;SH(ABC);SH=a3.Tính VSCDMN và d(MD,SC)SCDMN=SABCD-SAMN-SCMB=a2-(1/2)a2/4-a2/4=5a2/8cmDMCN và MD SH=>DM (SMC)Ta có: AMD=DNC(cgc)=>gócADM=gocDCNCm CNMDMà góc ADN+MDC=900=>gócMDC+DCN=900=>CNMDMặt khác MDSH cmt=>MD(SNC)NM=>DM (SNC)=>(SDM) (SNC)DNC vuông=>CD2=CH.CNKTrong (SNC),kẻ HKsc(1)=>mà MD(SMC)=> HKMD(2)=> HK là đoạnVgóc chung of DM,SC4.Hhcn AB=AA’=a;AC’=2aa)d(D,(ACD’)Dựng DIAC tại IMà DD’AC(t.c hhcn)=>AC(DD’I)=>(ACD’)(DD’I)Dựng DH D’I tại H=>DH(ACD’)(t.c 2 mp vuông góc)AC2=AC’2-AA’2=3a2=AD2+CD2=>AD2=2a2=>AD=a2b)Dựng và tính độ dài đườngVuông góc chung của AC’;CD’Theo cmt=>CDD’C’ là h.vuôngcạnh a=>CD’C’DMà ADC’D(t.c hhcn)=>CD’(C’DA)=>C’DA vuông cân tại DGọi H trung điểm AC’;F trung điểm C’A=>EF là trung bình của C’DHEF//DH;DHAC’=>EFAC’EF(C’DA)=>EFCD’; vậy EF là đoạn vuông góc chung của5.S.ABCD đáy hcn AB=2a;BC=a;các cạnh bên a2a)Tính d(S,(ABCD)Gọi O=ACBD=>O là tâm đườngtròn ngoại tiếp hcn ABCDDo SA=SB=SC=SD=>S thuộc trụcđtròn ngoại tiếp đáy ABCD=>SO là trục=>SOABCD=>SO=d(S,(ABCD))Ta có: AC2=AB2+BC2=5a2=>AO2=5a2/4SOA vuông ở H=>b)E,F trung điểm AB,CD;KADCm: d(EF,SK) k0 phụ thuộc K.TínhTa có: EF//AD(t.c hcn)=>EF//mp(SAD);mà SK(SAD)=>d(EF,SK)=d(EF,(SAD)=d(O,(SAD)) constIHGọi I trung điểm AD=>AD0I;ADSI=>AD(SAD)=>(SAD)(S0I).Dựng 0HSI tại K=>0H(SAD)(t.c2mp v.góc)0I=AB/2=aS0I vuông có: