Bài giảng môn Hình học lớp 7 - Tuần 32: Quan hệ giữa góc, cạnh, đường xiên, hình chiếu trong tam giác, bất đẳng thức tam giác

Tuần 32 QUAN HỆ GIỮA GÓC, CẠNH, ĐƯỜNG XIÊN, HÌNH CHIẾU TRONG TAM GIÁC, BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC. 1/ Tóm tắt lý thuyết: + Trong một tam giác: Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. Hai góc bằng nhau thì hai cạnh đối diện bằng nhau và ngược lại hai cạnh bằng nhau thì hai góc đối diện bằng nhau. + Trong các đường xiên, đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất. Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn, đường xiên nào lớn hơn thì hình chiếu sẽ lớn hơn, nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. + Trong một tam giác, bất kì cạnh nào cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại. D ABC luôn có: AB – AC < BC < AB + AC AB – BC < AC < AB + BC AC – BC < AB < AC + BC 2/ Bài tập: Bài 1 : Trong một tam giác vuông thì cạnh nào là cạnh lớn nhất? Vì sao? Cũng câu hỏi như vậy đối với tam giác có một góc tù? Trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất vì cạnh huyền đối diện với góc vuông . Trong tam giác tù cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất vì góc tù là góc lớn nhất trong tam giác Bài 2 : Cho tam giác ABC có AB =5cm; BC = 7cm; AC = 10cm. So sánh các góc của tam giác? Trong tam giác ABC có AB =5cm; BC = 7cm; AC = 10cm Nên AB (ĐL1) Bài tập 3: Cho tam giác ABC cân tại A, biết = 450. So sánh các cạnh của tam giác ABC. Tam giác ABC còn gọi là tam giác gì? Vì sao? a) Tam giác ABC cân tại A nên = = 450 => Vậy > = = 450 => BC > AB = AC b) Tam giác ABC vuông cân tại A vì Bài tập 4: Sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện để chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC => = (ĐL1) Bài tập 5: Sử dụng quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu để chứng minh bài toán sau: Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH ^ BC (H Ỵ BC). Chứng minh rằng HB = HC. Từ điểm A nằm ngòai đường thẳng BC Có AB = AC ( gt) Mà AB có hình chiếu là HB Và AC có hình chiếu là HC Nên HB = HC Bài tập 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M . Chứng minh rằng BM £ BC. Chứng minh Nếu M C => MB BC nên MB = BC (1) Nếu M A => MB BA nên AB < BC (ĐL1) (2) Nếu M nằm giữa hai điểm A và C Ta có AM là hình chiếu của BM AC là hình chiếu của BC Vì M nằm giữa hai điểm A và C nên AM < AC => BM < BC ( ĐL2) (3) Từ (1),(2)&(3) => BM £ BC ( ĐPCM) Bài tập 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm N , trên cạnh AB lấy điểm M (N ¹ A,C; M ¹ A,B). Chứng minh rằng: BC > MC. MN < BC. a) Ta có AM là hình chiếu của CM AB là hình chiếu của BC Vì M nằm giữa hai điểm A và B nên AM < AB => CM < BC ( ĐL2) (1) b) Ta có AN là hình chiếu của NM AC là hình chiếu của MC Vì N nằm giữa hai điểm A và C nên AN < AC => NM < MC ( ĐL2) (2) Từ (1) và (2) => MN < BC. Bài tập 8: Cho điểm D nằm trên cạnh BC của D ABC. Chứng minh rằng: a) Trong tam giác ABD ta có AB – BD < AD (1) Trong tam giác ACD ta có AC – CD < AD (2) Từ (1) và (2) => AB – BD + AC – CD < 2AD AB + AC – (BD + DC) < 2AD AB + AC – BC < 2AD => (*) b) Trong tam giác ABD ta có AB + BD > AD (1) Trong tam giác ACD ta có AC + CD > AD (2) Từ (1) và (2) => AB + BD + AC + CD > 2AD AB + AC + (BD + DC) > 2AD AB + AC + BC > 2AD => (**) Từ (*) và (**) => Bài tập 9: Cho tam giác ABC, M là một điểm tùy ý nằm bên trong tam giác ABC. Chứng minh rằng MB + MC < AB + AC. Chứng minh Trong tam giác IMC cĩ MC < MI + IC Cộng MB vào 2 vế Ta được MC + MB < MI + IC + MB MC + MB < MI + MB + IC MC + MB < IB + IC (1) Trong tam giác IBA cĩ IB < IA + AB Cộng IC vào 2 vế Ta được IB + IC < IA + AB + IC IB + IC < IA + IC + AB IB + IC < AC + AB (2) Từ (1) & (2) => MB + MC < AB + AC. Bài 10: Cho tam giác ABC có AC > AB. Nối A với trung điểm M của BC. Trên tia AM lấy điểm E sao cho M là trung điểm của đoanh thẳng AE. Nối C với E. So sánh AB và CE. Chứng minh: Chứng minh So sánh AB và CE. Xét tam giác ABM và tam giác ECM Cĩ AM = ME (gt) (đđ) MB = MC (gt) Vậy tam giác ABM = tam giác ECM (cgc) => AB = CE b) Chứng minh: xét tam giac AEC cĩ AE > AC - EC Mà AE = 2AM (M là trung điểm của AE) Và EC = AB (cmt) Vậy 2AM > AC - AB => AM > (1) xét tam gíac AEC cĩ AE < AC + EC Mà AE = 2AM (M là trung điểm của AE) Và EC = AB (cmt) Vậy 2AM AM < (2) Từ (1) và (2) =>