Bài giảng môn Hình học khối 12 - Bài 10: Phương trình mặt cầu

PHƯƠNG TRÌNHHÌNH HỌC 12BÀI 10 :Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S(I ; R) có tâm I(a ; b ; c) và bán kính R.M(x ; y ; z)  S(I ; R)  IM = RPhương trình trên được gọi là phương trình của mặt cầu S(I ; R) (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = RPhương trình của mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c), bán kính R là :(S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R21) Như vậy, nếu biết tọa độ tâm và bán kính mặt cầu thì ta có thể dễ dàng viết được phương trình của mặt cầu đó.2) Nếu tâm I của mặt cầu (S) là gốc tọa độ O(0 ; 0 ; 0) thì phương trình mặt cầu là : x2 + y2 + z2 = R2. Chú ý :Ngược lại, xét phương trình :Có thể viết lại phương trình (2) dưới dạng :Vì a2 + b2 + c2 – d > 0. Đặt : a2 + b2 + c2 – d = R2Ta đưa phương trình (2) về dạng :x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (2) với a2 + b2 + c2 – d > 0(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 – a2 – b2 – c2 + d = 0 (x –a)2 + (y –b)2 + (z –c)2 = a2 + b2 + c2 – d(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2Vậy phương trình (2) chính là phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c) và có bán kính : R = a2+ b2+ c2–dPhương trình của mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c), bán kính là :(S) : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 Phương trình mặt cầu trong không gian có các đặc điểm sau :_ Là phương trình bậc hai đối với x, y, z. Chú ý : R = a2+ b2+ c2–d_ Các hệ số của x2, y2, z2 đều bằng nhau và khác 0._ Không có các số hạng chứa các tích xy, yz, zx.(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c) 2 = R2I. Phương trình mặt cầu R = a2+ b2+ c2–dPhương trìnhTâm, bán kính Tâm I(a ; b ; c) Bán kính R Bán kính R Tâm I(a ; b ; c)x2 + y2 + z2 –2ax –2by –2cz + d = 0 (Điều kiện : a2+ b2+ c2– d > 0)PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Bài 1 Bài giải :Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau :a) (S) : x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + 1 = 0b) (S) : x2 + y2 + z2 + 4x + 8y – 2z – 4 = 0c) (S) : 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 3y + 15z – 2 = 0b) (S) có tâm I(–2 ; –4 ; 1) và có R = 4 + 16 + 1 + 4 = 5a) (S) có tâm I(4 ; –1 ; 0) và có R = 16 + 1 – 1 = 4(S) có tâm I và có R = 1 + + + = 142542376–1; ; – 1252c) Viết lại phương trình : x2 + y2 + z2 + 2x – y + 5z – = 023 Bài 2 Bài giải :Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm : A(1 ; 2 ; –4), B(1 ; –3 ; 1), C(2 ; 2 ; 3)và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy.Tâm I(a ; b ; c)  mp(Oxy) nên c = 0.Phương trình (S) : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by + d = 0A(1 ; 2 ; –4)  (S) : 1 + 4 + 16 – 2a – 4b + d = 0B(1 ; –3 ; 1)  (S) : 1 + 9 + 1 – 2a + 6b + d = 0C(2 ; 2 ; 3)  (S) : 4 + 4 + 9 – 4a – 4b + d = 0Giải hệ : – 2a – 4b + d = –21– 2a + 6b + d = –11– 2a + 6b + d = –11a = –2b = 1d = –21Vậy (S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 2y – 21 = 0 Bài 2 Cách 2 :Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm : A(1 ; 2 ; –4), B(1 ; –3 ; 1), C(2 ; 2 ; 3)và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy.Tâm I(a ; b ; c)  mp(Oxy) nên c = 0  I(a ; b ; 0) A, B, C  (S) nên AI = BI = CI Vậy (S) : (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26 a = 1b = –2  I(– 2 ; 1 ; 0)Bán kính R = AI = (–2–1)2 + (1–2)2 + (0+ 4)2 = 26 (a –1)2 + (b –2)2 + (0 + 4)2 = (a –1)2 + (b + 3)2 + (0–1)2(a –1)2 + (b –2)2 + (0 + 4)2 = (a –2)2 + (b –2)2 + (0–3)2 AI2 = BI2 AI2 = CI2 Bài 2 Bài giải :Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm : A(1 ; 2 ; –4), B(1 ; –3 ; 1), C(2 ; 2 ; 3)và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy.Tâm I(a ; b ; c)  mp(Oxy) nên c = 0.Phương trình (S) : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by + d = 0A(1 ; 2 ; –4)  (S) : 1 + 4 + 16 – 2a – 4b + d = 0B(1 ; –3 ; 1)  (S) : 1 + 9 + 1 – 2a + 6b + d = 0C(2 ; 2 ; 3)  (S) : 4 + 4 + 9 – 4a – 4b + d = 0Giải hệ : – 2a – 4b + d = –21– 2a + 6b + d = –11– 2a + 6b + d = –11a = –2b = 1d = –21Vậy (S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 2y – 21 = 0 Bài 2 Bài giải :Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm : A(1 ; 2 ; –4), B(1 ; –3 ; 1), C(2 ; 2 ; 3)và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy.Vậy (S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 2y – 21 = 0(S) : (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26 (S) : x2 + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 + z2 = 26 (S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 5 – 26 = 0 Bài 3 Bài giải :Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3 ;–2 ; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình : 2x – 2y – z + 9 = 0.Bán kính R của mặt cầu (S) chính là khoảng cách từ tâm I của mặt cầu tới mặt phẳng (P).Phương trình (S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2Vậy (S) : (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 36d(I ; (P)) = 2.3 – 2.(–2) – 1 + 9  4 + 4 + 1 = = 6183IIINếu d(I , (P)) R : mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu.II. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Bài 4 Bài giải :Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau :Đường tròn (C) = (S)  ()x2 + y2 + z2 – 6x + 2y – 2z + 10 = 0x + 2y – 2z + 1 = 0Tâm của (C) là H, H là hình chiếu vuông góc của I lên ()Phương trình tham số đường thẳng IH : x = 3 + ty = –1 + 2tz = 1 – 2t(S) có tâm I(3 ;–1 ; 1), R = 9 + 1+1–10 = 5mp() có n = (1 ; 2 ; –2)Thay x, y, z vào phương trình mp() , ta có :(3 + t) + 2(– 1 + 2t) – 2(1 – 2t) + 1 = 0  t = 0 H(3 ; –1 ; 1)  I Bán kính : Rc = R(S) = 1 Bài 5 Bài giải :Thiết lập phương trình tiếp diện của mặt cầu : x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + 5 = 0tại điểm M(4 ; 3 ; 0)M(4 ; 3 ; 0) : 16 + 9 – 24 – 6 + 5 = 0  M(4 ; 3 ; 0) (S)(S) có tâm I(3 ; 1 ; –2) và có R = 9 + 1 + 4 – 5 = 3Theo tính chất, mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu thì vuông góc với bán kính tại tiếp điểm, nên mặt phẳng () phải tìm nhận MI = (1 ; 2 ; 2) làm vectơ pháp tuyến. mp() : x + 2y + 2z + D = 0M(4 ; 3 ; 0) () : 4 + 6 + 0 + D = 0  D = –10Vậy mp() : x + 2y + 2z –10 = 0MI(S) Bài 6 Bài giải :Ta có : d(I , (P)) R (S) có tâm I(–2 ; –4 ; 1) và có R = 4 + 16 + 1 + 4 = 5c) (S) : x2 + y2 + z2 + 4x + 8y – 2z – 4 = 0 () : x + y – z – 10 = 0Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng trong các trường hợp sau :d(I ; (P)) = –2 – 4 – 1 – 10  1 + 1 + 1 = > 5173Vậy mặt phẳng không cắt mặt cầu.I_ Làm hoàn chỉnh các bài tập trong đề cương._ Chuẩn bị ôn tập chương IIHƯỚNG DẪN Ở NHÀ