Bài giảng môn Hình học khối 12 - Bài 1: Mặt cầu

Phát biểu định lý trung tuyến trong tam giác ?A BMCAM2 = AB2+AC2BC224Tập hợp các điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm cố định là gì? Bài 1: MẶT CẦU1/. ĐỊNH NGHĨACho một điểm O cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm O một khoảng bằng R được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R. Ký hiệu : S(O;R) hay viết tắt là (S) Như vậy ta có : S(O;R) = {M / OM = R } .OMRA3A2A1BONếu OA = R thì điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R)Nếu OA R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R)2/ Bán kính, đường kính của mặt cầu:ABO* Nếu điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R) thì đoạn thẳng OA được gọi là bán kính mặt cầu (S).* B đối xứng với A qua tâm O thì AB được gọi là đường kính của mặt cầu (S). Tìm tập hợp tất cả những điểm M trong không gian sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới hai điểm cố định A và B bằng một hằng số k2.Ví dụ 1:ABOMGiải:Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, với M bất kỳ ta có:OM2 = MA2+MB2AB224=k22AB24*Nếu k22AB24>thì đặt Ta có:{M/ MA2+MB2= k2} = {M/ OM = R}=S(O;R).Khi đó quỹ tích điểm M là mặt cầu tâm O bán kính {M/ MA2+MB2= k2}= ???thì đặt 2AB24k2R= 2AB24k2R= *Nếu k22AB24=thì OM= 0 hay M 0Khi đó quỹ tích điểm M là một điểm O.*Nếu k22AB24OH. Vậy mọi điểm của (P) đều nằm ngoài mặt cầu (S) Vậy (S)  (P) = MNếu OH > R:PBài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNGI. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng:Cho một mặt cầu S(O;R) và mp(P) bất kỳ. Gọi H = hc O / mp(P)Khi đó OH = d  O, mp(P) OHRTa xét các trường hợp sau :Khi đó điểm H  (S).  M (P), M  H . thì OM > OH = R . Vậy (S)  (P) = HMĐiểm H gọi là tiếp điểm của (S) và (P)Mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)PNếu OH = R:Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNGOHRKhi đó mp(P) sẽ cắt mặt cầu (S) theo một đ tròn C( H, r ) với r = R2 – d2 I. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng:Cho một mặt cầu S(O;R) và mp(P) bất kỳ. Gọi H = hc O / mp(P)Khi đó OH = d  O, mp(P) Ta xét các trường hợp sau :MKhi d=0 thì (S)(P) = C (O;R)C(O;R) gọi là đường tròn lớn của mặt cầu S(O;R).Vậy (S)(P) = C(H,r)PNếu OH R:(C)Hd Nếu d không đi qua O thì: (O,d)(S)= C(O;R)Khi đó: d (C)=  Nếu d đi qua O thì d cắt mặt cầu tại 2 điểm A,B với AB là đường kính của mặt cầu Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNGOII. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng: Cho một mặt cầu S(O;R) và đường thẳng (d) bất kỳ. Gọi H = hc O /(d)Khi đó OH = d  O, (d) Ta xét các trường hợp sau :Vậy d (S) = {H}PNếu d= R:(C)Hd Nếu d không đi qua O thì: (O,d)(S)= C(O;R)Khi đó: d (C)= {H} Ta nói rằng d tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại điểm H, điểm H gọi là tiếp điểm của d và (S) Đường thẳng d gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S)Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNGOII. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng: Cho một mặt cầu S(O;R) và đường thẳng (d) bất kỳ. Gọi H = hc O /(d)Khi đó OH = d  O, (d) Ta xét các trường hợp sau :Vậy d cắt (S) tại 2 điểmPNếu d< R:(C)Hd Nếu d không đi qua O thì: (O,d)(S)= C(O;R)Khi đó: d cắt (C) tại 2 điểm Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNGOIII.Các tính chất của tiếp tuyến: Định lý 1:Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A. PaABài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNGOIII.Các tính chất của tiếp tuyến: Định lý 2:Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu (S). Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau.AM M’ (C)pVí dụ: Cho mặt cầu S(O;a) và một điểm A, biết OA = 2a, qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết CD = a 3 . a/ Tính AB. b/ Tính d(O,CD)OABDHCĐáp số: a/ AB = a 3b/ d(O,CD) = a2