Bài giảng môn Hình học 12 - Bài 1: Hệ toạ độ trong không gian

CHƯƠNG III Hình Học 12 GV:Văn Ngọc Oanh 1 CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. §1: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. Tọa độ của điểm và của vectơ 1.Hệ trục tọa độ: Kí hiệu: Oxyz O: gốc tọa độ Ox, Oy, Oz: trục hành, trục tung, trục cao. (Oxy);(Oxz);(Oyz) các mặt phẳng tọa độ 2. Tọa độ của 1 điểm. ( ; ; )M x y z OM xi yz zk        3. Toạ độ của vectơ ( , , )a x y z a xi xz xk          Lưu ý: Tọa độ của M chính là tọa độ OM  Ví dụ: Tìm tọa độ của 3 vectơ sau biết 2 3 4 2 3 a i J k b J k c J i                  Ví dụ 2: (Sgk) II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. Định lý: Trong không gian Oxyz cho 1 2 3 1 2 3( ; ; ), ( , , )a a a a b b b b    1 1 2 2 3 3(1) ( , , )       a b a b a b a b 1 2 3 2 3(2) ( ; ; ) ( , , )   aka k a a a ka ka ka ( )k R Hệ quả: 1 1 2 2 3 3          a b a b a b a b Xét vectơ 0  có tọa độ là (0;0;0) CHƯƠNG III Hình Học 12 GV:Văn Ngọc Oanh 2 1 1 2 2 3 3 , / / , , ( , , )                 B A B A B A b o a b k R a kb a kb a kb AB x x y y z z Nếu M là trung điểm của đoạn AB Thì: , , 2 2 2          x x y y z zB B BA A AM III. Tích vô hướng 1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng. Định lí. ( , , ), ( , , )1 2 3 1 2 3 . 1 1 2 2 3 3          a a a a b b b b a b a b a b a b 2. Ứng dụng a) Độ dài của vectơ 2 2 21 2 3    a a a a b) Khoảng cách giữa 2 điểm. 2 2( ) ( )      B A B AAB AB x x y y 3. Góc giữa hai véctơ Gọi  là góc hợp bởi a  và b  1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 os b a b a b aabC a b a a a b b b             1 1 2 2 3 3a b a b a b a b      Vdụ: (SGK) Cho (3; 0;1); (1; 1; 2); (2;1; 1)          a b c Tính : ( )    a b c và    a b . IV. Phương trình mặt cầu. Định lí. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (a,b,c) bán kính R có phương trình. 2 2 2 2( ) ( ) ( )     x a y b z c R Để viết phương trình mặt cầu ,ta cần tìm tâm và bán kính Phương trình mặt cầu trên còn được viết : 2 2 2 2 2 2 x y z 2ax 2by 2cz d 0 r a b c d 0               V. Giao của mặt cầu với mặt phẳng: CHƯƠNG III Hình Học 12 GV:Văn Ngọc Oanh 3 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2 2 (P) : Ax By Cz d 0 (S) : (x a) (y b) (z c) R           Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I (a;b;c) của (S) trên mặt phẳng (P): 2 2 2 Aa Bb Cc D IH d(I;(P)) A B C        Tùy theo khoảng cách IH và R ta có :  Nếu IH > R :(P) không cắt (S) (P) (S)    Nếu IH = R :(P) tiếp xúc (S)  (P) (S) H   ;(P) gọi là mặt phẳng tiếp diện. H là tiếp điểm.  Nếu IH < R: (P) cắt (S) theo một đường tròn (C ) có tâm H và bán kính 2 2r R IH  .Vậy hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 2 Ax By Cz D 0 (x a) (y b) (z c) R Ax By Cz D R A B C                      là phương trình đường tròn trong không gian. Ví dụ: Viết pt mặt cầu tâm I (2,0,-3), R=5 Áp dụng công thức : 2 2 2 2( 2) ( 3) 5    x y z Ví dụ: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu. 2 2 2 2 2 2 2 4 6 3 0 ( 2) ( 3) 4             x y z x y x y z Vậy I(2;-3;0) R = 4 Bài tập 1: Trong không gian Oxyz cho a(2; 5;3); b(0;2;-1); c(1;7;2).   a) Tính toạ độ véc tơ 1u 4a b 3c 3      b) v a 4b 2c     Bài tập 2: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;-1;1); B(0;1;2); C(1;0;1). a) Tính AB  ; AB và BC. b) Tính toạ độ trong tâm G của tam giác ABC. c) Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành. Bài tập 3: Trong không gian Oxyz cho hai điểm: A(4;-3;7) và B (2;1;3) a) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB. b) Viết phương trình mặt cầu qua gốc toạ độ O và có tâm B. CHƯƠNG III Hình Học 12 GV:Văn Ngọc Oanh 4 c) Viết phương trình mặt cầu tâm nằm trên Oy và qua hai điểm A;B. Bài tập 4: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình a) 2 2 2 8 2 1 0     x y z x y b) 2 2 23 3 3 6 8 15 3 0      x y z x y z Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu sau: a) Có đường kính AB với A = (4;-3;7) ;B = (2;1;3;) b) Đi qua A = ( 5;-2;1) và có tâm C = (3;-3;1). Bài tập 6: Lập phương trình mặt cầu tâm I=)2;1;3) tiếp xúc với mặt phẳng (P): x+2y+2z-1=0 Bài tập 7: Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A(1;2;-4) ;B(1;-3;1) ;C(2;2;3) và có tâm nằm trên (Oxy) Bài tập 8: Lập phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(2;0;0) ;B(0;4;0) ;C(0;0;4) ;O(0;0;0) Bài tập 9: Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu (S) với mặt phẳng ((P) 2 2 2(S) : x y z 6x 2y 4z 5 0a) (P) : x 2y z 1 0              2 2 2(S) : x y z 6x 2y 2z 10 0b) (P) : x 2y 2z 4 0              2 2 2(S) : x y z 4x 8y 2z 4 0c) (P) : x y z 10 0              Bài tập 10: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình: 2 2 2(S) : x y z 6x 2y 2z 10 0a) (P) : x 2y 2z 1 0              2 2 2(S) : x y z 12x 4y 6z 24 0b) (P) : 2x 2y z 1 0              Bài tập 11: Tìm phương trình tiếp diện của mặt cầu (S): 2 2 2x y z 6x 2y 4z 5 0       tại M(4;3;0) Bài tập 12: Cho bốn điểm A(6,-2,3);B(0;1;6);C(2;0;-1) ;D(4;1;0).Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Tìm tâm và bán kính mặt cầu.